常微分重點(diǎn)中的例題答案

1、常微分重點(diǎn)中的例題答案例1:解：-y<dX* dx2 dy2(x -1廣'2* x* y =0dxdy = 2*x*y dx=- x2 -1dy2* xdxyx -1兩邊求積分得：-1 = -1 n卜弓 c (*)y把y(0)=1代入(* )式，得-1=cx2 _j滿足初始條件的解為y* (In T+1) =1當(dāng)x2 -1=0時(shí)，方程y=0,不滿足初始條件.y=0不是滿足初始條件的解例2： (1)解：當(dāng)(1-y 2)>0即-1<y<1時(shí)變量分離，有dy dx兩邊同時(shí)積分得： arcsin y = arcsin x - c得方程通解： y =sin(arcsin

2、x - c)當(dāng)1 - y2 = 0時(shí)把y = V代入原方程滿足條件所以方程的常數(shù)解為：y = 一1(2)解：首先容易看出xh'1,y=1為方程的常數(shù)解當(dāng)x = _1,y=_1時(shí)，兩端同除以(x2-1)(y2-1)得2 2x -1 y -1兩邊同時(shí)積分得Inlx J InH = lnc（c嚴(yán)0）化簡得方程通解：（x(x _2)4 +2 x _2 -1）（y2-1） = c （c嚴(yán)0）例3:解：1 -1二=2 式 01 1.方程組二3：0有解V令 x=：1.y二2代入原方程得:廠廠1_ u令U，代入上式得u- 廠兩邊同時(shí)積分得：-In u2+2u 1 = -ln& +丄 ln|c2

3、即 2(u2 2u -1) = c把，=x-1, =y-2反代回得原方程通解:(y-2)22(x-1)(y-2)-(x-1)2 乂例4:解:令 p（x"u，q（x"2（x-2）(02(s-2)*yds 2)(X-2)0從而有 x(t) = x0e2)t f (s)e(s_t)ds因?yàn)閤(t)是連續(xù)函數(shù)，則x(t)在0.t。有界。設(shè) f (t) < M , t 0,+ ： 于是，對t0 mt三有x(t)蘭 x° e4 + Jj f (s)e(")dst I s蘭 xo +Me j e ds與y無關(guān)，故存在只含x的積分因子u(x)二ef (s)dsex

4、代入原方程得I。=x0 +M1 e(t0_L)<心+M ，” 結(jié)論正確例6:解：,:M鋼:x1 =f(x)N3e方程特解：廠4(2xy x2y 吉)dx ex(x2 y2)dy =0 為全微分方程去瓦=O,yo =0由公式知：原方程的通積分為:x20ex(2xy x yt)dx ；y2dy 乂2解得方程的通解：閒x2角 例7: (1)解:T該方程是克萊羅方程方程通解為：y =cx c2 + 2消去c得又由! y=cx + c0 = x +2ck(2)解:令y =tan代入原方程得xtan 二cos :x=s in :- +I又 ftanot sin otda =coso +c消去:r x

5、 = sin :-由y - -cosj ' c得方程的通解：x2 (y-c)2 =1(3)解：令y =s inh t代入原方程得cos hty=coshtIptcosht亠丄乂 xdt = t c' sinh t由xtc消去ty =cosht得方程的通解：y二cosh(t -c)例8:解：由變量分離可求得方程的通解為：y = (x c)3> 3對c求偏導(dǎo)聯(lián)立得(x c) 2消去c得l0 = 3(x+c)2方程的奇解：y=0例9：解：方程組的系數(shù)矩陣為：0 1 1A = 10 11 1 0特征方程為：C -2)C 1)2 -0得特征根為人=2,丸2,3 =-1為=2對應(yīng)的解

6、為Y(x) =e2x 1J J為,3 =_1所對應(yīng)的解形如丫(x)=侃+Rx)e其中Ro, Ri滿足!;(A+E2Ro =0_1 1們又(A+E)= 1 1 1 ：1 1 1 一3 3 3(A+E2二 3 3 33 3 3一由( A+E2Ro =0得出兩個(gè)線性無關(guān)的向量將上述向量分別代入(A+E) Ro=R均得到R為零向量對應(yīng)的無關(guān)解是:-111飛(x)=e0衛(wèi)一1Y2(x)=e»得方程的通解為T* 1o jJY( x)=Ce2x 11J例10:證明：設(shè)y是已知二階齊次方程的一個(gè)解，根據(jù)劉維爾公式有_Ce_p(x)dxy1''p(x)dx即 y1y - yy1 =Ce

7、用 三同時(shí)乘以等式兩端，整理后得:y1(-)dx y1-p(x)dx e.P（x）dx由此可得丄二dx C*yiLyi因?yàn)閥i是方程的一個(gè)非零特解P（x）dx易見y =% Ce 2dx是已知方程的一個(gè)解yi即 C*=0 , C=1又因?yàn)?y1 y,=CeTP（x）d、Oyi y所以求得的解y與已知解yi是線性無關(guān)解從而得已知方程的通解：y =C yi Cyi）dx,其中，C， C為任意常數(shù) 'yi命題成立。例II：解：先求其對應(yīng)齊次方程的通解特征方程是2-5'+6=0得特征根為，i=2,2=3所以對應(yīng)齊次方程的通解為y = Ge2x C2e3x因?yàn)?0不是特征根，因?yàn)橹匠逃行稳鏏x2 Bx C得特解代入原方程得 6Ax2（6B -I0A）X 2A-5B 6C =6x2 -10x 2比較上式等號兩端x的