五年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)專題系列-植樹問題年齡問題盈虧問題滬教版(含答案)

1、課前熱身：植樹問題：植樹問題的三要素：（1 1）總路線長(zhǎng)（2 2）間距（棵距）長(zhǎng)（3 3）棵數(shù)；只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè).備注：植樹問題所考察的內(nèi)容通常以均勻植樹為前提條件。（一）直線型植樹問題1若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.1.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù) 二段數(shù) 全長(zhǎng)株距 V全長(zhǎng)二株距（棵數(shù)-1-1）株距二全長(zhǎng)亠（棵數(shù)-1-1）2若題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時(shí)的棵數(shù)少 數(shù)相等 全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：全長(zhǎng) 二株距 棵數(shù)；棵數(shù)=段數(shù)二全長(zhǎng)株距；株距=全長(zhǎng)棵數(shù). .3若植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比中還

2、少1 1 棵. .全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù) 二段數(shù)-1二全長(zhǎng)，株距-1.株距二全長(zhǎng)亠（棵數(shù)1）. .全長(zhǎng)二株距（棵數(shù)+1+1）年齡問題:課程主題:植樹問題+ +年齡問題+ +盈虧問題1 1,即棵數(shù)與段算有關(guān)年齡一類的問題叫做年齡問題，它一般以和差、和倍以及差倍應(yīng)用題的形式出現(xiàn)。年齡變化基本規(guī)律：1兩人年齡差不變2兩人年齡倍數(shù)關(guān)系不是一成不變的，它會(huì)隨時(shí)間改變3隨著時(shí)間推移，兩人年齡的增加量相等注意：上面的規(guī)律適用于兩個(gè)人之間的年齡關(guān)系，但若涉及到一人年齡與另幾人年齡和之間的 關(guān)系則另當(dāng)別論。計(jì)算年齡問題的基本方法：幾年后的年齡 二大小年齡差“倍數(shù)差小年齡幾年前的年齡=小年齡-大小年

3、齡差亠倍數(shù)差盈虧問題：盈虧問題的特點(diǎn)是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況分配不足時(shí)，稱之為 虧”，分配有余稱之為 盈”；還有些實(shí)際問題，是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人 時(shí)，如果每人少分，則物品就有余（也就是盈），如果每人多分，則物品就不足（也就是虧），凡 研究這一類算法的應(yīng)用題叫做盈虧問題”.可以得出盈虧問題的基本關(guān)系式：（盈虧Y兩次分得之差二人數(shù)或單位數(shù)（盈-盈Y兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)（虧-虧Y兩次分得之差二人數(shù)或單位數(shù)物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出 也有的問題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種情況，都是屬于按兩個(gè)數(shù)的差求未知數(shù)的 盈虧問題”. .注意：1.1.條件轉(zhuǎn)換；2.

4、2.關(guān)系互換. .知識(shí)精講:直線型植樹問題1.（2007年第五屆 走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國(guó)青年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽）填空：貝貝要去外婆家，他家門口有一根路燈桿，從這根桿開始，它邊走邊數(shù)，每50步有一根路燈桿，數(shù)到第十根的時(shí)候剛好到外婆家，他一共走了步。【分析】直線型兩端都植樹， 段數(shù)”10-仁9，（10一1） 50=450（步）。2.（2008年第八屆 春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽）填空：在一條路的兩旁從頭到尾每隔10米裝一盞路燈，已知一共裝了120盞路燈，這條路有米。【分析】?jī)啥酥矘涞那闆r，路的一側(cè)裝路燈120亠2=60（盞），則路長(zhǎng)為（60一1） 10=590（米）。3.（200

5、7年第五屆 走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國(guó)青年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽）填空：貝貝要去外婆家，他家門口有一根路燈桿，從這根桿開始，它邊走邊數(shù)，每50步有一根路燈桿，數(shù)到第十根的時(shí)候剛好到外婆家，他一共走了_步?！痉治觥恐本€型兩端都植樹， 段數(shù)”10-仁9，（10-1） 50=450（步）。4.（2008年第八屆 春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽）填空：在一條路的兩旁從頭到尾每隔10米裝一盞路燈，已知一共裝了120盞路燈，這條路有米?！痉治觥?jī)啥酥矘涞那闆r，路的一側(cè)裝路燈120亠2=60（盞），則路長(zhǎng)為（60 -1） 10 =590（米）。直線型植樹問題的應(yīng)用1.晶晶上樓，從第一層走到第三層需要走3

6、636 級(jí)臺(tái)階.如果從第一層走到第六層需要走多少級(jí)臺(tái)階？（？（各層樓之間的臺(tái)階數(shù)相同）【分析】題意的實(shí)質(zhì)反映的是一線段上的點(diǎn)數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系.線段示意圖如下：1每相鄰兩層樓之間有多少級(jí)臺(tái)階？36 （3 -1） =18（級(jí)）2從第一層走到第六層共多少級(jí)臺(tái)階？18 （6 -1） =90（級(jí)）2.在一根長(zhǎng)100厘米的木棍上，從左向右每隔6厘米點(diǎn)一個(gè)紅點(diǎn)，從右向左每隔5厘米點(diǎn)一個(gè)紅 點(diǎn)，在兩個(gè)紅點(diǎn)之間長(zhǎng)為4厘米的間距有幾段？【分析】法一：根據(jù)題意可知從右向左每隔5厘米點(diǎn)一個(gè)紅點(diǎn)與從左向右每隔5厘米點(diǎn)一個(gè)紅 點(diǎn)點(diǎn)出來的紅點(diǎn)的位置是一樣的。那么從左向右看，每隔6厘米點(diǎn)出來的紅點(diǎn)比每隔5厘米點(diǎn)出來的紅點(diǎn)

7、間的距離從1厘米依次增加到5厘米，此時(shí)間隔為5厘米點(diǎn)出來的 紅點(diǎn)的第6個(gè)點(diǎn)與間隔為6厘米點(diǎn)出來的紅點(diǎn)的第5個(gè)點(diǎn)重合，之后以間隔為5厘米點(diǎn) 出來的紅點(diǎn)為基礎(chǔ)每6個(gè)點(diǎn)為一個(gè)周期重復(fù)上面的變化規(guī)律。其中每一個(gè)周期中的間 隔為5厘米點(diǎn)出來的紅點(diǎn)的第3個(gè)點(diǎn)與間隔為6厘米點(diǎn)出來的紅點(diǎn)的第2個(gè)點(diǎn)間距為4厘米，間隔為5厘米點(diǎn)出來的紅點(diǎn)的第5個(gè)點(diǎn)與間隔為6厘米點(diǎn)出來的紅點(diǎn)的第5個(gè)點(diǎn) 間距為4厘米，100亠5“6=3川2（個(gè)） ，100-6 =16川4（厘米），由此可知兩個(gè)紅點(diǎn)間 距為4厘米的有3 21=7（段）。法二：05 6101215I鼻2024 2530| |_| |_ | |_I II I_| |_ I

8、 II I_| |_| |_| |4 4厘來451451米由于 100100 是 5 5 的倍數(shù)，所以自右向左每隔 5 5 厘米染一個(gè)紅點(diǎn)相當(dāng)于自左向右每隔 5 5 厘 米染一個(gè)紅點(diǎn).而每隔 3030 厘米可得到 2 2 個(gè) 4 4 厘米的短木棍.最后100-30 3 = 10（厘 米）也可以得一個(gè)短木棍，故共有2 3*1=7（根）4 4 厘米的短棍.3.裁縫有一段 1616 米長(zhǎng)的呢子，每天剪去 2 2 米，第幾天剪去最后一段？【分析】如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2個(gè)2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4米，第二天就可以剪去最后

9、一段，6米里有3個(gè)2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這 樣第三天即可剪去最后一段，8米里有4個(gè)2米，用3天，我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個(gè)數(shù)少1.因此，只要看16米里有幾個(gè)2米，問題就可以解決了.16米中包含2米的個(gè)數(shù)：16亠2=8（個(gè)）剪去最后一段所用的天數(shù)：8-1=7（天），所以裁縫第7天剪去最后一段.4.有一根 180180 厘米長(zhǎng)的繩子，從一端開始每 3 3 厘米作一記號(hào)，每 4 4 厘米也作一記號(hào)，然后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？【分析】每 3 3 厘米作一記號(hào)，共有記號(hào)：180“3-1=59（個(gè)） 每 4

10、 4 厘米作一記號(hào)，共有記號(hào)：1804 -1 =44（個(gè)）5.甲、 乙倆人對(duì)一根 3 3 米長(zhǎng)的木棍涂色，首先甲從木棍端點(diǎn)開始涂黑 5 5 厘米，間隔 5 5 厘米不涂 色，接著再涂黑 5 5 厘米，這樣交替做到底.然后，乙從木棍同一端點(diǎn)開始留出6 6 厘米不涂色，接著涂黑 6 6 厘米，再間隔 6 6 厘米不涂色，交替做到底.最后，木棍上沒有被涂黑部分 的長(zhǎng)度總和為 厘米.05615 18253036 4048 5060【分析】考慮60cm長(zhǎng)的一段木棍中，沒有被涂黑的部分長(zhǎng)度總和為1 3 5 4 15（cm）（如上圖），所以 3 3 米長(zhǎng)的木棍中共有15（300斗60）= 7（cm）長(zhǎng)未被涂

11、黑.6.有一路電車的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔5 5 分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)開往乙站，全程要 1515 分鐘.有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站，他出發(fā)的時(shí)候，恰好 有一輛電車到達(dá)乙站，在路上，他又遇到了1010 輛迎面開來的電車才到達(dá)甲站，這時(shí)候，恰好又有一輛車從甲站開出，問：他從乙站到甲站用了多少分鐘？【解析】這個(gè)人前后一共看見了 1212 輛電車， 每?jī)奢v車的間隔是 5 5 分鐘， 開出 1212 輛電車共有12-1=11（個(gè)）間隔， 這樣可以計(jì)算出從第 1 1 輛電車開出到第 1212 輛電車開出所用的時(shí) 間， 共經(jīng)了5 11=55（分鐘），由于他出發(fā)的時(shí)候，第 1

12、1 輛電車巳到達(dá)乙站，所以這 個(gè)人從乙站到甲站用了55-15=40（分鐘）.其中重復(fù)的共有:所以記號(hào)共有：繩子共被剪成了:180“12_1=14（個(gè)）59 44封閉型植樹問題1.一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成.已知從每個(gè)小三角形的頂 點(diǎn)開始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有 9 9 棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽 多少棵花？（9 9- 2 2） 33 = 2121 （棵），整個(gè)花壇共栽花：4848 + 2121 = 6969 （棵）. .2.正方形操場(chǎng)四周栽了一圈樹，四個(gè)角上都栽了樹，每?jī)煽脴湎喔? 5 米甲、乙從一個(gè)角上同時(shí)出發(fā)，向不同的方向走去，甲的速度是乙

13、的 2 2 倍，乙在拐了一個(gè)彎之后的第 5 5 棵樹與甲相 遇（把角上的樹看作第一棵樹），操場(chǎng)四周栽了多少棵樹？【分析】因?yàn)榧椎乃俣仁且业膬杀叮易吡瞬賵?chǎng)的一條邊，甲走了兩條邊，乙拐了一個(gè)彎之后 走到第 5 5 棵樹，實(shí)際走了 4 4 個(gè)間隔，那么甲應(yīng)該走了 8 8 個(gè)間隔，相遇的樹就是甲拐彎 以后走的第 9 9 棵樹，所以這一邊有 9+49+4=1313 （棵）樹. .操場(chǎng)周圍的樹一共有（13-113-1） =48（棵）. .3.2020 名運(yùn)動(dòng)員，騎摩托車圍繞體育場(chǎng)的環(huán)形跑道頭尾相接作表演，每輛車長(zhǎng)2 2 米，前后兩輛車相距 1818 米，這列車隊(duì)長(zhǎng)多少米？如果每輛車的車速為每秒1212

14、米，這個(gè)車隊(duì)經(jīng)過長(zhǎng)為 3838 米的主席臺(tái)需要多長(zhǎng)時(shí)間？【分析】2020 名運(yùn)動(dòng)員共有 2020 輛摩托車，那么他們之間一共有 1919 個(gè)間隔，這個(gè)車隊(duì)的長(zhǎng)由 2020 輛車長(zhǎng)加上 1919 個(gè)間隔組成.2020 輛車的長(zhǎng)度是：207 =40（米） .1919 個(gè)間隔的總長(zhǎng)度為：19 18 =342（米） .所以這個(gè)車隊(duì)的長(zhǎng)度為：40*342=382（米）（）（當(dāng)然這一問也可以這樣考 慮：把一輛車跟一個(gè)間隔看成一個(gè)整體，那么這個(gè)車隊(duì)長(zhǎng)：19 20*2 =382（米）.第二問是一個(gè)行程問題，穿過主席臺(tái)實(shí)際上走的路程是主席臺(tái)長(zhǎng)加上車隊(duì)的長(zhǎng)度，所以車 隊(duì)走的總路程為382 *38 =420（米）

15、， 又因?yàn)檐囮?duì)的速度為每秒 1212 米， 所以用的時(shí)間為4202 =35（秒） .和差與倍數(shù)型年齡問題1.今年兒子12歲，母親的年齡是兒子的3倍，去年父親的年齡是兒子的4倍，問父親比母親大 多少歲？【分析】此題屬于簡(jiǎn)單的倍數(shù)問題。應(yīng)用年齡變化基本規(guī)律可知今年父親的年齡為（12-1） 4 V =45（歲），母親的年齡為12 3 =36（歲），那么父親比母親大45-36 = 9（歲）【分析】大三角形三條邊上共栽花：（ 邊上栽花：,中間畫斜線小三角形三條2.母親像女兒現(xiàn)在這么大時(shí)，女兒2歲，當(dāng)女兒長(zhǎng)到母親現(xiàn)在這么大時(shí)，母親將是59歲，現(xiàn)在母女兩人各多少歲？【分析】此題屬于簡(jiǎn)單倍數(shù)類型的年齡問題。根

16、據(jù)題意可知母女年齡的差等于女兒現(xiàn)在的年齡 與2歲的差，也等于母親現(xiàn)在的年齡與女兒現(xiàn)在年齡的差，還等于59歲與母親現(xiàn)在年齡的差，母女二人的年齡差為（59一2）-：-3=19（歲），那么女兒現(xiàn)在的年齡為19 2 = 21（歲），母親現(xiàn)在的年齡為21 19=40（歲）。和倍型年齡問題1.（2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）爺爺告訴小明：“當(dāng)我在你爸爸現(xiàn)在這個(gè)年齡時(shí)，你爸爸當(dāng)時(shí)的年齡比你現(xiàn)在的年齡大了3歲?！比绻麪敔敗职趾托∶魅爽F(xiàn)在的年齡和是99歲，則爸爸現(xiàn)在的年齡是 _ 歲?！痉治觥看祟}屬于和倍類型的年齡問題。根據(jù)題意可知爺爺和爸爸的年齡差比爸爸和小明的年 齡差小3歲，所以爺爺與小明的

17、年齡和比爸爸年齡的2倍小3歲，那么可知爸爸的年齡為（99 3）-：（2 1）=34（歲）。2.趙、田、錢、李、吳五位老師，趙老師比田老師大4歲，錢老師比趙老師大3歲，李老師比趙老師小3歲，吳老師比錢老師小2歲，這五位老師的年齡加在一起是122歲，問：這五位 老師各是多少歲？【分析】此題屬于和倍類型的年齡問題。根據(jù)題意可知：田老師比趙老師小4歲，吳老師比趙老師大1歲，那么趙老師的年齡（一倍數(shù)）為（122 *41一3 3 （1 1 1 1 125（歲），那么田老師的年齡為25-4=21（歲），錢老師的年齡為25*3=28（歲），李 老師的年齡為25-3 =22（歲），吳老師的年齡為25 26（歲）

18、。差倍型年齡問題1.今年小剛的年齡是明明年齡的5倍，25年后，小剛的年齡比明明的年齡的2倍少16歲，今 年小剛和明明各多少歲？【分析】此題屬于差倍類型的年齡問題。今年小剛與明明的年齡差為今年明明年齡的4倍，25年后，小剛與明明的年齡差為25年后明明的年齡減去16歲，而年齡差不變，那么可以求知今年明明的年齡為（25一佝“（4_1）=：3（歲），小剛的年齡為3 5=15（歲）2.今年祖父的年齡是明明年齡的6倍，幾年后祖父的年齡將是明明年齡的5倍，再過幾年后祖 父的年齡將是明明的年齡的4倍，那么祖父今年多少歲？【分析】根據(jù)年齡問題的基本規(guī)律可以確定祖父和明明的年齡差不變，當(dāng)祖父的年齡是明明的 年齡的

19、6倍的時(shí)候，祖父與明明年齡的差是當(dāng)時(shí)明明年齡的61=5（倍），一定是5的倍數(shù)，那么以此類推，祖父與明明的年齡差一定也是4和3的倍數(shù)，那么同時(shí)滿足這三個(gè)條件的數(shù)從小到大排列有60、120、180，合理的選擇是60。那么此題就轉(zhuǎn) 化為差倍問題，明明今年的年齡（一倍數(shù)）為60（61）=12（歲），那么祖父今年的 年齡為12 - 60 =72（歲）。3.今年王大爺70歲，小張18歲，小王16歲，小明6歲，幾年后三人的年齡和與王大爺?shù)哪挲g 相等？【分析】王大爺?shù)哪挲g與三人的年齡和的差為70-18 -16 -6 =30（歲），之后三人增加的歲數(shù) 的和是王大爺增加的歲數(shù)的3倍，當(dāng)三人增加的歲數(shù)的和比王大爺增

20、加的歲數(shù)多出30歲的時(shí)候，三人的年齡和就與王大爺?shù)哪挲g相等，此題轉(zhuǎn)化為差倍問題。王大爺增加 的歲數(shù)（一倍數(shù)）為3-（3-1）=15（歲），也就是說15年后三人的年齡和與王大爺?shù)?年齡相等?；旌闲湍挲g問題1.（2008年第七屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽三年級(jí)決賽）填空：11年前父親的年齡是兒子年齡的7倍，14年后父親的年齡是兒子年齡的2倍，今年父親歲，兒子 歲。法1：按差倍類型的年齡問題求解。根據(jù)題意可知父子的年齡差為11年前兒子年齡的6倍，還等于14年后兒子的年齡， 由此可知14年后兒子的年齡剛好等于11年前兒子 年齡的6倍，由此可知11年前兒子的年齡（一倍數(shù)）為（1j14）“（6-1）=5（歲），

21、那 么兒子今年5 11=16（歲），父親今年5 711=46（歲）。法2:按簡(jiǎn)單倍數(shù)類型的年齡問題求解。父親的年齡由兒子年齡的7倍變到2倍，一 共經(jīng)過了11*14=25（年），那么11年前兒子的年齡為（25 2 -25）亠（7-2）5（歲），那么兒子今年5 11 =16（歲），父親今年5 7*11=46（歲）。2.10年前父親的年齡是兒子年齡的7倍，15年后父親的年齡是兒子的2倍，問今年父子二人 各多少歲？【分析】法1：按簡(jiǎn)單倍數(shù)類型的年齡問題求解：父親的年齡由兒子年齡的7倍變到2倍，一共經(jīng)過了10 15=25（年），那么10年前兒子的年齡為（25 2 _25）-：-（7 _2） =5（歲），

22、那 么兒子今年5 10 =15（歲），父親今年5 7 -10=45（歲）。法2:按差倍類型的年齡問題求解。由題意可知15年后父親與兒子的年齡差剛好等于15年后兒子的年齡，而10年前父親與兒子年齡的差等于10年前兒子年齡的6倍， 根據(jù)年齡差不變的規(guī)律，15年后兒子的年齡等于10年前兒子年齡的6倍，那么10年 前兒子的年齡（一倍數(shù)）為25“（6一1）=5（歲），那么今年兒子的年齡為5 115（歲），父親的年齡為5 7 145（歲）。3.甲、乙兩人共63歲，當(dāng)甲是乙現(xiàn)在年齡的一半時(shí)，乙當(dāng)時(shí)的年齡是甲現(xiàn)在的歲數(shù)，那么甲和 乙現(xiàn)在各多少歲？【分析】根據(jù)題意畫線段圖如下：A A -E E1 1B B 乙現(xiàn)

23、在年齡*IC CD D 甲現(xiàn)在年齡F當(dāng)甲是乙的年齡一由題意可知：AB=2CF，EB二FD，AE二CD，而AB二AE EB =CD FD =（CF FD） FD =CF 2FD。因?yàn)锳B =2CF，所以CF =2FD，那么AB =4FD，CD =CF FD =3FD，又因?yàn)锳B CD =63，所以FD =63“ 7 =9, ,那么可知AB =9 4=36，CD =9 3 =27。也就是說甲現(xiàn)在27歲，乙現(xiàn)在36歲。利用盈虧公式直接計(jì)算【例1】三年級(jí)一班少先隊(duì)員參加學(xué)校搬磚勞動(dòng)如果每人搬 4 4 塊磚，還剩 7 7 塊；如果每人搬【答案】有4人買蛋糕，蛋糕價(jià)錢為24元5 5 塊，則少 2 2 塊磚

24、這個(gè)班少先隊(duì)有幾個(gè)人？要搬的磚共有多少塊？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】1 1 星 【題型】解答比較兩種搬磚法中各個(gè)量之間的關(guān)系：每人搬 4 4 塊，還剩 7 7 塊磚；每人搬 5 5 塊，就少 2 2 塊.這 兩次搬磚，每人相差54=1（塊）.【例2】王老師去琴行買兒童小提琴，若買 7 7 把，則所帶的錢差 110110 元；若買 5 5 把，則所帶的 錢還多3030 元，問兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】1 1 星 【題型】解答【解析】本題購物的兩個(gè)方案，第一個(gè)方案：買 7 7 把差 110110 元，第二個(gè)方案：買 5 5 把還多 3030 元，從買 7 7

25、 把變成買 5 5 把，少買了7一5=：2（把），而錢的差額為：110 30=140（元），即 140140 元可以買 2 2 把小提琴，可見小提琴的單價(jià)是每把 7070 元，王老師一共帶 了707 -110 =380（元）. .【答案】小提琴單價(jià)70元，共帶380元【例3】豬媽媽帶著孩子去野餐，如果每張餐布周圍坐4 4 只小豬就有 6 6 只小豬沒地方坐，如果每張餐布周圍多坐一只小豬就會(huì)余出 4 4 個(gè)空位子，問：一共有多少只小豬，豬媽媽一 共帶了多少張餐布？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】2 2 星 【題型】解答【解析】每張餐布周圍多坐一只小豬就是坐 5 5 只小豬，余出 4 4 個(gè)空位子就是少

26、4 4 只小豬，所以 原問題可以轉(zhuǎn)化為：如果每張餐布周圍坐 4 4 只小豬，則多出 6 6 只沒處坐；如果每張餐 布周圍坐 5 5只，還少 4 4 只，求有多少只小豬多少張餐布？所以餐布數(shù)是：（6+46+4） 勻=10=10 （張），有小豬：104+6=46104+6=46 （只）. .【答案】10張餐布，46只小豬【例4】明明過生日，同學(xué)們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8 8 元，就多出了 8 8 元；每人出 7 7 元，就多出了 4 4 元.那么有多少個(gè)同學(xué)去買蛋糕？這個(gè)蛋糕的價(jià)錢是多少？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】1 1 星 【題型】解答【解析】多 8 8 元”與 多 4 4 元”兩者相差8-4=

27、4（元），每個(gè)人要多出8-7=1（元），因此就知 道，共有4亠1=4（人），蛋糕價(jià)錢是8 4 -8 =24（元）.【答案】繩子長(zhǎng)54米，井深22米【例5】學(xué)而思學(xué)校新買來一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)1010 本，還差 9 9 本，每人發(fā) 9 9 本，還差 2 2 本，請(qǐng)問有多少老師？多少本書？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】1 1 星 【題型】解答【解析】差 9 9 本”和 差 2 2 本”兩者相差92=7（本），每個(gè)人要多發(fā)109=1（本），因此就知 道，共有老師7-1=7（人），書有7 10一9=61（本）.【答案】老師7人，書有61本利用條件關(guān)系轉(zhuǎn)換解盈虧問題一一轉(zhuǎn)化分配條件【例6】三

28、個(gè)農(nóng)民伯伯合租了一個(gè)長(zhǎng)方形菜園，如果把寬改成3030 米，長(zhǎng)不變，那么它的面積減少 500500 平方米，如果使寬為 5252 米，長(zhǎng)不變，那么它的面積比原來增加600600 平方米，原來的長(zhǎng)是_ ，面積是_ 方米，如果每平方米菜地平均收入 1818 元，則每人可分得_ .【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】3 3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】20092009 年，學(xué)而思杯,3,3 年級(jí)第 6 6 題【解析】根據(jù)題意知，寬52米的菜園比寬30米的菜園應(yīng)該大600 500平方米。那么長(zhǎng)應(yīng)該是600 50052 -30訐1100-22=50米，面積是50 52-600=2000平方米，每人可以分得2000 18

29、3 =12000元【答案】原來的長(zhǎng)是50米，面積是2000平方米，每個(gè)人分12000元?！纠?】用一根長(zhǎng)繩測(cè)量井的深度，如果繩子兩折時(shí)，多5 5 米；如果繩子 3 3 折時(shí)，差 4 4 米求繩子長(zhǎng)度和井深【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】3 3 星 【題型】解答【解析】條件轉(zhuǎn)化：兩折多5 2=10米三折少4 3=12米井的深度為：10 *12 “ 3-2 =22（米）；繩子長(zhǎng)度為：22 5 2=54（米）【答案】120張【例8】國(guó)慶節(jié)快到了，學(xué)而思學(xué)校的少先隊(duì)員去擺花盆如果每人擺5 5 盆花，還有 3 3 盆沒人擺；如果其中 2 2 人各擺 4 4 盆，其余的人各擺 6 6 盆，這些花盆正好擺完問有多少

30、少先 隊(duì)員參加擺花盆活動(dòng)，一共擺多少花盆？【考點(diǎn)】盈虧問題 【難度】3 3 星 【題型】解答【解析】這是一道有難度的盈虧問題，主要難在對(duì)第二個(gè)已知條件的理解上：如果其中2 2 人各擺 4 4 盆，其余的人各擺 6 6 盆，這些花盆正好擺完，這組條件中包含著兩種擺花盆的情 況一一2 2 人各擺 4 4 盆，其余的人各擺 6 6 盆如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都擺 6 6 盆，那么，就可以多擺（6一4）2=4（盆）因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各擺 5 5 盆 花，還有 3 3 盆沒人擺；如果每人擺 6 6 盆花，還缺 4 4 盆問有多少少先隊(duì)員，一共擺多 少花盆？人數(shù)：3（6一4）2（6

31、-5）7（人），盆數(shù)：5 7 3 =38（盆）或6 7 -4 =38（盆）【答案】7個(gè)同學(xué)參加活動(dòng)，共擺38盆花【例9】幸福小學(xué)少先隊(duì)的同學(xué)到會(huì)議室開會(huì)，若每條長(zhǎng)椅上坐3 3 人則多出 7 7 人，若每條長(zhǎng)椅上多坐 4 4 人則多出 3 3 條長(zhǎng)椅問：到會(huì)議室開會(huì)的少先隊(duì)員有多少人？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】3 3 星 【題型】解答【解析】第二個(gè)條件可轉(zhuǎn)化為： 每條長(zhǎng)椅上坐 7 7 個(gè)人，則少 2121 個(gè)人” 多 7 7 人”與 少 2121 人”兩 者相差7 228（人），每條長(zhǎng)椅要多坐7-3=4（人），因此就知道，共有28“4 = 7（條）長(zhǎng) 椅，人數(shù)是7 3 *7=28（人）.【答案】2

32、8人【例10】甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用2 2 張信紙，乙每封信用 3 3 張信紙，一段時(shí)間后，甲用完了所有的信封還剩下2020 張信紙，乙用完所有信紙還剩下 1010 個(gè)信封，則他們每人各買了多少張信紙？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】3 3 星 【題型】解答【解析】由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺 3030 張信紙.這是盈虧問題，盈虧總額為（2020 + 3030）張信紙，兩次分配的差為（3 3- 2 2）張信紙，所以有信封（2020+ 3030）千 3 3 2 2） = 5050（個(gè)），有信紙 250250+ 2020= 120120（張）.課后作業(yè):1.1.

33、 （第六屆希望杯四年級(jí) 2 2 試）有一座高樓，小紅每上登一層需1.51.5 分鐘，每下走一層需半分鐘，她從上午 8 8： 4545 開始不停地從底層往上走，到了最高層后又立即往下走，中途也不停留，上午 9 9： 1717 第一次返回底層。則這座樓共有 _。【分析】由題意，小紅從開始走到返回底層所用時(shí)間為15*17=32（分鐘），上、下一層需要：1.5+0.5=2（分鐘），所以樓梯數(shù)為32寧2=16（個(gè)），這座樓層數(shù)為：16 + 1 = 17（層） 。2.2. （第五屆希望杯五年級(jí) 2 2 試）在一個(gè)長(zhǎng) 345345 米、寬 240240 米的長(zhǎng)方形草坪四周等距離地栽一些松樹，要求四個(gè)頂點(diǎn)和每

34、邊中點(diǎn)都正好栽一棵松樹，則最少要買松樹苗棵。【分析】先找出兩邊中點(diǎn)數(shù) 120120、172.5172.5 的最大公約數(shù)為 7.57.5 草坪周長(zhǎng)為：（345+240345+240）勻.5=156.5=156 （棵）3.3. （ 20102010 年迎春杯三年級(jí)初賽）甲、乙、丙三人鋸?fù)瑯哟旨?xì)的木棍，分別領(lǐng)取8 8 米,10,10 米,6,6 米長(zhǎng)的木棍，要求都按 2 2 米的規(guī)格鋸開勞動(dòng)結(jié)束后，甲，乙，丙分別鋸了 24,24, 25,25, 2727 段，那么 鋸木棍速度最快的比速度最慢的多鋸次.【分析】甲每鋸一根出8-：-2=4（段）需要鋸4-1=3（次）甲鋸 2424 段需要鋸24“4 3=

35、18（次） 乙每鋸一根出102=5（段）需要鋸5-1=4（次）乙鋸 2525 段需要鋸25, 5 4=20（次） 丙每鋸一根出6亠2=3（段）需要鋸3-1=2（次）丙鋸 2727 段需要鋸27亠3 2=18（次） 鋸的速度快的甲和丙比鋸的慢的乙多鋸2次4.4. （2008年第八屆 春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽）填空：在一條路的兩旁從頭到尾每隔10米裝一盞路燈，已知一共裝了120盞路燈，這條路有米?！痉治觥?jī)啥酥矘涞那闆r，路的一側(cè)裝路燈120亠2 =60（盞），則路長(zhǎng)為（60 -1） 10 =590（米）。5 5北京市國(guó)慶節(jié)參加游行的總?cè)藬?shù)有 6000060000 人，這些人平均分為 2525 隊(duì)

36、，每隊(duì)又以 1212 人為一排 列隊(duì)前進(jìn).排與排之間的距離為 1 1 米，隊(duì)與隊(duì)之間的距離是 4 4 米，游行隊(duì)伍全長(zhǎng)多少米？【分析】這道題仍是植樹問題的逆解題，它與植樹問題中已知樹的棵數(shù)，樹間的距離，求樹列 的全長(zhǎng)相當(dāng)逆解時(shí)要注意段數(shù)比樹的棵數(shù)少 1 1 所以，（每隊(duì)的人數(shù)是：每隊(duì)可以分成的排數(shù)是： 200排的全長(zhǎng)米數(shù)是： 25個(gè)隊(duì)的全長(zhǎng)米數(shù)是： 25個(gè)隊(duì)之間的距離總米數(shù)是:1 1、父親與兒子的年齡和是66歲，父親的年齡比兒子的年齡的3倍少10趴 那么多少年前父親的 年齡是兒子的5倍？【分析】此題屬于和倍、差倍混合類型的年齡問題?，F(xiàn)在兒子的年齡（和倍中的一倍數(shù)）為（66 10）（3 *1）=

37、19（歲），父親的年齡為66-19=47（歲），幾年前兒子的年齡（差 倍中的一倍數(shù)）為（47一19） “（5一1） =7（歲），那么年數(shù)為19-7=12（年）2 2、1993年甲乙丙丁四個(gè)人的年齡分別為20歲，18歲，12歲，8歲，那么哪一年甲乙年齡的和 的2倍等于丙丁年齡和的3倍？【分析】1993年甲乙年齡和為20 78=38（歲），丙丁年齡和為12*8 = 20（歲），此時(shí)甲乙年 齡的和的2倍與丙丁年齡和的3倍之間相差38x2-203 = 16（歲），若要兩者相等，那 么甲乙年齡和的2倍需比丙丁年齡和的3倍少增加16歲，每年甲乙年齡和的2倍需比丙 丁年齡和的3倍少增加的歲數(shù)為1 3-1 2

38、=1（歲） ， 那么要達(dá)到少增加16歲這一目 標(biāo)， 需經(jīng)過16 =16（年） ，由于每個(gè)組合都有2個(gè)人，那么實(shí)際需要的時(shí)間為16 “2 =8（年），那么題中所求年限為1993*8 =2001（年）。3 3、爸爸和女兒兩人歲數(shù)加起來是91歲，當(dāng)爸爸歲數(shù)是女兒現(xiàn)在歲數(shù)2倍的時(shí)候，爸爸現(xiàn)在的歲 數(shù)是女兒當(dāng)時(shí)歲數(shù)的3倍，那么爸爸和女兒現(xiàn)在年齡各是多少歲？【分析】根據(jù)題意畫線段圖如下：A A -EBB 爸爸現(xiàn)在歲IC C-D D 女兒現(xiàn)在歲爸爸歲數(shù)是女兒現(xiàn)在歲數(shù)二根據(jù)題意可知：AE = 2CD,EB二FD, ,AB = 3CF60000亠25 =2400（人）2400X2=200（排）1 （200 _1

39、） =199（米）199 25=4975（米）4 （25_1）=96（米）游行隊(duì)伍的全長(zhǎng)是:4975 96=5071（米）而AB =AE EB =2（CF FD） FD =2CF 3FD因?yàn)锳B =3CF，所以CF =3FD那么CD =CF FD =3FD FD =4FD,AB =3CF =9FD又因?yàn)锳B CD =91，所以FD =91 “ （4 9） =7那么可知AB=7 9 =63,CD =91 -63=28。也就是說爸爸現(xiàn)在63歲，女兒28歲。4 4、有兄弟三人，他們的年齡之和為48歲，5年前老大的年齡是老三年齡的3倍，老大比老二大2歲，你知道這兄弟三人今年各多少歲嗎？【分析】根據(jù)題意

40、可知：5年前三人的年齡和為48 -5 3 = 33（歲），那么5年前老三的年齡 （一倍數(shù)）為（33 2-（3 3 15（歲），由此可知今年老三的年齡為5,5=10（歲），老大的年齡為5 3*5=20（歲），老二的年齡為20-2=18（歲）。5 5、奶奶今年64歲，孫女今年13歲，多少年后奶奶的年齡等于孫女年齡的4倍？【分析】此題屬于差倍類型的年齡問題。奶奶的年齡等于孫女年齡的4倍時(shí)，孫女的年齡為（64 -13）-：-（4 -1） =17（歲），那么需要的年限為17-13=4（年）。1 1 學(xué)校為新生分配宿舍每個(gè)房間住 3 3 人，則多出 2323 人；每個(gè)房間住 5 5 人，貝U空出 3 3

41、個(gè)房 間問宿舍有多少間？新生有多少人？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】3 3 星 【題型】解答【解析】每個(gè)房間住 3 3 人，則多出 2323 人，每個(gè)房間住 5 5 人，就空出 3 3 個(gè)房間，這 3 3 個(gè)房間如果 住滿人應(yīng)該是5 3=15（人） ， 由此可見， 每一個(gè)房間增加5-3=2（人） .兩次安排人數(shù)總 共相差23*15=38（人），因此，房間總數(shù)是：3838 吃=1919（間），學(xué)生總數(shù)是：3 19*23 = 80（人），或者5 19 -53 =80（人）.【答案】宿舍19間，新生80人2 2、過年了，小剛想將自己的光盤整理一下。若每盒 5 5 片，則有一盒少了 1 1 片；若每盒 6 6 片, 則恰好少用一個(gè)盒子。小剛的光盤一共有 _ 片?！究键c(diǎn)】盈虧問題【難度】3 3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】20052005 年，第 3 3 屆，希望杯，4 4 年級(jí)，1 1 試【解析】盈虧問題，共有盒子（6-16-1） （6-56-5）=5