2018年秋高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡單表示法第1課時數(shù)列的概念及簡單表示法

1、第 1 課時 數(shù)列的概念及簡單表示法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解數(shù)列的概念(重點(diǎn))2 掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用(重點(diǎn))3 能根據(jù)數(shù)列的 前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式(難點(diǎn)、易錯點(diǎn))自主預(yù)習(xí)探新知1 數(shù)列的概念及一般形式項(xiàng)：數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個 數(shù)列的項(xiàng)；排在第一位的數(shù)稱為 這個數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫做首 項(xiàng))般形式思考 1: (1)數(shù)列的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是否相同？(2)數(shù)列 1,2,3,4,5 ，數(shù)列 5,3,2,4,1與1,2,3,4,5 有什么區(qū)別？提示(1)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念數(shù)列的項(xiàng)是指這個數(shù)列中的某一個確定的 數(shù)，是一個函數(shù)值，也就是相當(dāng)于f(n),而項(xiàng)數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號

2、，它是自變量的 值，相當(dāng)于f(n)中的n.(2)數(shù)列 1,2,3,4,5 和數(shù)列 5,3,2,4,1為兩個不同的數(shù)列，因?yàn)槎叩脑仨樞虿煌?，而集?,2,3,4,5與這兩個數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有無序性.2 數(shù)列的分類類別含義按項(xiàng)的個數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢遞增數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)， 有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù) 列3.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個式

3、子來表示，那么這個公式叫做這個 數(shù)列的通項(xiàng)公式.4 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系定義:按照一定順序排列的一列數(shù)從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表:定義域正整數(shù)集 N(或它的有限子集1,2,3，n)解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式值域自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法思考：數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f(n)與函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)有什么異同?提示如圖，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2，n)為定義域的函數(shù)，an=f(n)當(dāng)自變量按照從小到大的 順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值不同之處是定義域，數(shù)列中 的n必須是從 1 開始且

4、連續(xù)的正整數(shù)，函數(shù)的定義域可以是任意非 空數(shù)集.基礎(chǔ)自測1 思考辨析(1)數(shù)列 1,1,1，是無窮數(shù)列.()數(shù)列 1,2,3,4 和數(shù)列 1,2,4,3 是同一個數(shù)列.(3)有些數(shù)列沒有通項(xiàng)公式.( )答案V(2)X(3)V提示：(1)正確每項(xiàng)都為 1 的常數(shù)列，有無窮多項(xiàng).(2)錯誤雖然都是由 1,2,3,4四個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，但是兩個數(shù)列中后兩個數(shù)順序不同，不是同一個數(shù)列.(3)正確.某些數(shù)列的第n項(xiàng)an和n之間可以建立一個函數(shù)關(guān)系式，這個數(shù)列就有通項(xiàng)公式，否則，不能建立一個函數(shù)關(guān)系式，這個數(shù)列就沒有通項(xiàng)公式.2 . 600 是數(shù)列 1X2,2X3,3X4,4X5,的第 _ 項(xiàng).24 an=

5、n(n+ 1) = 600 = 24X25,所以n= 24.3._數(shù)列an滿足an= log2(n2+ 3) 2,Ulog23 是這個數(shù)列的第 _項(xiàng).【導(dǎo)學(xué)號：91432112】23令an= log2(n+ 3) 2= log23，解得n= 3.4.數(shù)列 1,2,百, 幀，Ji3,中的第 26 項(xiàng)為_ .2 19因?yàn)閍1= 1 =1,a2= 2 = /4,a3= 7,a4= 10,a5= 13,所以an=n 2,所以a26= 3X26 2= .76= 2 19.合作探究攻重難數(shù)列的概念及分類12 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 01652,4,8,16,32，；61

6、, 1, 1 , 1.其中，有窮數(shù)列是 _ ，無窮數(shù)列是 _，遞增數(shù)列是 _ ，遞減數(shù)列是_，常數(shù)列是 _ ，擺動數(shù)列是 _ (填序號)為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；為無窮、遞減數(shù) 列；為無窮、擺動數(shù)列；是擺動數(shù)列，是無窮數(shù)列，也是周期為4 的周期數(shù)列；為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列.規(guī)律方法1 與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有以下特點(diǎn)：(1) 確定性：一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的，集合中的元素也具有確定性；(2) 可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即互異性)；(3) 有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有

7、關(guān)，而集 合中的元素沒有順序(即無序性)；(4) 數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物.2 判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn)對于遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列則看項(xiàng)的個數(shù)有限還是無限.跟蹤訓(xùn)練1.給出下列數(shù)列：(1) 20102017 年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列 82,93,105,118,132,147,163,180.(2) 無窮多個.3 構(gòu)成數(shù)列 .3,.3,3,3，.(3) 2 的 1 次幕，2 次幕，3 次幕，4 次幕，構(gòu)成數(shù)列2,4， 8,16 , 32,.其中，有窮數(shù)列是 _,無窮

8、數(shù)列是 _，遞增數(shù)列是 _，常數(shù)列是 _,擺動數(shù)歹 y 是_ .【導(dǎo)學(xué)號：91432113】(1)(2)(3)(1) (2) (3) (1)為有窮數(shù)列；(3)是無窮數(shù)列，同時(1)也是遞增數(shù)列；(2)為常數(shù)列；(3)為擺動數(shù)列.卜 1,0， 1,sin已知下列數(shù)2n1(2)3, 3,15,21；(3) 0.9,0.99,0.999,0.999 9；(4) 3,535.思路探究：求數(shù)列的通項(xiàng)公式時，是否應(yīng)考慮將個別項(xiàng)或各項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?？?shù)列的通項(xiàng)公式唯一嗎？解(1)任何一個整數(shù)都可以看成一個分?jǐn)?shù)，所以此數(shù)列可以看做是自然數(shù)列的倒數(shù)，正n1負(fù)相間用(一 1)的多少次冪進(jìn)行調(diào)整，其一個通項(xiàng)公式為a

9、n= ( - 1)nn(2) 數(shù)列可化為 3, 9, 15, 21,即.3X1, .3X3, . 3X5, . 3X乙，每個根號里面可分解成兩數(shù)之積，前一個因數(shù)為常數(shù)3，后一個因數(shù)為 2n- 1，故原數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an= ；gn1 =6n-3.(3) 原數(shù)列可變形為|1 10 , 1 102 , 1 103 , 1 104，故數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為1an=110.(4) 數(shù)列給出前 4 項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為3,偶數(shù)項(xiàng)為 5,所以通項(xiàng)公式的一種表示方法為an=3+ 53n為奇數(shù)jn為偶數(shù).此數(shù)列還可以這樣考慮，3 與 5 的算術(shù)平均數(shù)為 一?廠=4,4+ 1= 5,4 1 = 3,因此數(shù)列的一個

10、通項(xiàng)公式又可以寫為4+ ( 1)n.規(guī)律方法1 據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：1分式中分子、分母的特征；2相鄰項(xiàng)的變化特征；3拆項(xiàng)后的特征；4各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想.2 觀察、分析數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn)是最重要的，觀察出項(xiàng)與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負(fù)符號變化, 可用(一 1)n或(一 1)n+1來調(diào)整.跟蹤訓(xùn)練I類型2|由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式例寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，使它的前4 項(xiàng)是下列各數(shù):（i）-1,2i i3，4；2寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:-7(1) 0,

11、3,8,15,24，；(2) 1，- 3,5 , - 7,9，；1234(3)12,23,34，45,；(4) 1,11,111,1 111 ，.【導(dǎo)學(xué)號：91432114】解(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到 0= 1 1,3 = 4- 1,8 = 9- 1,15 = 16- 1,24 = 25- 1,2 *所以它的一個通項(xiàng)公式是an=n- 1(n N).(2) 數(shù)列各項(xiàng)的絕對值為 1,3,5,7,9，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個通項(xiàng)公式為an= ( - 1)n+1(2n 1)(n N).(3) 此數(shù)列的整數(shù)部分 1,2,3,4，恰好是序號n，分?jǐn)?shù)部分與序號n的

12、關(guān)系為沽，故所求n門22n的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an=n+=門+ 譏 門 N).n+1n+1 1 1 1 1原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?9X9, 9X99，9X999，9x9999,，易知數(shù)列 9,99,999,9999，n1n*的一個通項(xiàng)公式為an= 10 - 1,所以原數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an=-(10 - 1)(n N).類型別_數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用探究問題13 7 15 312551.數(shù)列廳，&花，喬，的通項(xiàng)公式是什么？該數(shù)列的第 7 項(xiàng)是什么？ 是否為該數(shù)24 8 16 32256列中的一項(xiàng)？為什么？提示：由數(shù)列各項(xiàng)的特點(diǎn)可歸納出其通項(xiàng)公式為2552 - 1255255為該數(shù)列中的一項(xiàng)，則-=

13、 ，解得n= 8,所以是該數(shù)列中的第 8 項(xiàng).25622562562已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-n2+ 2n+ 1，該數(shù)列的圖象有何特點(diǎn)？試?yán)脠D象說明 該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項(xiàng).提示：由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列an的圖象是分布在二次函數(shù)y= -x+ 2x+ 1 圖象上的離散的點(diǎn)，如圖所示，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個遞減數(shù)列， 且前兩項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，從第 3 項(xiàng)往后各項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng).cnan=n72 -1r,2 -1127 卄2n，當(dāng)n=7時，a7=27= 128，若例 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 3n2-28n.(1) 寫出此數(shù)列的第 4 項(xiàng)和第 6 項(xiàng)；(2) 問一 49 是否是該

14、數(shù)列的一項(xiàng)？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？ 68 是否是該數(shù)列的一項(xiàng)呢?思路探究：(1)將n= 4,n= 6 分別代入an求出數(shù)值即可；(2)由 3n2-28n= 49 和 3n228n=68,求得n是否為正整數(shù)判斷.解(1)a4=3X4 28X4=64,2a6=3X6 28X6= 60.27(2)由 3n 28n= 49 解得n= 7 或n=-(舍去)，3所以一 49 是該數(shù)列的第 7 項(xiàng)；234由 3n2 28n= 68 解得n= 2 或n=3，均不合題意，所以68 不是該數(shù)列的項(xiàng).母題探究：1.(變結(jié)論)若本例中的條件不變，(1) 試寫出該數(shù)列的第 3 項(xiàng)和第 8 項(xiàng)；(2) 問 20 是不是該數(shù)

15、列的一項(xiàng)？若是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？解因?yàn)閍n= 3n 28n,所以a3=3X3 28X3=57,as=3X8 28X8=32.22(2)令 3n 28n= 20,解得n= 10 或n= (舍去),3所以 20 是該數(shù)列的第 10 項(xiàng).2.(變條件，變結(jié)論)若將例題中的“an= 3n2 28n”變?yōu)椤癮n=n2+ 2n 5”，試判斷數(shù)列an的單調(diào)性.解 an=n2+ 2n 5,2 2an+1an= (n+ 1) + 2(n+ 1) 5 (n+ 2n 5)2 2=n+ 2n+ 1 + 2n+ 2 5n 2n+ 5 = 2n+3./n N ,2n+ 30,a“+ 1a數(shù)列an是遞增數(shù)列.規(guī)律方法1由通項(xiàng)公

16、式寫出數(shù)列的指定項(xiàng)，主要是對n進(jìn)行取值，然后代入通項(xiàng)公式，相當(dāng)于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值.2 .判斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng)，其方法是可由通項(xiàng)公式等于這個數(shù)求方程的根，根據(jù) 方程有無正此方程無正整數(shù)解，所以誥不是該數(shù)列中的項(xiàng).整數(shù)根便可確定這個數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng).3在用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時，要注意它的定義域是 N(或它的有限子集1,2,3，,n)這一約束條件.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1 .下列說法正確的是()A.數(shù)列 1,3,5,7，2n 1 可以表示為 1,3,5,7，B.數(shù)列 1,0, 1 , - 2 與數(shù)列一 2, 1,0,1 是相同的數(shù)列若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an= 3 2n，貝ya2n=誥是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么?求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間（0,1）內(nèi).&9n 9n+ 2解設(shè)f(n) =9128(1)令n=10,得第 10 項(xiàng)a10=f(10) = 31.C. 數(shù)列n+ 1n【勺第k項(xiàng)為 1 +kD. 數(shù)列 0,2,4,6,8，可記為2n在數(shù)列 1,1,2,3,5,8x,21,34,55 中，x等于()【導(dǎo)學(xué)號：91432115】A.11B. 12C. 13D. 14觀察可知該數(shù)列從第3 項(xiàng)開始每一項(xiàng)都等于它前面相鄰兩項(xiàng)的和，故x= 5+ 8= 13.已知數(shù)列 2,10, 4,，.？on1，貝 U 8 是該數(shù)列的第項(xiàng).11令，？Sn1 = 8