與球有關(guān)的切、接問題(有答案)

1、8與球有關(guān)的切、接問題1 .球的表面積公式：S= 4卡2；球的體積公式 V=4,R332.與球有關(guān)的切、接問題中常見的組合：(1)正四面體與球：如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為 a,內(nèi)切球的半徑為r, 外接球的半徑為 R,取AB的中點(diǎn)為D,連接CD, SE為正四面體的高，在 截面三角形SDC內(nèi)作一個(gè)與邊 SD和DC相切，圓心在高 SE上的圓.因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性，內(nèi)切球和外接球的球心同為O.此時(shí)，CO = OS=R, OE = r, SE=Aa, CE=a,則有 R+ r= Aa, R2 r2= |CE|2=|,解得 R = /a, r=(2)正方體與球：正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)

2、切圓，如圖所a本.設(shè)正方體的梭長(zhǎng)為 a,則QJ|= r = 2(r為內(nèi)切球半徑).與正方體各棱相切的球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，3-2a.則 |GO|= R=乎 a.正方體的外接球：截面圖為正方形ACCiAi的外接圓，則|AiO|= Rf(3)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球：如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.即三棱錐A1-AB1D1的外接球的球心和正方體 ABCD-A1B1clD1的外接球的球心重合.如圖，設(shè)3 AAi= a,貝U R= a.如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的

3、外2 b222接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.R2=a一4一c = 4(l為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)).角度一：正四面體的內(nèi)切球1. (2015長(zhǎng)春*II擬)若一個(gè)正四面體的表面積為Si,其內(nèi)切球的表面積為S2,則S1=解析：設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為 a,則正四面體表面積為 &=4乎a2 =，3a；其內(nèi)切球半徑為正四面體高的1,即r=J*a=16a,因此內(nèi)切球表面積為 & = 4 J='a,則皆二也包44 3126s2兀 26a6,3.兀角度二：直三棱柱的外接球B. iC.V22D.萬2. （2015唐山統(tǒng)考）如圖，直三棱柱 ABC-AiBiCi的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑 為1的半球面上

4、，AB=AC,側(cè)面BCCiBi是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則 側(cè)面ABBiAi的面積為（）解析：選C 由題意知，球心在側(cè)面BCCiBi的中心。上，BC為截面圓的直徑，.ZBAC=90 ；MBC的外接圓圓心 N是BC的中點(diǎn)，同理AiBiCi的外心 M是BiCi的中心.設(shè)正方形 BCCiBi的邊長(zhǎng)為x, RtMCi中，俯視網(wǎng)OM = 2，MCi = 1, OCi=R=i（R為球的半徑），£,2+ &j=i,即 x =/，貝U AB=AC=i,，S矩形 ABBiAi = "V2X i=T2.角度三：正方體的外接球3. 一個(gè)正方體削去一個(gè)角所得到的幾何體的三視圖如圖所示（圖中

5、三個(gè)四邊形都是邊長(zhǎng)為2的正方形），則該幾何體外接球的體積為A.81-5B. 16 % C. 9兀D.27544解析：選A 如圖所示，設(shè)球半徑為R,底面中心為O'且球心為O, ,正四棱錐P-ABCD中 AB = 2, .AO/ =業(yè).PO，=4, .在 RtAOO'中，AO2=AO' 2+OO' 2, /.R （2014陜西高考）已知底面邊長(zhǎng)為 球面上，則該球的體積為（）= (72)2+(4-R)2,解得 R=4，.,.該球的表面積為4 tR2= 4 tiX 4 2=,故選A.類題通法切” “接”問題的處理規(guī)律1. “切”的處理解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面

6、體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過 作截面來解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作.2. “接”的處理把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住 外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.牛刀小試1. （2015云南一檢）如果一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是半徑等于5的圓，那么這個(gè)空間幾何體的表面積等于（）B.100兀C. 25 兀D 25jt解析：選A 易知該幾何體為球，其半徑為5,則表面積為S= 4tiR2=100兀1,側(cè)棱長(zhǎng)為42的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)D 4-解析：選D 因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌?/p>

7、徑是四棱柱體對(duì)角線的一半，所以半徑r= 2j12+12+fV2 2 =1,所以 V 球=432tx 1A.*B. 4兀 C. 2兀3 =亨,故選 D.3. 已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為 3的球面上，當(dāng)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為46時(shí)，其高的值為（）A. 3小B.小 C. 2mD. 25h2解析：選D 設(shè)正六棱柱的高為h,則可得（y6）2+=32,解得h= 2/3.4. （2015山西四校聯(lián)考）將長(zhǎng)、寬分別為 4和3的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折起, 得到四面體A-BCD,則四面體A-BCD的外接球的體積為.解析：設(shè)AC與BD相交于。，折起來后仍然有 OA=OB = OC=OD, .外接球的

8、半徑2,從而體積v=/酚=*.5. 一個(gè)圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球 。的體積的比值為 .解析：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2a,則V圓錐=1 a2 432 =孚而 （12課標(biāo)理）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球 。的球面上 正三角形，SC為球O的直徑，且SC = 2,則此棱錐的體積為（A ）；又R2 = a2+（y3a 33般所以R=乎a,故V球=£.呼a"喏;則其體積比為得 33 . 32 732高考全國(guó)課標(biāo)卷真題追蹤1.（15課標(biāo)1理）已知A, B是球O的球面上兩點(diǎn)，/AOB =900, C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若O-AB

9、C三棱錐體積的最大值為 36,則球。的表面積為（C ）（A） 36二（B）64 二 （C）144二（D）256 ;2. （13課標(biāo)1理）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口 ，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為(A)(C)500 冗 3cm3(B)gcm3866 冗 3cm3,e 2048 冗 3(D) cm3ABC是邊長(zhǎng)為1的2 (A) 6(B)3(C)6(D)24. （12課標(biāo)文）平面口截千。的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面口的距離為42,則此球的體積為（B ）(B) 4 3%(C) 43兀5. （1

10、0新課標(biāo)理）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（B ）2(A)二 ac 72(B),二a-112(C) 二 a2(D) 5二 a6. （10新課標(biāo)文）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（B ）(A) 3二a2(B) 6二 a2(0 12 二 a2(D) 24二 a27. （07新課標(biāo)文）已知三棱錐 S-ABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為 r的球面上，球心O在AB上,SO_L底面ABC, AC = J2r ,則球的體積與三棱錐體積之比是（D）D. 4九8. （13新課標(biāo)2文）已知正四棱錐 O-ABCD的體積為 呼，

11、底面邊長(zhǎng)為 J3,則以。為球心，OA為半徑的球的表面積為 24n 。9. （13新課標(biāo)1文）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH :HB=1:2, AB_L平面a , H為垂足，a截千。所得截面的面積為 n,則球O的表面積為_10. （11新課標(biāo)理）已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB =6,BC =2石，則棱錐OABCD的體積為8石.11. （11新課標(biāo)文）已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一球面上.若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的,則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較16，一，-1大者的高的比值為-.312. （08新課標(biāo)理）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上 ，且該六棱柱的體