數(shù)字信號實(shí)驗(yàn)第四章答案

1、數(shù)字信號處理實(shí)驗(yàn)報(bào)告4線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)頻域分析一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^使用matlab做實(shí)驗(yàn)來加強(qiáng)對傳輸函數(shù)的類型和頻率響應(yīng)和穩(wěn)定性測試來強(qiáng)化理解概念。4.1 傳輸函數(shù)分析回答:Q4.1 修改程序P3_1去不同的M值，當(dāng)0w2pi時(shí)計(jì)算并畫出式（2.13）所示滑動(dòng)平均濾波器的幅度和相位譜，代碼如下：% Program Q4_1% Frequency response of the causal M-point averager of Eq. (2.13) clear;% User specifies filter lengthM = input(Enter the filter length

2、M: );% Compute the frequency samples of the DTFTw = 0:2*pi/1023:2*pi;num = (1/M)*ones(1,M);den = 1;% Compute and plot the DTFTh = freqz(num, den, w);subplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h);gridtitle(Magnitude Spectrum |H(ejomega)|)xlabel(omega /pi);ylabel(Amplitude);subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(h);gridtitle

3、(Phase Spectrum argH(ejomega)xlabel(omega /pi);ylabel(Phase in radians);所得結(jié)果如圖示：M=2M=7 幅度和相位譜表現(xiàn)出對稱性的類型是由于沖激響應(yīng)是實(shí)數(shù)，因此頻率響應(yīng)是周期且對稱的，幅度譜是周期甚至對稱的，相位響應(yīng)是周期奇對稱。采用移動(dòng)平均濾波表示過濾器的類型 低通濾波器Q2.1的結(jié)果可以解釋為 它是一個(gè)低通濾波器，輸入是一個(gè)兩個(gè)正弦分量的總和，一個(gè)高頻和低頻。結(jié)果依賴于過濾器的長度，但總的結(jié)果是更高頻率的正弦輸入分量衰減超過較低的頻率正弦輸入分量。Q4.2因果LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線得到使用修改后的程序如下:通過

4、此傳遞函數(shù)表示的過濾器類型 帶通濾波器Q4.3對問題的因果LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)圖q4.3得到使用修改后的程序如下通過此傳遞函數(shù)表示的過濾器類型- 帶通濾波器4.2和4.3濾波器的不同在于 幅度譜兩個(gè)是一樣的，但是第二個(gè)相位譜不是連續(xù)的，原因是它們的極點(diǎn)不是一樣的，4.36的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，所以是穩(wěn)定的，4.37的極點(diǎn)在單位圓外，所以不穩(wěn)定。我會(huì)選擇4.36濾波器的原因是 因?yàn)?.37沒有4.36穩(wěn)定Q4.4過濾器的群延遲的問題q4.4指定和使用功能如下所示:從圖像可以觀察到: 這是一個(gè)窄阻帶的帶阻濾波器，在大多數(shù)的帶通濾波器中，群延遲是恒定的。Q4.54.2和4.3兩個(gè)濾波器的前100

5、個(gè)樣本沖擊響應(yīng)的圖像如圖示：可以得到觀察: 4.36給出的濾波器是穩(wěn)定的，即hn是可求和的，并且沖激響應(yīng)呈指數(shù)型衰減，而4.37給出的是不穩(wěn)定的，所以hn隨n呈指數(shù)型增長。Q4.6使用zplane生成式4.36和4.37確定的兩個(gè)濾波器的零極點(diǎn)圖:從圖像可以觀察到: 上圖的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，所以是因果穩(wěn)定的，下圖的極點(diǎn)在單位圓外，不是因果穩(wěn)定。4.2 傳輸函數(shù)的類型Project 4.2濾波器P4_1的代碼如下：% Program P4_1% Impulse Response of Truncated Ideal Lowpass Filterclf;fc = 0.25;n = -6.5:1:6

6、.5;y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+6.5;stem(k,y);title(N = 13);axis(0 13 -0.2 0.6);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude);grid;回答:Q4.7接近于理想低通濾波器的沖擊響應(yīng)的圖像： FIR低通濾波器的長度是 - 14P4_1決定低通濾波器長度的語句是 n = -6.5:1:6.5;控制截止頻率的參數(shù)是- fc = 0.25;Q4.8修改程序P4.1，計(jì)算并畫出式（4.39）所示長度為20，截止頻率為wc=0.45的有限沖擊響應(yīng)低通濾波器的沖擊響應(yīng):% Program Q4_8%

7、 Impulse Response of Truncated Ideal Lowpass Filterclf; 9 fc = 0.45;n = -9.5:1:9.5;y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+9.5;stem(k,y);title(N = 20);axis(0 19 -0.2 0.7);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude);grid;得到的結(jié)果是:Q4.9必要的修改程序p4_1計(jì)算并畫出長度與15和0.65的截止頻率的FIR低通濾波器的脈沖響應(yīng):% Program Q4_9% Impulse Response of Trun

8、cated Ideal Lowpass Filterclf;fc = 0.65;n = -7.0:1:7.0;y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+7.0;stem(k,y);title(N = 14);axis(0 14 -0.4 1.4);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude);grid;得到的圖像是：Q4.10 MATLAB計(jì)算程序和繪圖的FIR低通濾波器的的幅度響應(yīng)如下： % Program Q4_10% Compute and plot the amplitude response% of Truncated Ideal Low

9、pass Filterclear;% Get N from the user command lineN = input(Enter the filter time shift N: );% compute the magnitude spectrumNo2 = N/2;fc = 0.25;n = -No2:1:No2;y = 2*fc*sinc(2*fc*n);w = 0:pi/511:pi;h = freqz(y, 1, w);plot(w/pi,abs(h);grid;title(strcat(|H(ejomega)|, N=,num2str(N);xlabel(omega /pi);y

10、label(Amplitude);低通濾波器的幅度相應(yīng)（若干個(gè)n值）:從圖像可以得到觀察 隨著濾波器長度的增加，從通過到不通過變得更加陡峭，我們也可以看到吉布斯現(xiàn)象：當(dāng)濾波器增加時(shí)，幅度相應(yīng)更加趨向一個(gè)理想的低通特征。然而隨著w增長，峰值是增加而不是降低。P4_2的代碼:% Program P4_2% Gain Response of a Moving Average Lowpass Filterclf;M = 2;num = ones(1,M)/M;g,w = gain(num,1);plot(w/pi,g);gridaxis(0 1 -50 0.5)xlabel(omega /pi);yl

11、abel(Gain in dB);title(M = , num2str(M)回答: Q4.11 長度為2的滑動(dòng)平均濾波器的增益相應(yīng)的圖像： 從圖中可以看出，3-dB截止頻率是-ppi/2Q4.12 必要的修改程序p4_2計(jì)算并畫出一個(gè)級聯(lián)的K長度為2的滑動(dòng)平均濾波器的增益響應(yīng)如下： % Program Q4_12% Gain Response of a cascade connection of K % two-point Moving Average Lowpass Filtersclear;K = input(Enter the number of sections K: );Hz =

12、1;% find the numerator for H(z) = cascade of K sectionsfori=1:K;Hz = conv(Hz,1 1);end;Hz = (0.5)K * Hz;% Convert numerator to dBg,w = gain(Hz,1);% make a horizontal line on the plot at -3 dBThreedB = -3*ones(1,length(g);% make a vertical line on the plot at the% theoretical 3dB frequencyt1 = 2*acos(

13、0.5)(1/(2*K)*ones(1,512)/pi;t2 = -50:50.5/511:0.5;plot(w/pi,g,w/pi,ThreedB,t1,t2);grid;axis(0 1 -50 0.5)xlabel(omega /pi);ylabel(Gain in dB);title(K = ,num2str(K),; Theoretical omega_c = ,num2str(t1(1);使用修改后的程序級聯(lián)部分的增益響應(yīng)曲線得到如下所示：從圖中可以看出，級聯(lián)的3-dB截止頻率是 -0.30015piQ4.13 必要的修改程序p4_2計(jì)算高通濾波器的增益響應(yīng)（4.42）如下:% P

14、rogram Q4_13% Gain Response of Highpass Filter (4.42)clear;M = input(Enter the filter length M: );n = 0:M-1;num = (-1).n .* ones(1,M)/M;g,w = gain(num,1);plot(w/pi,g);grid;axis(0 1 -50 0.5);xlabel(omega /pi);ylabel(Gain in dB);title(M = , num2str(M);通過修改程序，增益響應(yīng)M=5的曲線為：我們可以得到3-dB 的截止頻率在 大約在0.8196piQ4

15、.14 從式子. (4.16) 3-dB截止頻率wc 在0.45p 我們可以得到a = 0.078702取代 a在式子 (4.15) 和(4.17) 我們得到的一階IIR低通和高通濾波器的傳遞函數(shù)，分別給出了HLP(z) =HHP(z) =我們得到的增益響應(yīng)如圖示:從這些圖中我們看到，所設(shè)計(jì)的濾波器滿足規(guī)格。幅度響應(yīng)HLP（Z）HHP（Z）獲得使用MATLAB如下：這兩個(gè)濾波器是 全通濾波器HLP(z) 和 HHP(z)一個(gè)圖的平方幅度響應(yīng)的總和如圖示：這兩個(gè)濾波器是 - 功率互補(bǔ)Q4.15 從式（4.24），我們得到K = 10, B = 1.8660660在式子 (4.23)替代B 和 w

16、c = 0.3p我們可以得到 a = -0.3107925使用這種a公式值（4.22）我們到達(dá)10 IIR低通濾波器級聯(lián)的傳遞函數(shù)Substituting wc = 0.3p in Eq. (4.16) we obtain a = 0.3249197Using this value of a in Eq. (4.15) we arrive at the transfer function of a first-order IIR lowpass filter增益響應(yīng) and 如圖示:我們可以得到觀察是 - 第一階IIR低通部分串聯(lián)實(shí)現(xiàn)比單一的第一階濾波器設(shè)計(jì)的相同的3 dB截止頻率更清晰的過渡

17、帶。Q4.16 在式子(4.19)取代wo = 0.61p 我們可以得到 -0.3387在式子(4.20)中 = 0.15p我們可以得到 解得a = 1.6319和a = 0.6128. .替代值b和值a在式子 (4.18) 我們得到的的IIR帶通的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)HBP,1(z) = 取代值 b 和第二個(gè)值 a在式子 (4.18) 我們得到的的IIR帶通的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)HBP,2(z) = 使用 zplane 我們可以發(fā)現(xiàn)極點(diǎn)位置 HBP,1(z) 和 HBP,2(z) 我們可以得到穩(wěn)定的傳輸函數(shù)HBP(z) -穩(wěn)定的傳遞函數(shù)的增益響應(yīng)的HBP（Z）的圖像如圖所示：使用等值的a 和 b

18、 在式子. (4.21) 接下來我們獲得一個(gè)穩(wěn)定的IIR帶阻濾波器的傳遞函數(shù)HBS(z) =傳遞函數(shù)的增益響應(yīng)HBs（Z）的圖像如下所示：從這些圖中我們看到，所設(shè)計(jì)的濾波器不滿足規(guī)格幅度相應(yīng)之和HBP(z) + HBS(z) 的圖像如圖示:我們從圖可以得到兩個(gè)濾波器是 全通平方幅度相應(yīng)之和 HBP(z) and HBS(z) 的圖像如圖示我們可以得到這兩個(gè)濾波器是 - 功率互補(bǔ)Q4.17 一個(gè)來自原型FIR低通濾波器的梳狀濾波器的傳遞函數(shù)方程（4.38）是由G(z) = H0(zL) = 0.5+0.5z-L為下列值L以上的梳狀濾波器的幅度響應(yīng)圖如下所示：從這些圖中我們看到，梳狀濾波器有缺口w

19、k = (2k+1)pi/L =和wk =2kpi/L, 其中k = 0, 1, . . ., L-1.Q4.18 一個(gè)來自原型FIR高通濾波器的梳狀濾波器的傳遞函數(shù)式（4.41）M2由下式給出G(z) = H1(zL) = 0.5+0.5z-L為下列值L以上的梳狀濾波器的幅度響應(yīng)圖如下所示我們可以得到梳狀濾波器有L個(gè)缺口 wk = 2kpi/ L并且 L 的峰值在 wk = (2k+1)pi/L.Q4.19 P4_3的代碼是% Program P4_3% Zero Locations of Linear Phase FIR Filtersclf;b = 1 -8.5 30.5 -63;num

20、1 = b 81 fliplr(b);num2 = b 81 81 fliplr(b);num3 = b 0 -fliplr(b);num4 = b 81 -81 -fliplr(b);n1 = 0:length(num1)-1;n2 = 0:length(num2)-1;subplot(2,2,1); stem(n1,num1);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude); grid;title(Type 1 FIR Filter);subplot(2,2,2); stem(n2,num2);xlabel(Time index n);ylabel(Ampli

21、tude); grid;title(Type 2 FIR Filter);subplot(2,2,3); stem(n1,num3);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude); grid;title(Type 3 FIR Filter);subplot(2,2,4); stem(n2,num4);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude); grid;title(Type 4 FIR Filter);pausesubplot(2,2,1); zplane(num1,1);title(Type 1 FIR Filter);su

22、bplot(2,2,2); zplane(num2,1);title(Type 2 FIR Filter);subplot(2,2,3); zplane(num3,1);title(Type 3 FIR Filter);subplot(2,2,4); zplane(num4,1);title(Type 4 FIR Filter);disp(Zeros of Type 1 FIR Filter are);disp(roots(num1);disp(Zeros of Type 2 FIR Filter are);disp(roots(num2);disp(Zeros of Type 3 FIR F

23、ilter are);disp(roots(num3);disp(Zeros of Type 4 FIR Filter are);disp(roots(num4);通過運(yùn)行程序的p4_3如下產(chǎn)生四的FIR濾波器的脈沖響應(yīng)圖：我們可以從中得到觀察:濾波器 #1 長度 9并且對稱沖擊響應(yīng)并且類型1是線性相位濾波器 。濾波器 #2 長度 10并且對稱沖擊響應(yīng)并且類型 2 是線性相位FIR 濾波器. 濾波器 #3 長度 9 并且 不對稱沖擊響應(yīng)并且類型3線性相位FIR 濾波器. 濾波器#4長度10并且不對稱沖擊響應(yīng)并且類型 4 線性相位 FIR濾波器從P4_3的濾波器的零點(diǎn)可以看出:濾波器#1有零點(diǎn)

24、z = 2.9744, 2.0888, 0.9790 + 1.4110i, 0.9790 - 1.4110i, 0.3319 + 0.4784i, 0.3319 - 0.4784i, 0.4787, 0.3362濾波器 #2 有零點(diǎn) z = 3.7585 + 1.5147i, 3.7585 - 1.5147i, 0.6733 + 2.6623i, 0.6733 - 2.6623i, -1.0000, 0.0893 + 0.3530i, 0.0893 - 0.3530i, 0.2289 + 0.0922i, 0.2289 - 0.0922i濾波器#3有零點(diǎn) z = 4.7627, 1.6279

25、+ 3.0565i, 1 .6279 - 3.0565i, -1.0000, 1.0000, 0.1357 + 0.2549i, 0.1357 - 0.2549i, 0.2100濾波器 #4 有零點(diǎn) z = 3.4139, 1.6541 + 1.5813i, 1.6541 - 1.5813i, -0.0733 + 0.9973i, -0.0733 - 0.9973i, 1.0000, 0.3159 + 0.3020i, 0.3159 - 0.3020i, 0.2929對每個(gè)這些濾波器的相位響應(yīng)曲線，利用MATLAB如下所示：我們可以得到每個(gè)濾波器都有線性相位濾波器# 1群延遲是- 4濾波器#

26、2群延遲是 4.5濾波器# 3群延遲是- 4濾波器#4群延遲是 4.5Q4.20 通過運(yùn)行程序的p4_3如下產(chǎn)生四的FIR濾波器的脈沖響應(yīng)圖：從圖像可以得到觀察濾波器#1 是長度 9并且對稱沖擊響應(yīng)的類型1線性相位濾波器 濾波器#2 是長度 10并且對稱沖擊響應(yīng)的類型2線性相位濾波器濾波器#3是長度 9并且不對稱沖擊響應(yīng)的類型3線性相位濾波器濾波器#4 是長度10并且不對稱沖擊響應(yīng)的類型4線性相位濾波器通過觀察P4_3濾波器的零點(diǎn)得到:濾波器 #1有零點(diǎn)z = 2.3273 + 2.0140i 2.3273 - 2.0140i -1.2659 + 2.0135i -1.2659 - 2.013

27、5i-0.2238 + 0.3559i -0.2238 - 0.3559i 0.2457 + 0.2126i 0.2457 - 0.2126i濾波器#2 的零點(diǎn)z = 2.5270 + 2.0392i 2.5270 - 2.0392i -1.0101 + 2.1930i -1.0101 - 2.1930i -1.0000 -0.1733 + 0.3762i -0.1733 - 0.3762i 0.2397 + 0.1934i 0.2397 - 0.1934i濾波器#3的零點(diǎn)z = -1.0000 0.2602 + 1.2263i 0.2602 - 1.2263i 1.0000 0.6576 + 0.7534i 0.6576 - 0.7534i 0.1655 + 0.7803i 0.1655 - 0.7803i濾波器#4的零點(diǎn)z = 2.0841 + 2.0565i 2.0841 - 2.0565i -1.5032 + 1.9960i -1.5032 - 1.9960i 1.0000 -0.2408 + 0.3197i -0.2408 - 0.3197i 0.2431 +