初中九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)講義全套專題24平面幾何的定值問題

1、專題24 平面幾何的定值問題【閱讀與思考】所謂定值問題，是指按照一定條件構(gòu)成的幾何圖形，當(dāng)某些幾何元素按一定的規(guī)律在確定的范圍內(nèi) 變化時(shí)，與它有關(guān)的元素的量保持不變（或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變）.幾何定值問題的基本特點(diǎn)是：題設(shè)條件中都包含著變動(dòng)元素和固定元素，變動(dòng)元素是指可變化運(yùn)動(dòng) 的元素，固定元素也就是“不變量”，有的是明顯的，有的是隱含的，在運(yùn)動(dòng)變化中始終沒有發(fā)生變化的元素，也就是我們要探求的定值 .解答定值問題的一般步驟是：1 .探求定值；2 .給出證明.【例題與求解】【例1】 如圖，已知P為正方形ABCD的外接圓的劣弧AD上任意一點(diǎn).求證：PA4PC為定值.PB解題思路：

2、線段的和差倍分考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短，利用圓的基本性質(zhì)，證明三角形全等【例2】 如圖，AB為。的一固定直徑，它把。分成上、下兩個(gè)半圓，自上半圓上一點(diǎn)C作弦CD±AB, / OCD的平分線交。于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)C在上半圓（不包括 A, B兩點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P （）A.到CD的距離保持不變B.位置不變C.等分DBD.隨C點(diǎn)的移動(dòng)而移動(dòng)（濟(jì)南市中考試題）解題思路：添出圓中相關(guān)輔助線，運(yùn)用圓的基本性質(zhì)，用排除法得出結(jié)論【例3】 如圖，定長(zhǎng)的弦ST在一個(gè)以AB為直徑的半圓上滑動(dòng)， M是ST的中點(diǎn)，P是S對(duì)AB作垂線 的垂足.求證：不管 ST滑到什么位置，/ SPM是一定角.（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）解題思路

3、：不管ST滑到什么位置，/ SOT的度數(shù)是定值.從探尋/ SPM與/ SOT的關(guān)系入手.【例4】 如圖，扇形OAB的半徑OA=3,圓心角/ AOB=90° .點(diǎn)C是AB上異于A, B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) C作CDLOA于點(diǎn)D,作CELOB于點(diǎn)E.連接DE ,點(diǎn)G, H在線段 DE上，且 DG = GH=HE.(1)求證：四邊形 OGCH是平行四邊形；(2)當(dāng)點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在 CD, CG, DG中，是否存在長(zhǎng)度不變的線段？若存在，請(qǐng)求出該線段的長(zhǎng)度.(3)求證：CD2+3CH2是定值.(廣州市中考試題)解題思路：延長(zhǎng)OG交CD于N,利用題中的三等分點(diǎn)、平行四邊形和三角形中位線的性質(zhì)，實(shí)

4、現(xiàn)把線 段ON轉(zhuǎn)化成線段CH的倍分關(guān)系，再以 RtAOND為基礎(chǔ)，通過勾股定理，使問題得以解決.【例5】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)M在x軸的正半軸上，O M交x軸于A, B兩點(diǎn)，交y軸于C, D兩點(diǎn)，且C為弧AE的中點(diǎn)，AE交y軸于G點(diǎn).若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2, 0), AE=8.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)連接 MG, BC,求證：MG/BC;(3)如圖2,過點(diǎn)D作。M的切線，交x軸于點(diǎn)P.動(dòng)點(diǎn)F在O M的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 型 的比值是否發(fā)PF生變化？若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律(深圳市中考試題)【例6】 如圖，已知等邊 ABC內(nèi)接于半徑為1的圓O, P是。O上的任意一點(diǎn).求

5、證：PA2+PB2+PC2 為定值.解題思路：當(dāng)點(diǎn)P與C點(diǎn)重合時(shí)，PA2 + PB2+PC2=2BC2為定值，就一般情形證明.【能力訓(xùn)練】A級(jí)1 .如圖，點(diǎn)A, B是雙曲線y =3上的兩點(diǎn)，分別經(jīng)過 A, B兩點(diǎn)向x軸，y軸作垂線段.若S陰影=1,則 x（牡丹江市中考試題）y4Ox（第1題圖）（第3題圖）2 .從等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)向三邊作垂線段，已知這三條垂線段的長(zhǎng)分別為 面積是.B（第4題圖）1,3, 5,則這個(gè)等邊三角形的（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）4.如圖，在菱形 ABCD中，/ ABC=120°線BF與直線DE所夾的銳角的度數(shù)為（,F是DC的中點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E

6、,則直A .30B.40)C.50D.603 .如圖，OA, OB是。O任意兩條半徑，過 B作BELOA于E,又作OPLAB于P,則定值 OP2+EP2為5.如圖，在0O中，P是直徑 AB上一動(dòng)點(diǎn), 連接AB',當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí), A .在平分AB的某直線上移動(dòng)C.在弧AMB上移動(dòng)（武漢市競(jìng)賽試題）在 AB 同側(cè)作 AA'AB, BB'_L AB ,且 AA'=AP, BB' = BP.A'B'的中點(diǎn)的位置（）B.在垂直AB的某直線上移動(dòng)D.保持固定不移動(dòng)B'yMAOBxAOBACACPPBOOBBDDDDDOBOOCA(

7、B)APPO(P)C. 9B. 6D. 12A. 3（海南省競(jìng)賽試題） 得到如圖所表示的C, D, E, F分別在坐標(biāo)軸上x成正方形和長(zhǎng)方形.若正方形OCAD的面積為6,則長(zhǎng)方形OEBF的面積是D F(D)CA(B)六種不同情況.在六種不同，情況下，F(xiàn)A, PB, PC, PD四條線段之間在數(shù)量上滿足的關(guān)系式可以用同一 個(gè)式子表示出來(lái).請(qǐng)你首先寫出這個(gè)式子，然后只就如圖所示的圓內(nèi)兩條弦相交的一般情況給出它的 證明.k6.如圖，A, B是函數(shù)y =圖象上的兩點(diǎn)C EP（2）已知。的半徑為一定值r,若點(diǎn)P是不在。上的一個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)你過點(diǎn)P任作一直線交。O于不 重合的兩點(diǎn) 巳F. PE - PF的值是

8、否為定值？為什么？由此你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？請(qǐng)你把這一結(jié)論用文字 敘述出來(lái).(濟(jì)南市中考試題)8.在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為 2的正方形OABC 在原點(diǎn)，現(xiàn)將正方形 OABC繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) 中，AB邊交直線y = X于點(diǎn)M, BC邊交x軸于點(diǎn)(1)求OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN與AC平行時(shí)，求正方形的兩頂點(diǎn)A, C分別在y軸，x軸的正半軸上，點(diǎn) O A點(diǎn)第一次落在直線 y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)過程N(yùn).OABC旋轉(zhuǎn)度數(shù);(3)設(shè) MBN的周長(zhǎng)為P,在正方形OABC旋轉(zhuǎn)的過程中，P值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論9.如圖，AB是半圓的直徑， ACXAB, AC=AB.在半

9、圓上任取一點(diǎn)BFXAB,交線段AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) (1)設(shè)弧AD是x的弧，若要點(diǎn) (2)不論點(diǎn)D取在半圓的什么位置, 段，并予證明.F.E在線段BA的延長(zhǎng)線上，則 x的取值范圍是 .圖中除AB=AC外，還有兩條線段一定相等.指出這兩條相等的線(江蘇省競(jìng)賽試題)(第9題圖)10.如圖，內(nèi)接于。(第11題圖)O的四邊形ABCD的對(duì)角線 AC與BD垂直相交于點(diǎn) K,設(shè)。O的半徑為R.求證:(1) AK2 +BK2+ CK2 +DK2是定值;(2) AB2 +BC2 +CD2+DA2 是定值.11.如圖，設(shè)P是正方形ABCD外接圓劣弧弧 AB上的一點(diǎn)，求證:AP BP的值為定值CP DP（克羅地亞數(shù)學(xué)奧

10、林匹克試題）1 .等腰 ABC的底邊BC為定長(zhǎng)2, H為小ABC的垂心.當(dāng)頂點(diǎn)A在保才ABC為等腰三角形的情況下 改變位置時(shí)，面積 $ ABC - S；A HBC的值保持不變，則 SaABC , $ HBC=.2 .已知A, B, C, D, E是反比仞函數(shù)y=16 （x>0）圖象上五個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），分x別過這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段，以垂線段所在的正方形邊長(zhǎng)為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖所示的五個(gè)橄欖形 （陰影部分），則這五個(gè)橄欖形的面積總和是 （用含兀的代數(shù)式表示）.（福州市中考試題）3 .如圖，將六邊形 ABCDEF沿直線GH折疊，使點(diǎn) A, B落在六邊形

11、ABCDEF的內(nèi)部，記/ C+/D + / E+/ F = a,則下列結(jié)論一定正確的是（）A. / 1 + / 2=900° 2aB. / 1 + / 2= 1080° -2a（武漢市競(jìng)賽試題）C. / 1 + / 2= 720° a(第3題圖)(第4題圖)4 .如圖，正 ABO的高等于。的半徑，O O在AB上滾動(dòng)，切點(diǎn)為 T,。交AO, BO于M, N,則弧 MTN ()A.在0°到30°變化C.保持30°不變5 .如圖，AB是。O的直徑，且記點(diǎn)A, B到MN的距離分別為B.在30°到60°變化D.保持60

12、76;不變AB=10,弦MN的長(zhǎng)為8.若MN的兩端在圓上滑動(dòng)時(shí)，始終與 AB相交,A.5B.6h1，h2,則 I hh2 I 等于（C.7D.8(黃石市中考試題)6 .如圖，已知 ABC為直角三角形，/(m>0),線段AB與y軸相交于點(diǎn)(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)(用m表示)(2)求拋物線的解析式；(3)設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)AC于點(diǎn)F.試證明：FC (AC+EC)D,ACB=90° , AC=BC,點(diǎn) A, C 在 x 軸上，點(diǎn) B 坐標(biāo)為(3, m) 以P (1, 0)為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)B, D.B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接 PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn) 巳 連接BQ并延長(zhǎng)交 為定值.(株洲市中考

13、試題)7 .如圖，已知等邊 ABC內(nèi)接于圓，在劣弧 AB上取異于A, B的點(diǎn)M.設(shè)直線AC與BM相交于K,直 線CB與AM相交于點(diǎn)N.證明線段AK和BN的乘積與 M點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān).(湖北省選拔賽試題)CAM(第8題圖)(第7題圖)8 .如圖，設(shè)H是等腰三角形 ABC兩條高的交點(diǎn)，在底邊BC保持不變的情況下讓頂點(diǎn) A至底邊BC的距 離變小，這時(shí)乘積 S；A abc - SA hbc的值變小、變大，還是不變？證明你的結(jié)論(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)1 249.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=一 x X-10與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A,與y軸的交點(diǎn)為 189點(diǎn)B.過點(diǎn)B作x軸的平行線BC,交拋物線于點(diǎn)

14、C,連接AC.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P, Q分別從O, C兩點(diǎn)同時(shí) 出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿 OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿 CB向點(diǎn)B移動(dòng). 點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).線段OC, PQ相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE/ OA,交CA于E, 射線QE交x軸于點(diǎn)F.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P, Q移動(dòng)的時(shí)間為t (單位：秒).(1)求A, B, C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 PQCA為平行四邊形？請(qǐng)寫出計(jì)算過程；一9(3)當(dāng)0 <th一時(shí)， PQF的面積是否總是定值？若是，求出此值；若不是，請(qǐng)說明理由；2(4)當(dāng)t為何值時(shí)， PQF為等腰三角形，請(qǐng)寫出解答過程.(黃岡市中考試題)(第9題圖)1210.已知拋物線(1)求拋物線(2)若拋物線Ci ： y1 = x - x2Ci的頂點(diǎn)坐標(biāo)；11Ci與y軸的交點(diǎn)為 A,連接AF,并延長(zhǎng)交拋物線