相似三角形分類整理(超全)精編版

1、最新資料推薦第一節(jié)：相似形與相似三角形基本概念：1.相似形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形，我們稱它們互為相似形。=> 2.相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形。1.幾個(gè)重要概念與性質(zhì)(平行線分線段成比例定理)(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.已知 a / b II c,7ABDE -ABDE_BCEF _ BCEF_ ABBC=或=或=或=或=可得 BCEF ACDF ABDF ACDF DEEF等AC .此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

2、AD AE BD EC AD=或=或由 DE/BC 可得：DB EC AD EA AB條件是平行.(3)推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法，即：利用比例式證平行線.(4)定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.(5)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。a c比例線段：四條線段 a, b, c, d中，如果a與b的比等于c與d的比，即一=一,b d那么這四條線段a, b, c, d叫做成比例線段，

3、簡(jiǎn)稱比例線段。2 .比例的有關(guān)性質(zhì)a c比例的基本性質(zhì)：如果 一=一,那么ad=bc。如果ad=bc (a, b, c, d都不等于0),c -d那么a = cb d那么合比性質(zhì)：如果a c ma c ，* m等比性質(zhì)： 如果 一=一= = 一(b+d+ .+n w 0), 那么 bdnbd*nb是線段a、d的比例中項(xiàng)，則 b2= ad.典例剖析例1:在比例尺是1: 38000的南京交通游覽圖上，玄武湖隧道長(zhǎng)約7cm,則它的實(shí)際長(zhǎng)度約為 Km.昂升 a 2 a b若一=一則=.b 3 b若 a +2b =9 則 a： b=.2a -b 53.相似三角形的判定(1)如果兩個(gè)三角形的兩角分別于另一

4、個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似。(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。補(bǔ)充：相似三角形的識(shí)別方法(1)定義法：三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。(2)平行線法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。注意：適用此方法的基本圖形，(簡(jiǎn)記為A型，X型)(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。(4)兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似。(5)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。(6) 一條直角邊和斜邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。(7)被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角

5、三角形與原直角三角形相似?！净A(chǔ)練習(xí)】(1)(2)(3)如圖如圖如圖時(shí)， ABC s AADE時(shí)，MBCs MED。時(shí)，MBCs ACD oS s'OO小結(jié)：以上三類歸為基本圖形：母子型或A型(3)如圖4,如圖1,當(dāng)AB /ED時(shí)，則4時(shí)，則4X型(4)如圖5,當(dāng)小結(jié)：此類圖開為基本圖開：兄弟型或典例剖析例1:判斷 所有的等腰三角形都相似.所有的直角三角形都相似.所有的等邊三角形都相似.所有的等腰直角三角形都相似.AD的垂直平分線交 AD于E,交BC的延例2:如圖， ABC中，AD是/ BAC的平分線,長(zhǎng)線于FD求證： 4ABFs ACAF.例 3:如圖：在 Rt ABC 中，/ AB

6、C=90 ° , BDXAC 于 D,若 AB=6 ; AD=2 ;貝U AC=; BD=; BC=;例3:如圖：在 Rt ABC中， / ABC=90 ° , BD± AC于D ,若E是BC中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于F,求證：AB : AC=DF : BF第二節(jié)：相似三角形的判定（一）相似三角形:定義1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形.溫馨提示：當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)（或幾個(gè)）三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條對(duì)應(yīng)邊的比相等時(shí)，這兩個(gè)（或幾個(gè)）三角形叫做相似三角形， 即定義中的兩個(gè)條件， 缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣

7、，但大小不一定相等；對(duì)應(yīng)中線之比、對(duì)應(yīng)高之比、對(duì)應(yīng)角平線之比等于相似比。兩個(gè)鈍角三角形是否相似，首先要滿足兩個(gè)鈍角相等的條件。2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 .所以全等三角形是相似三角形的特例.其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例.相似比具有順序性. 例如 ABCA b，的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為k,則B' C'ABC的相似比比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有 k=k' =1相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或 縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出.3、如果兩個(gè)

8、邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似 多邊形.4、相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形 的兩條邊（或其延長(zhǎng)線）分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.溫馨提示：定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號(hào)語言：. DE/BC, . ABCs ADE ；這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來的三角形相似的判定定理.它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明下節(jié)相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為預(yù)備定理”；有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到上一節(jié)見平行，想比例”，還要想到 見平行,想相似”.（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定

9、：判定定理（1）:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.判定定理（2）:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.判定定理（3）:三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.溫馨提示：有平行線時(shí)，用上節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理；已有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等（包括隱含的公共角或?qū)斀?）時(shí)，可考慮利用判定定理 1或判定 定理2;已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2或判定定理3.但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等.例1.如圖三角形 ABC中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn) E作一條直線交 AB于D點(diǎn)，與 AC的延長(zhǎng)線將于 F點(diǎn)，且FD=3ED ,求證：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊

10、對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.溫馨提示：由于直角三角形有一個(gè)角為直角， 因此，在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)， 只需再找一 對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，用判定定理 1,或兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，用判定定理 2, 一般不用判定定 理3判定兩個(gè)直角三角形相似；如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為母子相似三角形”，其應(yīng)用較為廣泛.如圖，可簡(jiǎn)單記為：在 Rt ABC中，CDXAB ,則 ABC cbdacd .直角三角形的身射影定理：AC 2=AD*ABCD2=AD*BDBC2=BD*AB總結(jié)：尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項(xiàng)基本功.

11、通常有以下幾種方法：（1）相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形 中最大的角（或最小的角）一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所 對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）相似三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最短的邊）一定是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角； 對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.2、常見的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定， 要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶； 對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法.如：(1)平行線型”相似三角形

12、，基本圖形見上節(jié)圖.見平行，想相似”是解這類題的基本思路；(2)相交線型”相似三角形，如上圖.其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀?見一對(duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3)旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖.若圖中/1 = Z2, /B=/D(或/C=/E),則 ADEs ABC ,該圖可看成把第一個(gè)圖中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的.第三節(jié) 相似三角形中的輔助線一、作平行線例1.如圖，AABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn) D和E,且使AD =AE, DE延長(zhǎng)線與BC延長(zhǎng)線相交于F,求證:BF BDCF CE最新資料推薦例2.如圖， ABC中，AB<AC，在AB、A

13、C上分別截取 BD=CE , DE , BC的延長(zhǎng)線相交 于點(diǎn) F,證明：AB - DF=AC EFo8二、作垂線例3.如圖從 o ABCD頂點(diǎn)C向AB和AD的延長(zhǎng)線引垂線 CE和CF,垂足分別為 E、F,求證：AB AE + AD AF = AC ?。D.CA三、作延長(zhǎng)線例4.如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC,若/ BCD且四邊形AHCD的面積為21,求 HBC的面積。的平分線CHXAB于點(diǎn)H, BH=3AH ,例5.如圖，Rt A ABC中，CD為斜邊 AB上的高,E為CD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交 BC于F, FG1AB于G,求證:2FG =CF *BF最新資料推薦四、作中線例 6

14、如圖，AABC 中，AB，AC, AE，BC 于 E, D 在 AC 邊上，若 BD=DC=EC=1，求 AC。15五、過渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運(yùn)用 過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明.1、等量過渡法（等線段代換法）遇到三點(diǎn)定形法無法解決欲證的問題時(shí)，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡(jiǎn)單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以

15、得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例1:如圖3,那BC中，AD平分/ BAC , AD的垂直平分線 FE交BC的延長(zhǎng)線于 E.求 證：DE2=BECE.2、等比過渡法（等比代換法）當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法， 即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對(duì)已知條件或圖形的深入分 析，找到與求證的結(jié)論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來確定 三角形。例2:如圖4,在那BC中，/ BAC=90 , AD ±BC, E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:AB _ DFAC - AFF3、等積過渡法（

16、等積代換法）思考問題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比 代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。例3:如圖5,在那BC中，/ ACB=90 , CD是斜邊 AB上的高，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過 B作BEXAG,垂足為E,交CD于點(diǎn)F.求證：CD2=DF DG .六、證比例式和等積式的方法：對(duì)線段比例式或等積式的證明：常用三點(diǎn)定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等.若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比轉(zhuǎn)移”必要時(shí)需添

17、輔助線），使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來證明.例1 如圖5在那BC中，AD、BE分別是 BC、AC邊上的高，DFLAB于F,交AC的 延長(zhǎng)線于 H,交BE于G,求證：（1）FG / FA=FB / FH（2）FD是FG與FH的比例中項(xiàng).例2 如圖在 AABC中，AD是BC邊上的中線， M是AD的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)紈奩 AB于N.求：AN: AB的值；F GB 圖 5 D CEHANMBDC例3如圖過祥BC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊 AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E.過點(diǎn)3,求 AE: ED;D作DM / FC交AB于點(diǎn)M .若Szaef : S四邊形mdef = 2:(2)求證：AE>FB = 2

18、AFXED第四節(jié)相似三角形難題集一、分類討論：例1如圖在正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1, P是CD邊的中點(diǎn)，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為何值 時(shí)，那DP與AQCP相似？例 2 如圖在梯形 ABCD 中，AD / BC, Z A= 900, AB=7, AD =2, BC=3.試在邊AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以 P、A、D為 頂點(diǎn)的三角形與以 P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似.B圖Q C：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題:1 .如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90° , AC=3 , BC=4,過點(diǎn) B 作射線 BB1 /AC.動(dòng)點(diǎn) D 從 點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)

19、E從點(diǎn)C沿射線AC方向 以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)D作DH XAB于H,過點(diǎn)E作EFXAC交射線BB1于F, G是EF中點(diǎn)，連接 DG.設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB ,并求出此時(shí) DE的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)4DEG與4ACB相似時(shí)，求t的值.2 .如圖，在4ABC中，/ ABC = 90°, AB=6m , BC=8m ,動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從 A點(diǎn)出發(fā),沿AC向點(diǎn)C移動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB 向點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的 時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)t=2.5s時(shí)，求4CPQ的面積；求4CPQ的面積S (

20、平方米)關(guān)于時(shí)間t (秒)的函數(shù)解析式；(2)在 巳Q移動(dòng)的過程中，當(dāng) 4CPQ為等腰三角形時(shí)，求出 t的值.3 .如圖 1,在 RtAABC 中，/ ACB = 90°, AC=6, BC = 8,點(diǎn) D 在邊 AB 上運(yùn)動(dòng)，DE 平 分/CDB交邊BC于點(diǎn)E, EMLBD,垂足為 M, EN，CD,垂足為 N.(1)當(dāng) AD = CD 時(shí)，求證：DE/AC;(2)探究：AD為何值時(shí)，4BME與ACNE相似？4 .如圖所示，在 4ABC中，BA = BC=20cm, AC=30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著 AB以每 秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的

21、速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x.(1)當(dāng)x為何值時(shí)，PQ/ BC?(2) AAPQ與4CQB能否相似？若能， 求出AP的長(zhǎng)；若不能說明 理由.5 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=12cm , BC=6cm ,點(diǎn)P沿AB邊從A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn) Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向 點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng).如果 P、Q同時(shí)出發(fā)，用t (s)表示移 動(dòng)的時(shí)間(0vtv6)。(1)當(dāng)t為何值時(shí)，4QAP為等腰直角三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn) Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似?三、構(gòu)造相似輔助線一一雙垂直模型6 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,1）,正比例函數(shù) y=kx的圖象與線段 OA的夾角是45。，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式.以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作7.在 ABC 中，AB=25 AC=4 , BC=2 ,是AC上的一點(diǎn)， 得點(diǎn)C恰好落在邊