人教版【高中數(shù)學(xué)】選修2-1第三章空間向量的基本定理講義

1、人教版【高中數(shù)學(xué)】選修2-1第三章空間向量的基本定理講義9 / 13案例(二)一一精析精練課堂合作研究重點難點突破知識點一共線向量定理(1)定理內(nèi)容：對空間兩個向量a,b(b#0), ab的充要條件是存在唯一的實數(shù)x,使a = xb。此定理可以分解為以下兩個命題；若a / b(b ¥0卜則存在唯一實數(shù) x ,使a=xb。存在實數(shù)x,使a=xb(b/0 )，則ab。(2)在定理中為什么要規(guī)定 b#0呢？當(dāng)b = 0時，若a = 0, 則ab,也存在實數(shù)x使 a=xb；但若a=0,我們知道零向量和任一非零向量共線，但不存在實數(shù)x ,使a = xb,因此在定理中規(guī)定了 b#0。若將定理寫成

2、 abu b = xa,則應(yīng)規(guī)定a00。說明：在a = xb功中，對于確定的x和b, a = xb功表示空間與b平行或共線且長度為xb的所有向量；利用共線向量定理可以證明兩線平行，或三點共線。知識點二共面向量定理(1)共面向量已知向量a ,作OA = a，如果OA的基線平行于平面 a ,記作a/口(右圖)，通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。說明：a口是指a的基線在平面 a內(nèi)或平行平面«。共面向量是指這些向量的基線平行或在同一平面內(nèi)，共面向量的基線可能相交、平行或異面。我們已知，對空間任意兩個向量， 它們總是共面的， 但空間任意三個向量就不一定共面了。例如，在下圖中的長方體

3、，向量 AB、AC、AD,無論怎樣平移都不能使它們在同一 平面內(nèi)。(2)共面向量定理共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量c與向量a、b共面的充要條件是，存在唯一的一對實數(shù)x, y,使c = xa + yb。說明：在證明充要條件問題時， 要證明兩個方面即充分性和必要性。共面向量的充要條件給出了平面的向量表示，說明任意一個平面可以由兩個不共線的平面向量表示出來， 它既是判斷三個向量是否共面的依據(jù)， 又是已知共面條件 的另一種形式，可以借此已知共面條件化為向量式， 以便我們的向量運算。 利用共面向量 定理可證明點線共面、線面平行等。三個向量共面，又稱做三個向量線性相關(guān)。反之，如果三個向量不

4、共面，則稱做三個向量線性無關(guān)。知識點三空間向量分解定理(1)空間向量分解定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x , y , z ,使p = xa + yb + xc。(2)如果三個向量a、b、c是三個不共面的向量， 則a、b、c的線性組合xa + yb + zc 能生成所有的空間向量，這時 a、b、c叫做空間的一個基底，記作 a,b,c,其中a、b、 c都叫做基向量。(3)空間向量基本定理說明：用空間三個不共面的已知和向量組1a,b,c可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結(jié)果是唯一的?？臻g任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底。由

5、于0可看做是與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含它們都不是0。要明確：一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念。典型例題分析題型1概念問題【例1】 設(shè)x=a+b, y = b+c, z = c + a ,且a,b,c)是空間的個基底，給出下列向量組： Qb,x, ta,b, y),，&, y, zJ,(a,x, y, &, y, z+b + c。其中可以作為空間基底的向量組有()A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個解析正確理解向量的基底與基向量。答案 如圖所示，設(shè)a=AB,b = AA1,c

6、= AD ,則x = AB,y=AD1,z = AC, a+b+c = AC1,由 A、B1、C、DDi四點不共面，可知 x、y、z也不共面，同理可知 a、b、c和x、y、z、a+b+c也不共面。二選D.方法指導(dǎo) 能否作為空間的基底，即是判斷給出的向量組中的三個向量是否共面。充分 利用一些常見的幾何體，如：正方體、長方體、平行六面體、四面體等可以幫助我們進行直 觀判斷，即模型法的應(yīng)用?！咀兪接?xùn)練1】 設(shè)a、b、c是三個不共面向量，現(xiàn)從 a + b,a b,a + c, b+c ,a+b-c中選出一個使其與 a、b構(gòu)成空間向量的一個基底，則可以選擇的向 量為 o【答案】。題型2共線向量定理的應(yīng)用

7、【例2】 已知空間三個不共面的向量 m, n, p ,若a =3m2n4 P , b = (x+1 m + yn +2 p ,且ab ,求實數(shù)x, y的值。解析 解決向量共線問題的依據(jù)是應(yīng)用共線向量的充要條件，即b = Za(Z w R),且兒是唯一確定的實數(shù)及a00。答案因為ab，所以b =，£(九w r),即(x +1 m + yn +2p =3£m 2九n -4Ap。_ 4 九=2,由于向量m, n, p不共面，所以-2九=丫， 心九=x +1,5 x = - .5解之，得，2,故實數(shù)x,y的值分別為5,1。2y=1,2規(guī)律總結(jié)待定系數(shù)法也可以用來解決空間向量中的有關(guān)

8、問題。在解決本題的過程中有兩個關(guān)鍵：一是運用共線向量的充要條件得到相應(yīng)的關(guān)系式；二是根據(jù)空間向量定理的推論 得到關(guān)于兒x,y的方程組。【變式訓(xùn)練2】 已知空間三個非零向量 a、b、c滿足a+b = 3c,a b = 5c,判斷向量a與b是否平行。答案a +b =3ca-b =5c_+口一、一所以得:a=4c,得:b = -c,所以a = Yb ,故由共線向量充要條件22得：a/bo【變式訓(xùn)練3】 已知向量a、b,且AB = a+2b,BC = 5a + 6b,cD =7a 2b,則一定共線的三點是（）A.A、B、D B.A 、B、C C.B 、C、D D.A、C、D答案 BC +CD = BD

9、 = -5a +6b +7a 2b = 2a + 4b = 2AB。所以 BSAB ,所以A、B、D三點共線。，選A.題型3共面向量定理及應(yīng)用【例3】 已知A, B , C三點不共線，對平面 ABC外一點O,確定下列各條件中的2一 1 2 一一點P是否與點A, B, C一定共面，（1） OP=2OA +OB+2OC ； （2）555OP =2OA -2OB -OC。解析 由共面向量定理知，要證明 P, A, B, C四點共面，只要證明存在有序?qū)崝?shù)對（x,y 鹿彳導(dǎo) AP = xAB + yAC。一 2 一 . 1 一 2 二答案（1）共面。< OP = OA + OB+OC555.OP-

10、OA = -3OA+-OB+2OC =-Ob-Oa>-（Oc-Oa）=-AB+-AC ,即555555512 -AP = AB + 2 AC . AB主AC不共線，二AP, AB, AC共面且具有公共點 A ,從而P ,55A, B, C四點共面。（2）不共面。如果 P與A, B, C共面，則存在唯一的實數(shù)對 （x,y ），使得AP=xAB + yAC,對平面 abc外一點 O,有 OPOA = x(OBOA)+y(OCOA),1 -x -y = 2,即OP=0x yOA+xOB + yOC,與原式比較得Jx=2,，此方程組無解，故A,y 7B, C, P四點不共面。規(guī)律總結(jié)判斷四點共面

11、，除了本題中的解題方法外，還可以用其變形，即：空間一點P 位于平面ABC內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y ),使得對空間任一定點 O,有OP =OA + xAB+yAC ；或若四點P, A, B, C共面，則對空間任一定點 O,有OP =xOA + yOB+zOC(x + y+z = 1 Jb【變式訓(xùn)練4 若e1,e2,e3是三個不共面的向量，試問向量a =3+2e2+e3,b =-e1+e2+3e3, c = 2e1e24e3是否共面，并說明理由。答案 令 x(3ei +2e2 +& J+y(ei +e2 + 3e3)+z(2& _2-4e3 )=0 ,亦即，

12、9;x _ y + 2z +(2x + y - z »2 +(x -3y 4z 9=0 ,因為0萬2,備是三個不共面的向量，3x - y , 2z = 0,|x = -1,所以 2x+y z=0,解得y =7,x 3y -4z =0,z = 5,從而a =7b , 5c,a,b,c三個向量共面?！纠?4】 求證：三向量 a =e+e2,b = 3e12e2,c = 2ei+3e2共面；若 a = mb+nc, 試求實數(shù)m, n的值。解析 要證明三個向量 a =e1+e2,b =3e12e2,c = 2e1+3e2共面，可以利用向量共面定理的推論，證明存在三個不全為零的實數(shù)匕出7 ,使

13、得Ka + Nb + 3 = 0即可。答案aJbc = 'e1e2T 1i3e1-2e2廣'i2e13e2= ' .32 e1 丁產(chǎn) 2J 3e2如果九，匕?，適合方程組九+3N+27 =0,2-23+30 = 0,那么就能使人a + Nb+7C = 0,-13t,而顯然上述方程組有無數(shù)組解N=t,，其中twR。5 55t,一.一. . ，一 15于是有13ta+tb+5tc = 0,所以，a,b,c三向量共面，并且可得 a =b + ?c。1313，.一. .15故所求的實數(shù)m=',=2。1313規(guī)律總結(jié) 事實上，對于任意兩非零向量 e1,e2,則a = %e

14、+N1e2, b = %e十2e2,c = %e1 + 為ej%,九2, %,心，匕，也WR ）總是共面的。從本題的解法中不難發(fā)現(xiàn)，其解題方法是一箭雙雕，即在證明a,b,c三向量共面同時，只要對結(jié)論稍作變形就得到了m與n的值。另外，面對解題過程中關(guān)于 九，此7的方程組有數(shù)組解的情況，若不能利用其中的一組解, 或者是獲得 一與一的值，就不能就得所求的 m與n的值?！咀兪接?xùn)練5】 已知a,b,c是三個不共面向量，若 a,b,c的起點相同，則當(dāng)實數(shù) t為何一 1值時,a,b,tc及- (a +b +c)的終點共面?4、 ，一 一 1答案 由于a,b,tc及一（a+b+c）的終點共面，所以等價于 ba

15、,tc a及 411（a+b+c）a共面，于是，設(shè)4 u(b -a )+ B (tc -a )+7. J (a + b + c )-a=0 ,一43 n 3 .一(f所以 一口一口一一？ a + 口+ b+|yP+_ c=0.<4 r <4/14；c 3-a P 口 =0, 4，一、 V故有萬程組（a十_=0有解，4yyp 十一=0,/4-1.111 一 1（1） + （2）得：P =尸，由（3）得：p = 所以=，即 t 4.24t 4t 22題型4空間向量分解定理及應(yīng)用【例5】 如右圖所示，平行六面體 OABDO'ABC',且OA = a, OC=b,OO =

16、c,用a, b, c表不如下向量：（1）OB、OB、ac ；（2） GH （G、H分別是側(cè)面BBCC和OABC'的中心）。解析 oA、oB、oc不共面，可作為空間的一個基底， 其他向量用（oA、oB、oC） 表不出來。答案 （1） oB =oB+bB =oA+oC+oo =a+b+c ,o B = o o oB=oo oA oc = ca b=a b -c, ACH = AC +CC = AB +Ao +AA，= oC +AA-oA = b+c-a。（3） Gh =go+oh =-oG +oH = -（oBh+oO+-（oBh + oqO221 11fliEJa b c b a b c

17、 c c -b .2 22規(guī)律總結(jié) 在平行六面體中，從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的 向量都可作為基底。向量法的關(guān)鍵就是用已知表示未知，然后進行向量的運算?！咀兪接?xùn)練6】如圖，空間四邊形 oABC中，G、H分別是a、b、c表示向量GH 。ABC、AOBC 的重心，設(shè)OA=a、OB=b, oc =c，試用向量答案由gH=oHoG.人教版【高中數(shù)學(xué)】選修 2-1第三章空間向量的基本定理講義22 11二 0H =3od=3、2(ob+0cL3b+c),22 ：-OG =0A AG =OA AD =OA OD -OA 3312 111 .=OA + 父(OB + OC )= a + (b + c33 2

18、3 311111,GH = b+c A a b+c a,即 GH=a.33333題型5綜合應(yīng)用【例6】如圖所示，E,F,G,H分別為正方體ABCD A1B1C1D1的棱A1B1, ADhBG'D1cl的中點。求證：(1) E,F,D,B四點共面;(2)平面AEF平面BDHG。解析 由共面向量定理可知，要證明E,F,D,B四點共面，只要證明存在有序?qū)崝?shù)對 x,y使得ED =xEB yEF即可；要證明平面 AEF 平面BDHG ,只要證明平面 AEF內(nèi)的兩條直線平行于平面 BDHG內(nèi) 的兩條相交直線即可。答案(1) v ED = EB + BD = EB + b1d1 = EB+2EF ,

19、二ED, eB, EF共面且具有公共點 E ,二e,f,d,b四點共面。: E, F,G,H 分別是 AB1, AD,B1C1,D1C1 的中點,一1EF =一B1D1 =GH,AF =AA +A)F = BB +B1G= BG ， 2, EF /GH , AF / BG , EF /平面 BDHG , AF/平面 BDHG，又 AF EF = F ,，.平面 AEF/平面 BDHG 。方法指導(dǎo) (1)要證明E,F,D,B四點共面，也可以證明 EF/BD ,也即只要證明:BD =?；EF丁 BD =AD AB = AD； AB. = 2A1F-2A1E = 2A1F aEL2EF ,A/8 /

20、 13人教版【高中數(shù)學(xué)】選修2-1第三章空間向量的基本定理講義丁 BD,EF共線，又; BD,EF不重合，,BD/EF ,即E,F,D,B四點共面。(2)要證明兩平面平行，只要證明一平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一平面。轉(zhuǎn)化為向量問題即是要證明，一個平面內(nèi)兩條直線對應(yīng)的向量分別與另一平面內(nèi)的兩條相交直線所對應(yīng) 的向量共線即可。【變式訓(xùn)練71 已知E,F,G, H分別是空間四邊形 ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點，(1)求證：E,F,G,H四點共面；(2)求證：BD 平面EFGH。1 1 一一 一答案(1)如圖，由題意知EH = BD且FG = BD，二EH = FG ,二四邊形EHGF2

21、 2是平行四邊形，E、F、G、H四點共面。1(2)由(1)知 EH =BD，: EH /BD ,即 BD/EH .又 BDS 平面 EFGH , 2EH 仁平面 EFGH，- BD 平面 EFGH。規(guī)律方法總結(jié)(1) 0與任一向量a是共線向量。(2)向量的平行(共線)不具備傳遞性，即若 a/b, a/c不定有bc。但當(dāng)a為非零向量時，平行(共線)的傳遞性將成立，即若a=0, a/b, a/c,則b/c°(3)在共線向量定理中，b¥0不可去掉，否則實數(shù) 九就不唯一。(4)如果a、b共線，則p=xa + yb不是p、a、b共面的充要條件。 原因是：若a、b共線，則p與a、b一定

22、共面。當(dāng)p與a、b不共線時，p無法寫成xa+yb的形式；當(dāng)p與a、b共線時，雖然可以寫成 p =xa+yb的形式，但實數(shù)對 x, y不唯一。(5)利用空間向量的分解定理時，不可忽視條件中三向量“a,b,c不共面”的條件。(6)證明兩向量共線的方法：首先判斷兩向量中是否有零向量。若有，則兩向量共線；若兩向量a , b中，b#0,且有a = xb(x 亡 R ),則 a , b 共線。(7)判斷三向量是否共面的依據(jù)：共面向量定理是判定三個向量是否共面的依據(jù)，要證明三個向量a,b,c共面，只需存在一對實數(shù)x,y,使a=xb+yc就可以了。在證明時要結(jié)合空間圖形， 若通過運算得不出a,b,c的向量等式

23、，x、y就不存在，a,b,c就不共面。但一定要注意：三個向量共面是指它們所在的基線平行于同一平面或在同一平面內(nèi)，并不是指它們的基線一定在同一平面內(nèi)，利用此定理可以證明四點共面。（8）空間向量基本定理的應(yīng)用方法：選定空間不共面的三個向量作為基向量，用它們表示指定向量時，要結(jié)合圖形，聯(lián)想相關(guān)的公式和運算法則等表示出與指定向量接近的向量，再變形整理直至符合目標(biāo)。定時鞏固檢測基礎(chǔ)訓(xùn)練1.設(shè)M是MBC的重心，記a = BC,b=CA,c = AB,a+b+c=0,則AM為（）A.bZCb.C-b22b - cC. 3D.17 / 13【答案】D （點撥：M為AABC重心，則AM =2 1 AB AC A

24、B ACc-b . 3 IL2332 .如圖所示，已知 A, B,C三點不共線，P為一定點,表示向量OP的為 （）A. OA 2AB 2ACB. OA -3AB -2ACC. OA 3AB -2ACD. OA 2AB -3ACAP = xAB + yAC?！敬鸢浮緾 （點撥：根據(jù) A、B、C、P四點共面的條件即可求得:即 OP =OA + xAB+yAC ,由圖 x=3,y = N.）3 .下列命題中真命題的個數(shù)是（）空間中的任何一個向量都可用a, b, c表示< j空間中的任何一個向量都可用基向量a,b,c表示空間中的任何一個向量都可用不共面的三個向量表示 力' "&

25、quot;""T" <平面內(nèi)的任何一個向量都可用平面內(nèi)的兩個向量表示rJA.4個 B.3 個 C.2 個 D.1 個【答案】C （點撥：正確的命題是。）4 .已知向量（a,b, c心空間的一個基底，從 a, b,c中選哪一個向量，一定可以與向量p = a +b , q = a -b構(gòu)成空間的另一個基底（）A. a B. b C. c D. 不存在【答案】C （點撥：設(shè) zc = xp + yc,則 zc = x（a +b ）+y（a b ）= （x+y ）a + （x - y b因（a,b,c內(nèi)基底，只能有x = y = z = 0.）5 .如圖所示，已知空

26、間四邊形OABC ,其對角線為OB,AC , M、N分別是OA, BC的中點，點G在線段MN上，且分MN所成的定比為2,現(xiàn)用向量OAOB,OC表示向量OG ,設(shè)OG =xOA+yOB +zOC ,則x, y, z,的值分別是A 111A. x=-,y=-,z = -333B.P 111C. x_ ,y_ ,z_ 36311D.6,y= 一,z =-33【答案】D （點撥：由 MG = 2,知OG=OM + MG =-OA + 2MNGN1 2 門一 一1 1 1 =OA + OA+OBOA+OCOB I23 <222 11 1 1 11=OA OB OC . x=,y=z=.63363能力提升6.空間四邊形 OABC 中，OA = a,OB=b,OC=c，點 M 在 OA 上，且 OM =2MA, N 為BC中點，則MN為（）21,1a -b -c32222,1a b c332人 12U 1A. ab