人教A版必修五2余弦定理教學(xué)設(shè)計

1、人教A版必修五?1.1.2余弦定理?教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)結(jié)構(gòu)體系:1 .前后內(nèi)容聯(lián)系：本節(jié)內(nèi)容是?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5» (人教A版)第章余弦定理第一課時(余弦定理安排2課時),是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量等知識之后,是對三角知識的應(yīng)用,也是對解直角三角形內(nèi)容的直接延伸,定理本身的應(yīng)用十分廣泛2 .本節(jié)課的結(jié)構(gòu)：二、學(xué)生學(xué)情分析：對普高高二的學(xué)生來說,已學(xué)的平面幾何、解直角三角形、三角函數(shù)、向量等知識,有一定觀 察分析、解決問題的水平,但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度,所以思維靈活性受到 制約.根據(jù)以上特點,教師應(yīng)多增強引導(dǎo),注重前后知識間的聯(lián)系.培養(yǎng)學(xué)生積極參

2、與分析問題、 小組合作,探究問題、使用知識解決問題.三、教學(xué)目標(biāo)、重點與難點分析：1 .教學(xué)目標(biāo)：(1)知識目標(biāo)：掌握余弦定理的內(nèi)容及其證實方法,能使用余弦定理解解斜三角形的(2)水平目標(biāo)：通過對實際問題的探索,培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問 題的水平,增強學(xué)生的協(xié)作水平和交流水平,開展學(xué)生的創(chuàng)新意識,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的水平2 .教學(xué)重點：三角形邊角關(guān)系的探索；余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證實；余弦定理的簡單應(yīng)用.3 . 教學(xué)難點：余弦定理的證實,余弦定理的拓展.三、教學(xué)過程:一創(chuàng)設(shè)情境,引出課題:情境1：如圖1所示,A、B兩地之間的距離怎么測定情境2：如圖2所示,A、B兩地之間隔著一座小山,

3、現(xiàn)要在A、B之間修建的一條隧道,工程技術(shù)人員如何測量隧道的長度工具：皮尺、水平測距儀、測角儀 問題1:上述兩問題區(qū)別在哪里,分別如何解決學(xué)生：情境1中兩點間無障礙可直接到達,可直接用測量工具水平測距儀測量,情境2中兩點間有障礙不可到達,直接用測量工具水平測距儀測不出來.間的距離嗎學(xué)生：不行,我們還能夠用測角儀測出C的 大小,通過解三角形求 AB的長度.教師：假設(shè)將情境2問題化歸為解三角形問題,那么該問題是解三角形的什么問題學(xué)生：三角形的兩邊及夾角,求第三邊問題.教師：本節(jié)課我們將要探究的問題是：在三角形兩條邊的長度前提下,其夾角與第三條邊的 長度之間關(guān)系,這正是余弦定理所揭示的規(guī)律-引入課題.

4、設(shè)計意圖：通過實例創(chuàng)設(shè)情境,引發(fā)學(xué)生對本節(jié)課的興趣,同時抽象出數(shù)學(xué)問題引入新課二問題化歸,構(gòu)建模型：問題2：如圖3在 ABC中,CA b, CB a,當(dāng) C變大時,線段AB的長度的如何變化教師：用動畫演示學(xué)生：當(dāng) C變大時,線段AB的長度變大.教師：剛剛我們僅僅對 ABC中,CA b,CB a, C的變化與線段 AB的長度的變化趨勢作了定性分析；那么在ABC中 C的大小與線段 AB的長度是否有確定的關(guān)系,假設(shè)有,如何尋找?學(xué)生：解三角形.三解證模型,得出定理:時,線段AB的長度為多少用問題3：如圖在 ABC中,CA b, CB a,當(dāng) Ca、b、表示PPT展示三種類型三角形方法一：構(gòu)造直角三角

5、形解：1當(dāng) C 為直角時,AB2 CB2 CA2 a2 b2.(2)當(dāng)C 為銳角時,過點A作AD BC_2AB222BD2 AD2 (a22bcos ) (bsin ),2b 2abcos .C為鈍角時,過點A作ADBC交BC的延長線于D.那么 AB2 BD2 AD2a bcos()2 bsin()22(a bcos ) (bsin、22,2)=a b2ab cos .綜上所述,均有|AB| Ja2 b2 2abcos成立.教師：這種思路是構(gòu)造直角三角形 ,利用勾股定理來計算 AB的長,但要注意這里要分三種情況討論 .除了用構(gòu)造三角形的方法,通常我們求兩點間距離還有什么方法?學(xué)生：向量的模長、

6、兩點間的距離公式.教師：引導(dǎo)學(xué)生小組探究,用向量的方法證實結(jié)論 方法二：構(gòu)造向量數(shù)量積,證實：如圖,由于AB C2CA,所以 AB (CB2CB22CA cosC,即 | AB | 引 CA|2 |CB |2 2 |CA | | CB | cosC .即 |ab| va2b2abcos 成立.教師：這種方法的思路是構(gòu)造向量,借助向量的運算來證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手 段是作數(shù)量積A(bcosC,bsinC), B(a,0),借助于坐標(biāo)運算來證題.利用坐標(biāo)法的優(yōu)點在于不必分方法三：(建立直角坐標(biāo)系)證實：建立如下圖的直角坐標(biāo)系,那么根據(jù)兩點間的距離公式,可得| AB | J(bcosC

7、 a)2(bsinC 0)2 ,所以,| AB| v'b2 a2 2ab cosC .教師：這種思路是建立平面直角坐標(biāo)系 類討論了且運算簡單 設(shè)計意圖：通過對情境問題的探究,將實際問題生成數(shù)學(xué)問題,并使用多種方法予以證實,充分培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、探究問題解決問題的水平,同時也培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散性思維水平.問題4:以上結(jié)論為余弦定理,如何用文字語言與符號語言表示以上定理你能說出來嗎?教師：大家觀察我們剛剛證實的式子,如果把它們平方就能夠得出結(jié)論 2cCCCC學(xué)生：|ab|a b 2abcos ,即 c a b 2ab cosC.教師：同理這個式子也能夠用來求另外兩邊,你能把其他兩邊也用式子表

8、示出來嗎222222學(xué)生：能,a b c 2bc cos A； b a c 2ac cos B.教師：很好,這三個式子就是余弦定理的符號語言表述形式,這個式子非常美觀,便于記憶,希望大家好好記憶,請問那位同學(xué)能用文字語言把它表述出來嗎符號語言：a2 b2 c2 2bc cos A ； b2 a2 c2 2ac cos B ；22, 2c a b 2ab cos C.文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦 的積的兩倍.設(shè)計意圖：讓學(xué)生用兩種數(shù)學(xué)語言表述已經(jīng)證實的定理,加深對定理的理解,提升學(xué)生的語言表達水平及數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換水平,特別是符號語言表述結(jié)構(gòu)

9、具有輪換對稱美,便于記憶.(四)合理變型,深化理解：問題5:余弦定理是關(guān)于三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系.應(yīng)用余弦定理,我們能 夠由三角形的三邊來確定三角形的角嗎怎么確定?學(xué)生：求角我們能夠把上面的式子變形,使角和邊別離 教師：很好,那大家動手寫一下,看看公式變成什么樣子,2222222.22bcaa c ba b c學(xué)生：cos A ； cosB ； cosC .2bc2ac2ab教師：看來大家都不錯,我們把剛剛變形之后的公式叫做余弦定理的推論,22222,22,22bcaa c b - abc余弦定理推論：cosA ； cosB ； cosC .2bc2ac2ab設(shè)計意圖：對公式實

10、行變形,學(xué)生很明確就能發(fā)現(xiàn)如何知道三角形的三邊求角問題6:勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理那么指出了一般三角形三邊的平方之間的關(guān)系,如何看待這兩個定理之間的關(guān)系教師：你們?nèi)绾慰创陨系膯栴}能得到什么結(jié)論學(xué)生：勾股定理是余弦定理的特殊情況,余弦定理是勾股定理的推廣教師：能否根據(jù)余弦定理的推論來判定三角形的每個角是銳角、直角鈍角如何判斷0,學(xué)生：能,根據(jù)余弦定理推論來判定角的余弦的符號,假設(shè)cos A 0,那么A是銳角；假設(shè)cos A那么A是直角；假設(shè)cosA 0 ,那么A是鈍角.教師：大家一起歸納1. b2c2a2cosA0A900；2. b2c2a2cosA0A900；3

11、. b2c2a2cosA0A900.教師：判定三角形形狀關(guān)鍵是判定哪個角學(xué)生：判定最大角.教師：很好,在知道三角形三邊的前提下,要判斷三角形形狀,只要判斷最大角的大小即可； 剛剛我們對余弦定理及推論實行了探討,大家議一議,余弦定理能夠解決一些什么問題學(xué)生：1.三角形兩邊及夾角,求第三邊；2.三角形三邊,求任意一角；3.判定三角形形狀.設(shè)計意圖：發(fā)現(xiàn)勾股定理與余弦定理之間的區(qū)別與聯(lián)系,并能使用定理判斷角的范圍,從而判定三 角形的形狀.五使用定理,解決問題:例 1.在 ABC 中,AC 600m, BC 340mACB 41°,求邊AB的長度精確到1m ?解：根據(jù)余弦定理,c2 a2 b

12、2 2ab cosC ,2-2-2一一 40c 6003402 600 340 cos 41167682.4AB 409例 2.在 ABC 中,AB 5m , AC4m, BC 6m,求該三角形的最大角與最小角的余弦值,并請判定該三角形的形狀解:AB 5m, AC 4m, BC 6m,B A C,根據(jù)余弦定理,cosA - c2 a22bc42 52 62 162 52 42cosB 2458265cosA 0, A 900ABC為銳角三角形六隨堂練習(xí),穩(wěn)固反應(yīng)：1 .在 ABC中,a 3, c 2, B 600 ,那么b等于B A、J5B、77 C、222D、2732 . 在 ABC 中,s

13、in A:sinB:sinC = 1:J3:2,那么 A:B:C 等于A A、1：2：3B.2：3：1 C.1：3：2 D. 3：1：23 .假設(shè)三條線段的長為 5、6、8,那么用這三條線段 C A、能組成直角三角形B、能組成銳角三角形C、能組成鈍角三角形D、不能組成三角形七.課時小結(jié)：（1） .探究過程：1 .創(chuàng)設(shè)情境,引入課題；2.問題化歸,構(gòu)建模型；3.解證模型,得出定理；4.合理變型,深化理解；5.使用定理,解決問題；6.隨堂練習(xí),穩(wěn)固反應(yīng).（2） .知識體系：1. 余弦定理：文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍2.3.1.符號語言：a2余弦定理推論:余弦定理的應(yīng)用:2-2b c2,2a bcosA2bc2abb2cos A ; b2cosC .2bc三角形兩邊及夾角,求第三邊;.探究