不等式的證明測(cè)試題及答案

1、不等式的證明班級(jí)姓名、選擇題(本大題共 10小題，每小題5分，共50分)411、1 .右a>0, b >0,貝U (a +b)( +)的最小值是 a b2.3.4.A. 2B. 2、, 2C. 4,2D. 4分析法證明不等式中所說(shuō)的“執(zhí)果索因”是指尋求使不等式成立的A.必要條件C.充要條件設(shè)a、b為正數(shù)，且11A. - - ： 1a bB.充分條件D.必要或充分條件a+ b<4,則下列各式中正確的一個(gè)是11C. - - ： 2ab已知a、b均大于1,且log aC log bC=4,則下列各式中，一定正確的是A. ac> bB. ab>cC. bc>aD.

2、ab< c5.設(shè) a= 42 , b= <7 -<3 , c = <6J2,則a、b、c間的大小關(guān)系是6.A. a>b>cB. b>a>c已知a、b、m為正實(shí)數(shù)，則不等式C. b>c>a a m a b m bD.a>c>bA.當(dāng)a< b時(shí)成立B.當(dāng)a> b時(shí)成立C.是否成立與m無(wú)關(guān)D. 一定成立A.P> QB. PWQC.P>QD.P<Q已知a> b 且 a+ b<0 ,則下列不等式成立的是A.a d1 ba .B1bC.a d1 bD.-< 1 b8.設(shè)a、b為正實(shí)數(shù),P

3、=aabb, Q=abba,則P、Q的大小關(guān)系是設(shè)x為實(shí)數(shù)，P=ex+e-x, Q=(sin x+cosx) 2,則P、Q之間的大小關(guān)系是7.9.A. P> QB. PWQC. P=QD.不能確定10 .甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線(xiàn)走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；乙有一半路程以速度 m行走，另一半路程以速度 n行走，若n,則甲、乙兩人到達(dá)指定地點(diǎn)的情況是()A.甲先到B.乙先到C.甲乙同時(shí)到D.不能確定題號(hào)12345678910答案、填空題11 .若實(shí)數(shù)x, y,z滿(mǎn)足x+2y+3z = a(a為常數(shù))，貝U x2 + y2 + z2的最小值為 1212

4、.函數(shù)f (x) =3x + (x >0)的最小值為 。 x13 .使不等式a2>b2, a >1,lg( a-b)>0, 2a>2b-1同時(shí)成立的a、b、1的大小關(guān)系是 b14 .建造一個(gè)容積為 8n3,深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的最低總造價(jià)為 元.三、解答題15 . (1)若 a、b、c 都是正數(shù)，且 a+b+c=1,求證：(1 -a)(1 -b)(1 -c) > 8abc.(2)已知實(shí)數(shù) a,b,c滿(mǎn)足 a Ab >c,且有 a+b+c = 1,a2+b2+c2 =1-4求證：1 ； a

5、, b ：二一31 一 t 116.設(shè) a >0, a #1,t >0,試比較-loga t與loga 的大小.（12分）2.22.ab cabc17. (1)求證：J >33(2)已知a, b,c都是正數(shù)，且a,b, c成等比數(shù)列，求證：a2 + b2 +c2 >(a-b + c)218. (1)已知x2 =a2 +b2,y2=c2+d2,且所有字母均為正，求證：xy>ac + bd.(2)已知 x, y, z w R ,且 x + y + z = 8, x2 + y2 + z2 = 244_ 4_ 4 一求證：一一x_3, y -3, z - 333319.設(shè)

6、計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840cm,畫(huà)面的寬與高的比為 入（入1）,畫(huà)面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸，能使宣傳畫(huà)所用 紙張面積最??？1a20.數(shù)列xn由下列條件確th：x1 = a a 0, xn書(shū)=(xn +),n u N .2xn(I)證明：對(duì) n>2,總有xn>(n)證明：對(duì) n>2,總有xn> xn+ .參考答案.選擇題（本大題共 10小題，每小題5分，共50分）題號(hào)12345678910答案DBBBDAACAA二.填空題（本大題共 4小題，每小題6分，共24分）211 . 12. 913. a>b>11

7、4, 176014三、解答題（本大題共 6題，共76分）15. （12分）證明:因?yàn)閍、b、c都是正數(shù),且a+b+c=1,所以（1 為）（1 6）（1 c）=（b+c）（ a+c）（ a+b） >2/bc 2 ac - 2Vab =8abc.16. (12分)解析：啕,子一啕川工與名T t A0,t +1 >2v?(當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)時(shí)等號(hào)成立）t 12，t 一(1)山 一t 1當(dāng) t=1 時(shí)，log a= log2adt(2)當(dāng) t01 時(shí),at 11-二 logat22左一右=2 (at+bc-ac) a,b, c成等比數(shù)列，b2=ac若 a >1,則loga 一 >

8、0,loga2 tt - 1石 0 <a <1,則 log a 尸 <0, log a2.t17. (12分)a c:二 a -c又; a, b, c都是正數(shù)，所以0 <b =<ac <22、-2(ab bc -ac) =2(ab bc -b ) =2b(a ' c b) 0:a2 - b2 - c2 (a -b c)218. (12分)證法一：(分析法)a, b, c, d, x, y都是正數(shù)：要證：xy > ac + bd只需證：(xy)2> (ac + bd)2 即：(a2 + b2)( c2 + d) > a2c2 + b2

9、d2 + 2 abcd 展開(kāi)得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2> a2c2 + b2d2 + 2 abcd即：a2d2 + b2c2 2abcd由基本不等式，顯然成立- xy >ac + bd證法二：(綜合法)xy = Ja2+b2 Jc2+d2 =Ya2c2+b2c2+a2d2+b2d 2)a2c2 2abcd b2d2 = (ac bd)2 =ac bd證法三：(三角代換法)x2 = a2 + b2,;不妨設(shè) a = xsin ：, b = xcos ：y2 =c2 +d2c =ysin :, d = ycos - ac +bd =xysinosinP +x

10、ycosocosR = xycos(a _ p) < xy19. (14分)解析:設(shè)畫(huà)面高為x cm,寬為x x cm貝1J Kx2=4840.設(shè)紙張面積為 S,有 S= (x +16) ( Zx +10)=九 x 2+(16 九+10) x +160,S=5000+44.10(. . . 5 ).% /-55 5當(dāng)86=a，即九=5(5 <i)時(shí)Sa得最小值.8 87此時(shí)，高：x絲40 =88cm,寬：入 x = 5M88 =55cm,8答：畫(huà)面高為88cm,寬為55cm時(shí)，能使所用紙張面積最小.20. (14分)所以，當(dāng)n之2時(shí),x之Ji成立.(I)證明：由Xi =a >

11、0,&xn+=1(xn+_a_),可歸納證明xn >0 (沒(méi)有證明過(guò)程不扣分) n 2 ' Xn ,從而有 Xn1 =2(xn ?)_ xn ；-= 3 N).(H )證法一：當(dāng)n之2時(shí)，因?yàn)閄n之，'a >0,Xn+ =工(" +且) 2Xn2所以xn + -Xn =- (xn +) -Xn =- a_也<0,故當(dāng)n22時(shí),Xn之Xn成立.2Xn2 Xn證法二：當(dāng)門(mén)_2時(shí),因?yàn)閬V_ .0,Xn1 =-(Xn ) 2 Xn1 /. a xn +a ； +x；c 2 c22xn2 n=1故當(dāng)n之2f,Xn Xn+成立.(x ) 所以£二2 nXnxnXn2.證明：；'(12 12 12)(a2 b2 c2) _(a b c)2a2b2 c2 (a b c)23 一 9a2 b2 c2a b c33222(a b) -(a b )24.證明：.a b = 1 -c,ab = c -c2a,b是方程x2 (ic)x+c2 c=0的兩個(gè)不等實(shí)根,2 21.則 >=(1 一c) 一4(c 一c) A0,得一一 <c <13而(c -a)(c b) =c2 -(a b)c ab 02即 c -(1 -c)c +c -c >0 ,得 c <0