導(dǎo)熱微分方程(經(jīng)典)

1、2021/8/2110.導(dǎo)熱10.3 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程形式假定物體是各向同性的均質(zhì)物體，物性參數(shù)密度、比熱容為常數(shù)，物體內(nèi)具有均勻分布的內(nèi)熱源。能的增量微元體內(nèi)生成的熱量微元體內(nèi)熱源微元體的凈熱量以導(dǎo)熱方式傳入能量守恒定律dQdQdQgcdydzdqdQxxdydzddxxqqdQxxdxxdxdydzdxqdQdQxdxxxdydxdzdyqdQdQydyyydzdxdydzqdQdQzdzzzdxdydzdzqyqxqdQzyxc2021/8/2210.導(dǎo)熱10.3 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程形式dxdydzdzqyqxqdQzyxcyTqyzTqz傅立葉定律dxdydzdzTzyT

2、yxTxdQcxTqxdQdQdQgc2021/8/2310.導(dǎo)熱10.3 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程形式內(nèi)熱源強(qiáng)度：單位時間內(nèi)單位體積所生成的熱量dxdydzdzTzyTyxTxdQc3mWqVdxdydzdqdQVg單位質(zhì)量的內(nèi)能：udxdydzdudQdxdydzdTcdQTcuVcccpVdQdQdQgc2021/8/2410.導(dǎo)熱10.3 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程形式dxdydzdzTzyTyxTxdQcdxdydzdqdQVgdxdydzdTcdQdQdQdQgcVqzTzyTyxTxTc導(dǎo)熱微分方程cqzTyTxTcTV222222cqTTV22021/8/2510.導(dǎo)熱10.3

3、導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程形式cqTTV2TT2kzjyix2222222拉普拉斯算符，直角坐標(biāo)系可為矢量式，其它坐標(biāo)系則不可。c熱擴(kuò)散系數(shù)物性參數(shù)，反映物體導(dǎo)熱能力與蓄熱能力間的關(guān)系；導(dǎo)溫系數(shù)可以評價物體傳遞溫度變化能力的大小02 T02222222zTyTxTT2021/8/2610.導(dǎo)熱10.3 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程形式cqzTyTxTTV222222cqzTTrrTrrrTV2222211cqTrTrrTrrrTV2222222sin1sinsin11柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：2021/8/2710.導(dǎo)熱10.3 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱過程的單值性條件初始條件zyxfT,000TT邊界條件已知任

4、何時刻邊界面上的溫度分布WWTTWWqnT0WnTfWWTTnT已知任何時刻邊界面上的熱通量對流邊界條件：已知周圍介質(zhì)溫度和對流換熱系數(shù)2021/8/2810.導(dǎo)熱10.3 導(dǎo)熱微分方程一無限大平板，其導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，平板內(nèi)具有均勻的內(nèi)熱源。平板一側(cè)絕熱，另一側(cè)與溫度已知的流體直接接觸，已知流體與平板間的對流換熱系數(shù)。試寫出這一穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的微分方程和邊界條件。解：VqfTscqzTyTxTcTV222222022VqdxTd00 xdxdTfWWTTnT0WnTfsxsxTTdxdT2021/8/2910.導(dǎo)熱10.3 導(dǎo)熱微分方程一厚度已知，寬和長遠(yuǎn)大于厚度的平板，其導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，開始時

5、整個平板溫度均勻，突然有電流通過平板，在板內(nèi)均勻產(chǎn)生熱量。假定平板一側(cè)仍保持原來溫度，另一側(cè)與溫度已知的流體直接接觸，已知流體與平板間的對流換熱系數(shù)。試寫出描述該問題的導(dǎo)熱微分方程和單值性條件。解：VqfTscqzTyTxTTV22222200, 0TTxfWWTTnTfsxsxTTxT,0TcqxTTV2200TT2021/8/21010.導(dǎo)熱10.4 平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第一類邊界條件表面溫度為常數(shù)理想的一維平壁是長度、寬度遠(yuǎn)大于厚度的無限大平壁1WT2WTTsxxT無內(nèi)熱源的無限大單層平壁，要求確定壁內(nèi)溫度分布和通過此平壁的導(dǎo)熱通量。假定導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)。 bTT10cqzTyTxTTV222

6、222022dxTd10WxTT2WsxTT xfT 2021/8/21110.導(dǎo)熱10.4 平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第一類邊界條件表面溫度為常數(shù)1WT2WTTsxxT022dxTd10WxTT2WsxTT022dxTd0dxdTdxd0dxdTd1CdxdT積分dxCdT1積分21CxCT10WxTT2WsxTT121WWWTxsTTT2021/8/21210.導(dǎo)熱10.4 平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第一類邊界條件表面溫度為常數(shù)1WT2WTTsxxT121WWWTxsTTTqsTTdxdTWW21求導(dǎo)dxdTqsTTdxdTqWW21rTTsTTqWWWW2121 bTT10? 0dxdTTdxd分析導(dǎo)熱問題

7、的一般方法通過解微分方程得到溫度場，然后利用傅立葉定律確定導(dǎo)熱速率。2021/8/21310.導(dǎo)熱10.4 平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第一類邊界條件表面溫度為常數(shù)多層平壁，要求確定層間界面溫度和通過平壁的導(dǎo)熱通量。假定導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)。1WTT1x2WT3WT4WT1s2s3s23sTTqWW21dxdTq1211sTTqWW2322sTTqWW3433sTTqWW1121sqTTWW2232sqTTWW3343sqTTWW+33221141sssqTTWW314133221141iiiWWWWsTTsssTTqniiiWnWsTTq111iiWWisssqTT2211112021/8/21410.導(dǎo)熱1

8、0.4 平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第一類邊界條件表面溫度為常數(shù)某加熱爐爐墻由兩層組成，內(nèi)層為粘土磚，外層為硅藻土磚，其厚度分別為460mm、230mm，爐墻兩側(cè)表面溫度分別為：1400、100，導(dǎo)熱系數(shù)分別為：求穩(wěn)態(tài)時通過爐墻的導(dǎo)熱通量和兩層磚交界面處的溫度？T1x2WT3WT1WT1s2s2T311064. 07 . 0T321012. 014. 0解：niiiWnWsTTq111iiWWisssqTT221111試算法：首先假定中間界面溫度為900mW436. 1290014001064. 07 . 031mW2 . 021009001012. 014. 0322021/8/21510.導(dǎo)熱10.4

9、 平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第一類邊界條件表面溫度為常數(shù)某加熱爐爐墻由兩層組成，內(nèi)層為粘土磚，外層為硅藻土磚，其厚度分別為460mm、230mm，爐墻兩側(cè)表面溫度分別為：1400、100，導(dǎo)熱系數(shù)分別為：求穩(wěn)態(tài)時通過爐墻的導(dǎo)熱通量和兩層磚交界面處的溫度？T1x2WT3WT1WT1s2s2T311064. 07 . 0T321012. 014. 0解：niiiWnWsTTq111iiWWisssqTT221111mW436. 11mW2 . 0222122312 .8842 . 023. 0436. 146. 01001400mWsTTqiWW8 .1116436. 146. 02 .8841400111

10、2sqTTWW2021/8/21610.導(dǎo)熱10.4 平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第一類邊界條件表面溫度為常數(shù)某加熱爐爐墻由兩層組成，內(nèi)層為粘土磚，外層為硅藻土磚，其厚度分別為460mm、230mm，爐墻兩側(cè)表面溫度分別為：1400、100，導(dǎo)熱系數(shù)分別為：求穩(wěn)態(tài)時通過爐墻的導(dǎo)熱通量和兩層磚交界面處的溫度？T1x2WT3WT1WT1s2s2T311064. 07 . 0T321012. 014. 0解：2212231939213. 023. 051. 146. 01001400mWsTTqiWW111451. 146. 093914001112sqTTWW試算法：再假定中間界面溫度為1120mW51. 1

11、2112014001064. 07 . 031mW213. 0210011201012. 014. 032%54. 0%100111411141120%10022WWTT2021/8/21710.導(dǎo)熱10.5 圓筒壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三類邊界條件已知周圍介質(zhì)溫度和換熱系數(shù)無內(nèi)熱源，一維圓筒壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，假設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，冷熱流體溫度保持不變，壁內(nèi)溫度僅沿半徑方向變化。筒壁長度遠(yuǎn)大于其外徑，沿軸線導(dǎo)熱可忽略不計，等溫面都是同心圓柱面cqzTTrrTrrrTV22222110drdTrdrdfWWTTnT1111rrfrrTTdrdT2222frrrrTTdrdT2021/8/21810.導(dǎo)熱10.5

12、 圓筒壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三類邊界條件已知周圍介質(zhì)溫度和換熱系數(shù)0drdTrdrd1111rrfrrTTdrdT2222frrrrTTdrdT0drdTrd積分1CdrdTrdrrCdT1121lnCrCT積分2111111lnCrCTrCf2221221lnfTCrCrC21CC、2021/8/21910.導(dǎo)熱10.5 圓筒壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三類邊界條件已知周圍介質(zhì)溫度和換熱系數(shù)11rrWTT22rrWTT1CdrdTr熱流體與圓筒壁內(nèi)表面的對流換熱圓筒壁內(nèi)部的導(dǎo)熱圓筒壁外表面與冷流體的對流換熱LdTTLdTTQWfWf1111111111LdTTLdTTQfWfW22222122310drdTrdrd11WrrTT22WrrTT積分21lnCrCT積分12121lnrrTTCWW1212212lnlnlnrrrTrTCWWdxdTq12211221112ln21ln2122ddLTTrrLTTLCrLrCFdxdTqFQWWWW2021/8/22010.導(dǎo)熱10.5 圓筒壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三類邊界條件已知周圍介質(zhì)溫度和換熱系數(shù)LdTTQWf111111LdTTQfW22223112212ln21ddLTTQWWQQQQ321LdddLLdTTQff221211211ln21121