關(guān)于高一數(shù)學(xué)高一數(shù)學(xué)北師大版期末復(fù)習(xí)教案

1、一 . 教學(xué)內(nèi)容：高一數(shù)學(xué)北師大版期末復(fù)習(xí)本講是必修二的復(fù)習(xí)提要， 主要內(nèi)容包括： 立體幾何初步與平面解析幾何初步。二 . 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、立體幾何局部：通過(guò)對(duì)空間幾何體的整體觀察，認(rèn)識(shí)空間圖形；以長(zhǎng)方體為 載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、 垂直的性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證；了解一些簡(jiǎn)單幾何體的外表積與體 積的計(jì)算方法；2、解析幾何局部：通過(guò)在平面直角坐標(biāo)系中研究直線和圓的方程代數(shù)方程，運(yùn)用代數(shù)方法研究其幾何性質(zhì)及其相互位置關(guān)系；了解空間直角坐標(biāo)系；體會(huì)數(shù) 形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力。三 . 知識(shí)要點(diǎn)：I 、立體幾何初步一空間

2、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1點(diǎn)與直線：點(diǎn)P在直線I上，記作P l ;點(diǎn)P在直線I外，記作P l;2、點(diǎn)與平面：點(diǎn) P 在平面 上，記作 P ；點(diǎn) P 在平面 外，記作 P ；3、直線與直線：直線l,m共面，包括平行記作1 / m和相交記作11 m P ； 直線1,m異面；4、直線與平面： 直線 l 在平面 內(nèi)，記作 l ；直線 l 在平面 外，包括平行 記 作 l/ 和相交記作 l I P ；5、 平面與平面：平面與平面 相交記作 I l 或平行記作 /注意：中學(xué)立體幾何中，如果不加特殊說(shuō)明，兩個(gè)平面、兩條直線均不包括重合。二空間圖形的公理1、公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線

3、上所有的點(diǎn)都 在這個(gè)平面內(nèi)即直線在平面內(nèi) ；2、公理 2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面即可以確定一 個(gè)平面；3、公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò) 這個(gè)點(diǎn)的公共直線；4、公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行。5、等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等 或互補(bǔ)。三空間關(guān)系的判定與性質(zhì) 空間平行關(guān)系的判定與性質(zhì)1、直線與平面平行的判定：假設(shè)平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么 該直線與此平面平行；2、平面與平面平行的判定：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平 面，那么這兩個(gè)平面平行；3、直線與平面平行

4、的性質(zhì)：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)該直線的任 意一個(gè)平面與這個(gè)平面的交線與該直線平行；4、平面與平面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它 們的交線平行 空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)1、直線與平面垂直的判定：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直, 那么這條直線和這個(gè)平面垂直；2、平面和平面垂直的判定：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這 兩個(gè)平面互相垂直；3、直線與平面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線 平行；4、平面與平面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于 它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面；四簡(jiǎn)單幾何體的面積與

5、體積1、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：2、簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積：2S直棱柱側(cè)ch, S正棱錐側(cè)* ch 'h '為斜高,S正棱臺(tái)側(cè)說(shuō)明：圓臺(tái)側(cè)面積公式可作為旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積統(tǒng)一公式。21c c'h'，其中，c',c,h'為上、下底周長(zhǎng)和斜咼說(shuō)明：正棱臺(tái)的側(cè)面積公式可作為簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積統(tǒng)一公式3、體積： 匕=懣忌氣隅么氣傀洛十陰?kù)壱髫痴f(shuō)明：臺(tái)體的體積公式可作為體積公式的統(tǒng)一公式。II、解析幾何初步一直線與直線的方程1、斜率的計(jì)算公式：k y2y1X 2X12、直線的方程:點(diǎn)斜式：y y。 kx Xo2、兩條直線垂直：3、兩條直線的交點(diǎn):4、點(diǎn)到直線的距離:聯(lián)立兩

6、條直線的方程,AXo By。C.A2B2求方程的公共解;斜截式：y kx b兩點(diǎn)式：y%xyy1X2X1截距式：仝y 1a b般式：Ax By C 0(A2 B20)二兩條直線的位置關(guān)系1、兩條直線平行：A1B2 A2B1 ；三圓與圓的方程1圓的方程:標(biāo)準(zhǔn)方程：(x a)2 (y b)2 r2一般式方程：x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)2、直線與圓的位置關(guān)系：相離：do i r或0相切：d。i r或 0相交：0 d。i r或 03、圓與圓的位置關(guān)系：相離：dO O' R r相外切：do o' R r相內(nèi)切：do o' I R r |相交：| R r

7、 | do o R r內(nèi)含：do o' | R r |(四)空間直角坐標(biāo)系1確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)的方法：由該點(diǎn) P向xOy平面作垂線，垂足 M的橫、縱坐 標(biāo)即為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)；假設(shè)點(diǎn)P與z軸在xOy平面的同側(cè)，貝V z =|PM| ;假設(shè)點(diǎn)P 與z軸在xOy平面的兩側(cè)，那么 z = |PM|;假設(shè)點(diǎn)P在xOy平面上，那么z = 0;2、空間兩點(diǎn)的距離公式：do O' 、._(x xj2 (y yj2 (z zj2四考點(diǎn)與典型例題考點(diǎn)一共點(diǎn)、共線或共面問(wèn)題例1.點(diǎn)P、Q R分別在三棱錐 A BCD的三條側(cè)棱上，且 PQA BC= X，QRH CD =Z, PFH BD= Y。求證：

8、X、Y、Z三點(diǎn)共線。證明：t P、Q R三點(diǎn)不共線， P、Q R三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面a。 X PQ PQ a，A Xa，又 X BC, BC 平面 BCD 二 X 平面 BCD點(diǎn)X是平面a和平面 BCD的公共點(diǎn)。同理可證，點(diǎn) Y、Z都是這兩個(gè)平面的 公共點(diǎn)，即點(diǎn)X、Y、Z都在平面a和平面 BCD的交線上。說(shuō)明：證明點(diǎn)共線的根本方法是利用公理 2,證明這些點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)。證明線共點(diǎn)的根本方法是證明其中兩線的交點(diǎn)在第三條直線上；證明面共點(diǎn)的基 本方法是證明兩個(gè)平面的交線與第三個(gè)平面相交?？键c(diǎn)二平行關(guān)系的研究例2.如圖，在正方體 ABC A1B1CD中，P是CD的中點(diǎn)，M N分別是對(duì)角線 AC

9、 DA上的點(diǎn)，且滿足 AM： MC= DN： NA = 1 : 2。證明：(1) BD/ MN(2) BD/平面 MND(3) 平面PBC/平面MND證明：(1)連結(jié)DN并延長(zhǎng)交AD于 Q, ADNMA DQN 且 DN： NA= 1 : 2， Q為AD的中點(diǎn)，連QB交AC于M，易證M與M重合，在厶 QDB 中，t QN : ND= QM： MB= 1 : 2， MN/ BD。(2) 由(1)證得 MN/ BD,又 BDi皐面MND M應(yīng)面MND BDi /面 MND(3) 連結(jié) BC,t AiBCD四邊形AiBCD是平行四邊形， AiD/ BiC,. AiD/面 PBC。延長(zhǎng)DM交AB于H,

10、那么H為 AB中點(diǎn)，取 CD中點(diǎn)L,易證 DH纟BL, BPB, D H/ PB，二 D H/面 PBC,又 AiD與DH是面MND勺兩條相交直線，故面 PBC/面MND說(shuō)明：判斷平行關(guān)系主要根據(jù)平行的判定定理和定義；另外，可根據(jù)面面平 行的性質(zhì)證明線線平行，根據(jù)面面平行的傳遞性、垂直于同一條直線的兩個(gè)平面 平行等結(jié)論可證明面面平行(具體可參看第i4講)考點(diǎn)三垂直關(guān)系的研究例3.直角 ABC所在平面外一點(diǎn) S,且SA= S吐SC D為AC中點(diǎn)。求證：面SAC面ABC假設(shè)直角邊 B心BC求證：BD 面SAC證明：(i)連結(jié)SD,那么由S心SC可知：sA= aD+sD 且 SD丄 AC ( * )

11、。又 BD是 Rt ABC斜邊上中線，故 BD= AD,從而 SA" = AD+ SD = BD + SD。又 SA= SB,故 SB= BD+ SD，即 SD丄 BD ( * )。由(* )、(* )可知：SDL平面 ABC故平面 SACL平面 ABC(2)假設(shè)B心BC貝9 BD±AC;又由(i)可知：SD丄平面ABC從而有：SD丄BD, 故BD丄平面SAC說(shuō)明：垂直關(guān)系中最重要的是線線垂直，無(wú)論是線面垂直還是面面垂直，大多 數(shù)情況下都是通過(guò)線線垂直研究的；但證明線線垂直除了定義法，計(jì)算法外，很 多情況下又是通過(guò)線面垂直進(jìn)行判斷的?？键c(diǎn)四 面積和體積的求解例4.正六棱柱的

12、一條較長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)是 i3cm,側(cè)面積為i80cm2，求棱柱的體積。 解：設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,高為h,那么S側(cè)=6ah = i80,故ah = 30。因?yàn)檩^長(zhǎng)對(duì)角 線長(zhǎng)為i3,故有：i3?=( 2a) + h，解得：a= 6或2.5。代入V 3 a2 6 h 45、3a 225 3 或 270、3(cm3)42o說(shuō)明：求面積和體積的問(wèn)題一般先將其分解為求線段長(zhǎng)度和夾角兩種基此題 型，然后再利用相關(guān)公式進(jìn)行求解。在求線段和夾角前需要考慮選擇哪個(gè)公式(面積公式或體積公式)，這樣才能確定求哪條線段和哪個(gè)角?？键c(diǎn)五求直線方程例5.求直線lo： x y 2 0關(guān)于直線1 ：3x y 30對(duì)稱的直線方程。解：設(shè)

13、所求的對(duì)稱直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為(Xo， yo),那么X。解得yo4 39x y 5 55343xy-555因?yàn)閤。，yo在直線x y 20上所以X。 y。2。即 7x y 220說(shuō)明：求直線方程的主要思路有直接法、公式法待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、直線系法等。此題屬相關(guān)點(diǎn)法。考點(diǎn)六研究?jī)芍本€位置關(guān)系 2例6.兩直線li： x+ my+ 6 = 0, 12： mv2 x+ 3m葉2m0,當(dāng)m為何值 時(shí)，li與l 2： 1相交；2平行；3重合？解：當(dāng) ir= 0 時(shí)，li： x+ 6= 0, 12： x= 0,.l 1 / l 2 o當(dāng) m= 2 時(shí)，li： x + 4y

14、 + 6 = 0, l 2: 3y+ 2= 0, l 1與l 2相交。1 m216 當(dāng) m# 0 且 m 2 時(shí)，由 m 2 = 3m 得 m= 1 或 m= 3,由 m 2 = 2m 得 m= 3。 故1當(dāng) 1,3且0時(shí)，l 1與12相交；2當(dāng) m= 1 或 m= 0 時(shí)，l 1 / 12;3當(dāng)m= 3時(shí)，11與12重合。說(shuō)明：研究?jī)芍本€的位置關(guān)系包括求交點(diǎn)和夾角，主要通過(guò)直線方程的系數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行判斷。考點(diǎn)七圓的方程與性質(zhì)2例7.圓A的圓心在曲線y18x上，圓A與y軸相切，又與另一圓2 2x 2 y 31相外切，求圓A的方程。2匹 解：設(shè)圓A的圓心坐標(biāo)為18，y0，半徑為r，依題有解之得：

15、y0 6或y0 3所求圓A的方程為：1 2 2(X 2)2 (y 6)24或(X ?) (y 3)4考點(diǎn)八直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系例8.由點(diǎn)P 70, 1引圓X2 + y2= 4的割線1，交圓于A, B兩點(diǎn)，使 AOB的面積為2O為原點(diǎn)，求直線I的方程。解：設(shè)直線I的方程為y= kx + 1將代入圓的方程整理得1 + k2 x2+ 2kx 3 = 0設(shè)其兩實(shí)數(shù)根為X1, X2，由根與系數(shù)的關(guān)系得2k2X1 + X2=1 k3X1X2=1 k2設(shè)點(diǎn) A xi, yi, B X2, y2即 16k2 12、71 k2解得k= 1，故直線I的方程為y = x +1說(shuō)明：直線與圓的關(guān)系主要研究相切、

16、相交的相關(guān)問(wèn)題，如方程、弦長(zhǎng)及參數(shù) 范圍的求解等。考點(diǎn)九空間坐標(biāo)例9.證明：頂點(diǎn)是A2，4，3，B4，1, 9，C 10, 1, 6的三角形是 直角三角形并求出各邊的長(zhǎng)和各內(nèi)角的大小。證明： A2,4,3,B4,1,9,C10, 1,6 AB 7, AC 7、2,BC 7即：AB2 BC2 AC2 ABC 是 Rt又：屈BCAC -4故各邊長(zhǎng)為：|ABBC乙ACA/2;AC1B各內(nèi)角為：42五.本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法B i立體幾何是對(duì)三維空間關(guān)系的研究，我們將在立體幾何的學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)一些空間 圖形，培養(yǎng)和開(kāi)展空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流能力以 及幾何直觀能力；解析幾何的學(xué)

17、習(xí)中主要掌握解析法，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究 圖形的幾何性質(zhì)，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法。【模擬試題】答題時(shí)間：50分鐘一、選擇題1. 假設(shè)一個(gè)幾何體的三視圖都是等腰三角形，那么這個(gè)幾何體可能是A.圓錐B.正四棱錐 C.正三棱錐 D.正三棱臺(tái)2. 長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積為,，；,那么長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)A. ' B. 丿 C.D.3. 直線ax+ by + c= 0 abc 0與圓x2 + y2= 1相切，那么三條邊長(zhǎng)分別為a,|b,|c的三角形A.是銳角三角形 B.是直角三角形C.4. 點(diǎn)0, 5到直線y= 2x的距離為5 A. 2B.5 6C.是鈍角三角形D.不存在1234A. -B.

18、5C.5D.57.過(guò)點(diǎn)P (2,1作圓C:2 | 2x + y -ax+ 2ay + 2a +1 = 0的切線有兩條，那么 a的取值范圍為)A. a> 3B.a v 322C. 3 v a V-5D.3v av 5 或 a>2二、填空題8. 2007 個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上。已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為 2,那么該三角形的斜邊長(zhǎng)為 o9. 山東理與直線：和曲線" -11都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 o三、解答題10. 2007山東改。O的方程是'- 1 ,O 的方程是只十於-弘+10=0,由動(dòng)點(diǎn)0向。O和。O所引的切線長(zhǎng)相等，求動(dòng)點(diǎn)P

19、的軌跡方 程。11. 2007全國(guó)改四棱錐 S ABCD中，底面ABC:為平行四邊形，側(cè)面 SBCL 底面 ABCD / ABC= 45°, SQ SB 證明：SAL BC12. 2007湖北改由直線上的一點(diǎn)向圓 v 引切線，求切線長(zhǎng)的最小值。13. 2007全國(guó)改如圖，在四棱錐 S- ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱 SD丄底面ABCD E、F分別是AB SC的中點(diǎn)。I求證：EF/平面SAD U設(shè)SD= 2CD求二面角A EF D的正切值；試題答案、選擇題:CDBBC DD、填空題：8. :宀。解答：一個(gè)等腰直角三角形 DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，/ EDF= 90°,正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為AB= 2,那么該三角形的斜邊 EF