函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

1、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用一、 比較大小例1若函數(shù)f(x) = X2+ m好n,對任意實(shí)數(shù)x都有f(2 - x) = f(2 + x)成立，試比較f(- 1) , f(2) , f(4)的大小.解依題意可知f (x)的對稱軸為x=2,f( 1)= f(5).Tf (x)在2，+ X)上是增函數(shù)，fvf(4)vf，即 f(2)vf(4)vf( - 1).評注(1)利用單調(diào)性可以比較函數(shù)值的大小，即增函數(shù)中自變量大函數(shù)值也大，減函數(shù)中自變量小函數(shù)值反而變大；(2)利用函數(shù)單調(diào)性比較大小應(yīng)注意將自變量放在同一單調(diào)區(qū)間.二、解不等式例2已知y=f(x)在定義域(一 1,1)上是增函數(shù)，且f(t 1)<f(

2、1 - 2t)，求實(shí)數(shù)t的 取值 范圍.解依題意可得解得0<t<.評注(1)利用單調(diào)性解不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，推出兩個(gè)變量的大小，然后去解不等式.(2)利用單調(diào)性解不等式時(shí)應(yīng)注意函數(shù)的定義域，即首先考慮使給出解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍.(3)利用單調(diào)性解不等式時(shí)，一定要注意變量的限制條件，以防出錯(cuò).三、求參數(shù)的值或取值范圍例3已知a>0,函數(shù)f(x)=x3- ax是區(qū)間1，+)上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值 范圍. 解任取 X, x? 1，+ x)，且 xX2,貝( x= X? X>0. y=f(X2) f (Xi) = (x ax?) (xax)二

3、(x? Xi)( x + X1X2+ x a).TwXvXz,二 X+X1X2+ x>3.顯然不存在常數(shù)a,使(X+XX2+ xa)恒為負(fù)值.又f(x)在i，+x)上是單調(diào)函數(shù)，必有一個(gè)常數(shù)a,使x + XiX2+x a恒為正數(shù)，即 x+ XiX2+ x>a.當(dāng) Xi, X? i，+x)時(shí)，x+ XiX2+x>3,a< 3.此時(shí)，x=X2 x>0,y>0,即函數(shù)f(x)在i，+x)上是增函數(shù)，.a的取值范圍是(0,3.四、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值 例4已知函數(shù)f(x)=，x i，+x).(i)當(dāng)a=4時(shí)，求f(x)的最小值；當(dāng)8二時(shí)，求f ( X)的最小值；(3)若a為正常數(shù)，求f(x)的最小值.解 當(dāng)a= 4時(shí)，f(x)=x + + 2,易知，f(x)在Li,2上是減函數(shù)，在2 ,+x)上是增函數(shù)，.f(x)min=f(2) =6.當(dāng) a二時(shí) » f(x) = x+ + 2.易知,f(x)在1，+乂)上為增函數(shù).f (x) min = f (1 )=.函數(shù)f(x) = X + + 2在(0 ,上是減函數(shù)，在，+份上是增函數(shù).當(dāng)>1，即a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間1 ,+乂)上先減后增， f(X)min 二 f ()=