2018年高考數(shù)學(xué)專題08數(shù)列及其應(yīng)用教學(xué)案文

1、專題08數(shù)列及其應(yīng)用【2018 年咼考考綱解讀】 高考對本內(nèi)容的考查主要有:(1) 數(shù)列的概念是 A 級要求，了解數(shù)列、數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和等概念，一般不會(huì)單獨(dú)考查；(2) 等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩種重要且特殊的數(shù)列，要求都是C 級，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)求和公式、性質(zhì)等知識(shí)，理解其推導(dǎo)過程，并且能夠靈活應(yīng)用.通過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形后，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的問題.(5)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和的基本的幾種方法.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 .試題類型可能是填空題，以考查單一性知識(shí)為主，同時(shí)在解答題中經(jīng)常與不等式綜合考查，構(gòu)成壓軸題.【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】1 等

2、差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=ai+ (n 1)d=am+ (nn)d;等比數(shù)列&的通項(xiàng)公式為an=aiqn_1=anqn-m2 .等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為特別地，當(dāng)d0時(shí)，S是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0,即可設(shè)S= an2+bn(a, b為常數(shù)).等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和na1,q= 1,特別地，若qz1,設(shè)a=,1q則Si=aaq.3 等差數(shù)列、等比數(shù)列常用性質(zhì)(1)若序號(hào) 討n=p+q,在等差數(shù)列中，則有am+an=ap+aq；特別的，若序號(hào) 討n=2p,則am+an= 2ap； 在等比數(shù)列中，則有am-an=apaq；特別的，若序號(hào)m+

3、 n=2p,則am-an=a；在等差數(shù)列an中，S,Sk S,Sk &,成等差數(shù)列，其公差為 kd；其中 S 為前 n 項(xiàng)的和，且 Sz 0( nN*)； 在等比數(shù)列an中，當(dāng)qz1 或k不為偶數(shù)時(shí)$, S2kSk,也也，成等比數(shù)列，其中S為前n項(xiàng)的和a1+a2n=n a1+ -n12d.a1anq1q1,(nN).4 .數(shù)列求和的方法歸納(1)轉(zhuǎn)化法：將數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行分組重組，使之轉(zhuǎn)化為n個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用公式求和；錯(cuò)位相減法：適用于anbn的前n項(xiàng)和，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列；裂項(xiàng)法：求an的前n項(xiàng)和時(shí)，若能將an拆分為an=bnbn+1,貝Ua+比+an=blbn+1

4、；倒序相加法：一個(gè)數(shù)列倒過來與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)的和容易求出，那么這樣的數(shù)列求和可采用此法其主要用于求組合數(shù)列的和這里易忽視因式為零的情況；(5)試值猜想法：通過對Si,S2,S3,的計(jì)算進(jìn)行歸納分析，尋求規(guī)律，猜想出S,然后用數(shù)學(xué)歸納法給 出證明.易錯(cuò)點(diǎn)：對于Sn不加證明；并項(xiàng)求和法：先將某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例如對于數(shù)列an:ai= 1,a2= 3,a3= 2,an+2=an+1an,可證其滿足an+6=an,在求和時(shí)，依次 6 項(xiàng)求和，再求 S.5數(shù)列的應(yīng)用題(1)應(yīng)用問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長，反映的事物背景陌生，知識(shí)涉及面廣，因此要解好應(yīng)用題，首先應(yīng)當(dāng)

5、提高 閱讀理解能力，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號(hào)，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再用數(shù)學(xué)運(yùn)算、 數(shù)學(xué)推理予以解決.數(shù)列應(yīng)用題一般是等比、等差數(shù)列問題，其中，等比數(shù)列涉及的范圍比較廣，如經(jīng)濟(jì)上涉及利潤、成本、效益的增減，解決該類題的關(guān)鍵是建立一個(gè)數(shù)列模型an，利用該數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式或前n項(xiàng)和公式.【題型示例】 題型 1、等差、等比數(shù)列中基本量的計(jì)算【例 11(2017 高考全國卷I)記S為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4+a5= 24,SB= 48,則an的公差為()A. 1C. 4解析：通解：選C設(shè)盤的公差為乳則解得Q4.故選C.優(yōu)解：由&二48得如+他二B. 2D. 83【2017

6、 江蘇，9】等比數(shù)列a.的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn，已知S3耳,則a8=丄【答案】32【解析】當(dāng) q =1 時(shí)，顯然不符合題意;印(1 -q3) _71二4，解得a1印(1 _q6)63- =14，則q =2a a2 二 32 .4【變式探究】【2016 年高考北京文數(shù)】已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若ai 6，a3a5 =0，貝y S6=_【答案】6【解析】an是等差數(shù)列，a3a2a0,= 0,=3d - -6,d d - -2,-S 6a1156 6 15 (-2)=6，故填：6.【舉一反三】(2015 江蘇，11)設(shè)數(shù)列an滿足 a= 1,且an+1an=n+ 1(n N

7、),解析C1M + 1-dart+103 02=3，On On-1將以L上1個(gè)式子相加得勵(lì)6=2+3十+?i=心+丹)捲 即 血j 嚴(yán),令 加故r Inzn?i + L故Eio=Ai+肪十十加o=*l專十號(hào)一扌十十令一召二咄11【變式探究】(1)(2014 全國大綱卷)等比數(shù)列an中，a4= 2,a5= 5,則數(shù)列l(wèi)gan的前 8 項(xiàng)和等于(A. 6 B . 5 C . 4 D . 3(2014 北京)若等差數(shù)列an滿足a7+as+a90,a?+ a*。，則當(dāng)n=_ 時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大.【命題意圖】(1)本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算.(a4+a5) (a4+a3)= 8, d=

8、4，故選 C.則數(shù)列10 項(xiàng)的和為前n項(xiàng)和最大.2 2 2 2【變式探究】設(shè)數(shù)列an是公差不為 0 的等差數(shù)列，$為其前n項(xiàng)的和，滿足：32+a3=a4+a5,7.【解析】(1)證明 由題意，得捷=2(n2),5(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和設(shè)數(shù)列bn滿足bn= 2an,其前n項(xiàng)的和為Tn,當(dāng)n為何值時(shí)，有Tn512.【解析】由仏是公差不為0的等差數(shù)列，血+ d d十di十加二么十3肝+7ai7ai + +由納解得”驚 c42,所以&=m十0： 1) 2n匚Sn=Sn=nfli H-斤-rf= n26n.6n.由得=2n-7=2n-7f f所l?Jyb bn n=2a.=2-=2a.=

9、2-h h2汨？i又&二二莎二唄淪2】，力二2旳二厲*所以4是首項(xiàng)為証公比為4的等比數(shù)列，占1-4社1所以它的前/項(xiàng)和=歳代-小 于是由7；512,得4n3x4Ul,所以庭8時(shí)，有Q512.【規(guī)律方法】求等差、等比數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意對通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的選擇.【變式探究】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S, ai= 3,1 +S是公比為 2 的等比數(shù)列.證明：an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)；設(shè)數(shù)列bn滿足bn= log3an,其前n項(xiàng)和為Tn,當(dāng)n為何值時(shí)，有TnW2 012?可設(shè)田二口1+(?：1么則由*&+田=広+曲,3=7,即 1+ S= 4(1 +S

10、 i)，同理，得 1+S+S+1= 4(1 + S).兩式相減，得 S1+1Sn= 4(S S1-1),又a1= 3,所以an是首項(xiàng)為 3,公比為 4 的等比數(shù)列，所以an= 3 4n1= 3 22n2解 由(1)得an= 3 22n2,所以bn= log2(3 22n2)=log23+ 2(n 1)，所以bn是首項(xiàng)為 log23，公差為 2 的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Tn=nlog23+n(n 1)，于是由n2vnIog23+n(n 1) 2 012，得nv2 012，又nN*，所以 1nw44,即卩n= 1,2,3，44 時(shí),TnW2 012.【例 2【2016 高考新課標(biāo) 1 卷】設(shè)等比數(shù)列

11、 匕穢滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則 a-an的最大值為【答案】64 - 2j I印+a3=10口laM1+q )=102).題型 2、與等差、等比數(shù)列有關(guān)的最值問題8，解得1.所以【解析】 設(shè)等比數(shù)列【解析】(1)證明 由題意，得捷=2(n2),7解(1)由已知=也一辺，有血=一$“=2一2淪2),即血二勿n_K虺2),從而02 =加1，03 =加3=仙，又因?yàn)?6，o?+ L 03成等差數(shù)列，即創(chuàng)+也=2血+1),所以辺十如1=2(加1+1),解得aa22所兒 數(shù)列伽是首項(xiàng)為厶公比為2的等比數(shù)列，故弘=21 1由(i)得an=尹1 1 1n由|Tn-11V麗，得1-廠1V麗，即2

12、21 000,910因?yàn)?2 = 512V1 000V1 024 = 2 ,所以n10,1于是，使|Tn 1|V1000 成立的n的最小值為 10.【規(guī)律方法】上述兩種求 A 最值的方法都是運(yùn)用函數(shù)思想法一是直接研究子數(shù)列32n .(19n+ 2 2n+1)的單調(diào)性求其最值.【變式探究】 已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)310,公差 0,由an的部分項(xiàng)組成的數(shù)列 為等比數(shù)列，其中b1= 1,b2= 2,b3= 6.(1)求數(shù)列5的通項(xiàng)公式bn；若數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 S，求 S 的值；亠2 012 n“ 卄，+法二是研究A=,ab2,，abn,i i所以Tn= 2+ 228題型三、數(shù)列求和問題【例

13、 3】【2017 山東，文 19】(本小題滿分 12 分)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1-【解析】(1)由(A=aia(A=aiaf f得(di+ Q二6i +d2 -3aid0.又毋 6 所以3叫 所以g=4,所以，他盤=創(chuàng)屮】.又0=如+-1疋=盤1+伽一1)3創(chuàng)，所以 G 護(hù)一1=0 +入一1)加1.4_i2 2因?yàn)椤癷(2)5k二加 + 加十叢 + .- +At電+護(hù)(知訴+(竽+D=jcL+4+.+4B_1)+yJ二逮3 1-43+ 2n(3)由 S= 34-13-+2n，得A= S2-092= 9(4n- 2 006n-1)，若存在nN ,使得AwA+1,且An0,解得：

14、殆=2,q=2=2,q=2, ,所臥代=2：（II）由題意知：S S 如=卩旳十1丿號(hào)+俎敘= =（2 2 卄嘰、an2n 12n因此匸13572n -1 2n 1又_ T =n 234nn 12 2 2 2 2 22n 12* 1【舉一反三】【2017 山東，文 19】（本小題滿分 12 分）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列Tn=C1 CH Cn3弟m第劣,兩式相減得所以Tn-52n 511(I) 求數(shù)列an通項(xiàng)公式；b (II) bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和S,已知S2n.1= bnbn 1,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn.lanj【答案】(I) an=2n.(n) Tn二-2.【解祈】(

15、I 設(shè)qj的公比為由題意知：嗎(1+址)二6七冷=珂.又代0J解得：=2S = 2y所 gFE 由題意知：也2+1號(hào)+Sg+%,買S亦1 =硝廿1 f+1 H 0所以乞=2科+1令Cn=bnan2n 12n，因此Tn=q C2川Cn=2III嚴(yán)2n -1 2n 12n又手FF川亍2n -12n 12n113(1(111兩式相減得_Tn=_.1 -T 1 22 12 222n 12n所以Tn-52n 52n【變式探究】【2017 北京，文 15】已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列 bn滿足a1=bi=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(I)求的通項(xiàng)公式;13【解析】【解析】所我射砂1滬國一記U一1,

16、2,00?.對數(shù)列:ajnN*和U的子集 T,若T-一，定義ST=0 ;若丁/,，t,定義ST二at1a+atk.例如：T=由已知得的=嗎-3二応1于是當(dāng)r = 2.4時(shí)，=勺+角=珂+27 = 3%.又=30.故30=30,即=L所以數(shù)列何的通項(xiàng)公式為牛=3巴處【因?yàn)門u(i2少打%=dk所以蘭硯+丐+礙=1 + 3+于，二1(31-1)32因此,S Sr ra0.i+-6fi+50.令摳） =2（力!一1+用一6/r+h由已知得亠用）弐對于人（M恒成立,卩0少.3U 1汝.化間島解得，nwi或n5.滿足條件的k存在，k的最小值為 5.【規(guī)律方法】數(shù)列通項(xiàng)公式的還原方法比較多樣，可以構(gòu)造特殊數(shù)列，也可以立足于運(yùn)算、歸納，最后補(bǔ) 充證明.2S122*【變式探究】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S,已知ai= 1, =an+i nn- ,nN.（1）求a2的值；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；OnOnOn-1_打1 /i2丹一I護(hù)一務(wù)i+5少永一 2 2 譏砂當(dāng)且僅當(dāng)y當(dāng)血時(shí),1 11 7證明：對一切正整數(shù)n,有一+ + +；.a1a2an41 2【解析】2Si=a2