全等三角形證明經(jīng)典試題50道

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)全等三角形證明經(jīng)典試題50B1 .（已知：如圖， E,F 在 AC上，AD/ CB且 AD=CB / D= Z B. 求證：AE=CF.【答案】: AD/ CB ./ A=Z C又 AD=CB / D=/B . ADF CBEAF=CE . AF+EF=CE+EF即 AE=CF2 .已知：如圖，/ AB6/DCB BD CA分別是/ ABC / DCB勺平分線.求證： AB=DC精彩文檔(2)分另1J將" BD=CE記為，"CD=BE 添加條件、以為結(jié)論構(gòu)成命題 2.或“假”填入空格).證明：在 ABCW DCB/ABC /DCB（已知）A /ACB=/DBC（AC

2、平分 / BCD BDW Z ABCBC =BC（公共邊）. .AB笠 ADCB . AB=DC3 .如圖，點(diǎn)D, E分別在AC, AB上.(1)已知，BD=CE, CD=BE 求證：AB=AC記為，“AB=AC記為.添加條件、，以為結(jié)論構(gòu)成命題1,命題1是命題2的 命題，命題2是 命題.(選擇"真"（1）連結(jié) BC,BD=CE, CD=BE BC=CBADB( ECB (SSS/ DBC =Z ECBAB=AC(2)逆，假；4 .如圖，在DABCDK 分另1J延長 BA, DC到點(diǎn)E,使得AE=AB CH=CD連接EH,分別交AD BC于點(diǎn)F,G。求證: AE=AB, C

3、H=CD AE=CHAAEF ACHG.5.如圖，點(diǎn) A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn) B和點(diǎn)E分別在直線 AD的兩側(cè)，且 AB= DE / A= / D, A已DC 求 證：BC/ EF.【證明】 AF= DC, . . AC= DF,又/ .A= / D , AB= DE ABC DEF/ ACB= / DFE, BC/ EF.6.兩塊完全相同的三角形紙板ABC DEF按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)的交點(diǎn).不重疊的兩部分 AOF DOC!否全等？為什么？O為邊AC和DF【答案】解：全等.理由如下：二.兩三角形紙板完全相同，BC=BF, AB=BD / A=Z D, . . AB

4、- BF=BD- BG即AF=DC 在AOFf 口 ADO計(jì)，. AF=DC / A=/D, /AOFVDOC AO目 DOC( AAS .7.已知：如圖，E,F 在 AC上，AD/ CB且 AD=CB / D= / B.求證：AE=CF【答案】: AD/ CBA=Z C又 AD=CB / D=ZB . ADF CBE . AF=CE . AF+EF=CE+EF即 AE=CFE在 BC上，且 AE=CF.8.在ABC中,AB=CB, Z ABC=9Gb ,F 為 AB延長線上一點(diǎn) (1)求證:Rt ABERtCBF;(2)若/ CAE=3Gb ,求/ ACF度數(shù).【答案】(1)/ ABC=90

5、 , . . / CBF玄 ABE=90 .在 RtMBE和 RtCBF中， AE=CF, AB=BC, . RtA ABE RtA CBF(HL)(2) AB=BC, /ABC=90 ,./ CAB玄 ACB=45° . / BAE CAB-Z CAE=45 -30 ° =15° .由(1)知 Rt AABE RtACBF, . / BCF=/ BAE=15，/ACF=/ BCF+Z ACB=45 +15° =60° .9.如圖6, AB_LBD于點(diǎn)B, ED _L BD于點(diǎn)D , AE交BD于點(diǎn)C ,求證AB = ED .且 BC =DC

6、.【答案】(1)證明：AB_LBD, ED_LBDABC = D =90：在MBC和iEDC中ABC = D BC =DC Zacb Zecd. ABC 0 . ：EDC AB =ED10.如圖，在RtABC中，/ BAC=90 , AC=2AB點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為 45°的直角三角板如圖放置, 使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連結(jié)BE、EC試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想.【答案】BE=EC BE! ECAC=2AB點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)AB=AD=CD/ EAD4 EDA=45EAB之 EDC=135 EA=ED. EA® EDC/ AE

7、B=Z DEC EB=EC BEC4AED=90BE=EC BE! EC11 .已知：如圖，E,F 在 AC上，AD/ CBS. AD=CB Z D= /B 求證：AE=CF【答案】: AD/ CB ./ A=Z C又 AD=CB / D=/B . ADF CBEAF=CE . AF+EF=CE+EF即 AE=CF,且 AB=AC AD=AE 求證/ B=Z C.12 .如圖，D, E,分另1J 是 AB, AC上第I駛8圖【答案】證明：在 ABEffi ACD43, AB= AC ZA=ZA AE= AD. / AB彥 AACD ./ B=Z C13 .如圖，在 ABC,AD是中線，分別過點(diǎn)

8、B、C作AD及其延長線的垂線BECF,垂足分別為點(diǎn)E、F.求證:BE=CF BD=CD CU AD BE!AD / CFD= / BED= 90° ,在 BEDW CFD43, / BED= / CFD / BDE= / CDFBD= CD BE四 ACFtD . - BE=CF.14 .已知：如圖，在 ABC中,D為BC上的一點(diǎn)，AD平分/ EDC且/ E=Z B,ED=DC.求證：AB=AC【答案】證明: AD平分/ EDC，/ ADEhADC,又DE=DC,AD=AD,. .AD段 AADC, ./ E=Z C,又/E=/B, . B =/C, .1.AB=AC.15 .如圖，

9、在平行四邊形 ABCD中，E為BC中點(diǎn)，AE的延長線與DC的延長線相交于點(diǎn) F.(1)證明：/ DFA = / FAB;(2)證明：aABE FCE.（第18題圖）【答案】證明：（1） .AB與CD是平行四邊形 ABCD的對邊，AB/ CD （1分）/ F=Z FAB （3分）（2）在4ABE 和 4FCE 中， /FAB=/ F （4 分） / AEB4 FEC （5 分）BE=CE （6 分）AB® FCE （7 分）16 .如圖，C是線段 AB的中點(diǎn)，CD平分/ ACE CE平分/ BCD CD=CE（1）求證： AC國 BCE（2）若/ D=50° ,求/ B的度數(shù)

10、.證明；（n ,點(diǎn)匚起統(tǒng)段用"腦中點(diǎn).乂 平分/ACE. CE 平分 £HC0 Z2-Z3,AZI -ZJ.A.ZXACP 和 ABCE 中，CD = CE,Z1 -Z3,MC = RC.二,AO e 此,£（2）W： V Zi + Z2 +，3 =18任.工 Zl JZ2-Z5-60*1.VAaCD hce.A /E *& Sb *17 .如圖，已知：點(diǎn) B、F、C E在一條直線上，F(xiàn)B=CE AG=DF.能否由上面的已知條件證明AB/ EDD如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件，添加到已知條件中，使 AB/ ED成立，并給

11、出證明.供選擇的三個(gè)條件（請從其中選擇一個(gè)）： AGED BGEF;/ ACBZ DFE（第25題）【答案】解：由上面兩條件不能證明AB/ED.有兩種添加方法.第一種：FB=CE AGDF添加 AB=ED證明：因?yàn)?FB=CE 所以 BGEF,又 AC=EF, AB=EQ 所以 ABC DEF所以/ ABG/ DEF 所以 AB/ED第二種：F&CE AGDFW加 /AC囪/DFE證明：因?yàn)?FB=CE 所以 BGEF,又/ACB/DFE AC=EF,所以 ABC DEF所以/ ABG/ DEF 所以 AB/EDA18 .如圖，在 ABC, D是BC邊上的點(diǎn)（不與 B, C重合），F(xiàn),

12、 E分吵叭AD及其延長線上的點(diǎn)， CF/ BE請你 添加一個(gè)條件，使 BD眸ACDF不再添加其它線段，不再標(biāo)注吵用Z破J、），并給出證明.（1）你添加的條件是： ;BTD"C（2）證明：& （第18題【答案】解：（1） BD =DC （或點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)），F(xiàn)D=ED, CF =BE中任選一個(gè)即可.(2)以BD =DC為例進(jìn)行證明:. CF/ BE, ./ FCD= / EBD又. BD =DC , / FDG / EDBBDE2 CDF19 .如圖，分別過點(diǎn) C B作ABC勺BC邊上的中線 AD及其延長線的垂線，垂足分 別為E F.求證：BF=CE【答案】CEL AF,

13、 FBI AF,./DEC =Z DFB= 90又 AD為BC邊上的中線，BD= CD 且/ EDC =Z FDB（對頂角相等） . .所以 BF坐 CDE（ AA$S , . . BF=CE20 .如圖，已知AD是 ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使4AE況 AFD需添加一個(gè)條件是:,并給予證明.AEFCBD【答案】解法一：添加條件：AE= AF,全品中考網(wǎng)證明：在 AED AFD中， AE= AF, Z EAD= /FAD, AD= AD, .AEg AFD (SAS .解法二：添加條件：/ EDA= /FDA證明：在 AED與4AFD中,. / EAD= / FAD, A

14、D= AD, / EDA= / FDA .AED AFD (ASA .CE=CD / ACDh BCE,21 .已知：如圖，點(diǎn) C是線段AB的中點(diǎn),求證：AE=BD題20圖【答案】證明：點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),AC=BC / ACDW BCE, / ACD+ DCE= BCE+Z DCE, 即/ ACE= BCD,'AC = BC在4AC訝口BCD43,. ACE = . BCD,CE = CD. AC監(jiān) BCD (SAS , AE=BD.21.已知：如圖，點(diǎn) A、R C D在同一條直線上,EA± AD FD! AD AE=DF, AB=DC求證：/ AC心/DBF【答案】證明

15、：; AB=DC:.AC=DB. EALAD FD!AD./ A=Z D=90在 EACW FD珅EA = FDkA =/DAC = DBEA白 FDB.Z ACE=ZDBF22.如圖，點(diǎn) A、E、B、D在同一條直線上， AE= DB AC= DF, AC/ DF 請?zhí)剿鰾C與EF有怎樣的位置關(guān)系？ 并說明理由.F【答案】解：BC/ EF.理由如下：AE= DB,，A曰BE= DB+ BE DF, ACB DFE / FED= / CBA . . BC/ EF.23.如圖，點(diǎn)B、D、C、F在一條直線上，且 BC = FD, AB = EF.(1)請你只添加一個(gè)條件(不再加輔助線)，使ABe A

16、EFD,(2)添加了條件后，證明 AB% EFD.AD= DE AC/ DF . / A= / D,你添加的條件是AC=【答案】(1) / B = /F 或 AB/ EF 或 AC = ED.(2)證明：當(dāng)/ B = / F時(shí)在 ABCF 口 EFDAB =EFIB = FBC =FD.ABC EFD (SAS)24.如圖，ZBAC =/ABD .(1)要使OC =OD ,可以添加的條件為： 或；(寫出2個(gè)符合題意的條件即可) (2)請選擇(1)中你所添加的一個(gè)條件，證明 OC =OD .【答案B解：(1)答案不唯一.如/C =/D ,或/ABC =/BAD ,或/OAD =/OBC ,或 A

17、C = BD .4分說明：2空全填i寸者，給4分；只填1空且對者，給2分.(2)答案不唯一.如選AC = BD證明OC=OD.證明：/BAC =/ABD ,OA=OB. 6 分又 AC = BD, AC-OA=BD-OB 或 AO+OC=BO+OD.OC =OD . 8 分.設(shè)計(jì)了如下方案:25. A (1)班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動課，利用角尺平分一個(gè)角(如圖)AB（I） / AO配一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與MN重合，即PM=PN過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是/ AOB的平分線.（n） / AO配一個(gè)任意角，在邊 OA OB上分別取OM=ON將角尺

18、的直角頂點(diǎn) P介于射線OA OB之間，移動角 尺使角尺兩邊相同的刻度與 M N重合，即PM=PN過角尺頂點(diǎn) P的射線OP就是/ AOB勺平分線.（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由（2）在方案（I） PM=PN勺情況下，繼續(xù)移動角尺，同時(shí)使PML OA PN! OB.此方案是否可行？請說明理由 .【答案】解：（1）方案（I）不可行.缺少證明三角形全等的條件 . 2分（2）方案（n）可行.證明：在 OPMF口4OPN中OM =OP，PM =PNOP =OP . OP陣 OPN（SSS）/AOPN BOP（ir等三角形應(yīng)角相等 ） 5分（3）當(dāng)/ AO配直角

19、時(shí)，此方案可行. 6分.四邊形內(nèi)角和為 360° ,又若 PML OA,PNL OB, / OMP= ONP=90 , / MPN=90 / AOB=90,.若 PML OA,PNL OB,且 PM=PNOP為/ AOB勺平分線.（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上）當(dāng)/AO壞為直角時(shí)，此方案不可行 .8分26 .如圖，AB是/ DAC勺平分線，且 ADAG求證：BD=BC全品中考網(wǎng)【答案】證明：AB是/DAC勺平分線 / DAB/ BAC在 DAB / CAB43AD = ACDAB = CABAB =ABDA里 CABBD=BC27 .如圖 10,已知 RtAABC 三 R

20、tAADE , /ABC =/ADE =90白，BC與DE相交于點(diǎn)F ,連接CD,EB .(1)圖中還有幾對全等三角形，請你一一列舉；(2)求證：CF = EF .【答案】(1) AADC =AABE,ACDF 與 AEBF2 分(2)證法一：連接CE3辦一 Rt ABC 三 Rt. ADEAC = AE4分 ./ACE=/AEC5分又. Rt ABC 三 Rt ：ADE ./ACB=/AED6分 . ACE 一 ACB =/AEC - AED即/BCE=/DEC7分 .CF =EF8分證法二：.ruaBC - RuaDeAC = AE,AD = AB,ZCAB =/EAD , /CAB -N

21、DAB =/EAD -/DAB即/CAD =/EAB3分MCD 三 AAEB(SAS)4分CD =EB,/ADC =NABE又. NADE =/ABC/CDF =/EBF6分又. DFC_ = /BFE /CDF 三/EBF(AAD)7分CF =EF8分證法三：連接AF3分. Rt ABC 三 Rt ADE . AB = AD,BC = DE,. ABC =/ADE =90 又 AF 二 AF RtMBF 三 RUADF (HL)5分BF =DF6分又.BC = DMBC BF =DE DF7分即CF =EF8分28 . (2010廣西柳州)如圖9,在8X8的正方形網(wǎng)格中， ABC勺頂點(diǎn)和線段

22、 EF的端點(diǎn)都在邊長為 1的小正方形的頂點(diǎn)上.(1)填空：/ AB(=, BC=;(2)請你在圖中找出一點(diǎn) D,再連接DE DF使以D E、F為頂點(diǎn)的三角形與 ABC全等，并加以證明.圖M【答案】29 .如圖，在 ABC中，/ ACB=90, AC=BC CE BE, CE與 AB 相交于點(diǎn) F, ADL CF于點(diǎn) D,且 AD平分/ FAC,請 寫出圖中兩對 全等三角形，并選擇其中一對加以證明。律21題)案M! AMCg AADF.I；出其中兩時(shí) W 可)證法I：若逸祥ZUXkjASF.證明如下；V W 平分上E4C.二 LCW = 4XXA丫 CF,DC =乙40F =90",又

23、丁 虹)從,.證法2:若逸撲&1兇9 明如下：t AR上C£.RE(Q' _AI)C = ZCCT=90a.; 乙案 二一+ i_ ECti tt9O%LACO + 乙K： =竹. j* Z DAC = LECH.又，"C CK.工氏30.如圖10,在四邊形 ABC用，AD/ BC E為CDW中點(diǎn)，連結(jié) AE BE, BE!AE延長AE交BC的延長線于 點(diǎn)F.求證：（1） FC=ADBC F【答案】解：（1）因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以 DE=CE因?yàn)锳B/CD,所以/ ADE=Z FCE / DAEh CFE.所以 AD段4FCE.所以FC=AD.（2）因?yàn)?

24、AD段 FCE,所以AE=FE又因?yàn)锽EX AE,所以BE是線段 AF的垂直平分線， 所以 AB=FB.因?yàn)?FB=BC+FC=BC+A所以 AB=BC+AD.31.如圖，點(diǎn) A、E、F、C在同一條直線上， AD/ BC AD=CB AE=CF 求證：BE=DF.AB【答案】證明：; AD/ BC/ A= / C 1分 AE= FCAF= CE 2分在 ADFA CBE中AD =CBA = CAF =CE .ADM CBE 5分BE= DF 6分(1) /ABG135。，BG2J5, 2 分（2）（說明：D的位置有四處，分別是圖中的 口、D、C3、d.此處畫出D在D處的位置及證明，D在其余位

25、置的畫法及證明參照此法給分）解： EFD的位置如圖所示. 3分證明：FD=BC= 2'22 +22 =22 4 分/EFD=/ABB90 +45° =135°5 分EF=AB=2AEFtD ABC 6 分32.如圖，在 ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交 CE的延長線于點(diǎn) F,且AF=BD 連結(jié)BF。(1)求證：BD=CD(2) 如果AB=AC試判斷四邊形 AFBD勺形狀，并證明你的結(jié)論。33.如圖，ABCO正方形，點(diǎn) G是BC上的任意一點(diǎn), 求證：AF =BF EF .DE，AG 于 E, BF / DE ,交 AG F.34 .

26、如圖：已知在zABC中，AB = AC , D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn) D作DE，AB, DF ± AC , 垂足分別為E, F .(1) 求證：BEDCFD；(2)若NA =90° ,求證：四邊形 DFAE是正方形.35 .數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖 1,四邊形ABC虛正方形，點(diǎn) E是邊BC的中點(diǎn)./AEF =90°,且EF 交正方形外角. DCG的平行線CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M連接ME則A陳EC易證 AME ECF ,所以AE =EF .在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1)小穎提出：如圖2,如

27、果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn) E是邊BC上(除B, C外)的任意一點(diǎn)”， 其它條件不變，那么結(jié)論" AE=EF'仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正 確，請說明理由；(2)小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長線上(除 C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論"AE=EF”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.36 .如圖10,在ABC, AB=AC D是BC的中點(diǎn)，連結(jié) AD在AD的延長線上取一點(diǎn) E,連結(jié)BE CE(1)求證： AB白 ACE(2)當(dāng)AE與AD蔭足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形 A

28、BEO菱形？并說明理由B, E在同一條直線上，且AD=BE / A=Z FDE則4 AB室 DEF判斷這個(gè)命題是適當(dāng)條件使它成為真命題，并加以證明.真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，請?zhí)砑右粋€(gè)38 .如圖，直角才形 ABCD3, AD / BC , /BCD =90° ,且CD = 2AD , tan 4BC =2 ,過點(diǎn) D作 DE / AB , 交. BCD的平分線于點(diǎn)E,連接BE(1)求證：BC =CD ；(2)將4BCE繞點(diǎn)C,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至ij DCG ,連接EG.求證：CM直平分EG(3)延長BE交CDT點(diǎn)P.求證：P是CD的中點(diǎn).

29、即 BC =CD .(238.兩個(gè)完全相同的矩形紙片 ABCD、BFDE如圖7放置，AB = BF ,求證：四邊形 BNDM為菱形.39 .已知線段 AC與BD相交于點(diǎn)O ,聯(lián)結(jié)AB、DC , E為OB的中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié) EF (如 圖所示).(1)添加條件/ A=Z D, /OEF =/OFE ,求證：AB=DC(2)分另ij將“ /A=/D ”記為，"/OEF =/OFE ”記為，“ AB = DC ”記為，添加條件、， 以為結(jié)論構(gòu)成命題 1,添加條件、，以為結(jié)論構(gòu)成命題 2.命題1是 命題，命題2是 命題(選擇“真”或“假”填入空格).40 .如圖，在DABCD,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接 CE并延長，交BA的延長線于點(diǎn)F.41.如圖，已知 ABC為等邊三角形，點(diǎn)AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)求證：MBE CAD(2) 求/ BFD的度數(shù)