第十五講 習題課(力學2)

1、1大學物理大學物理習題課習題課 剛體剛體&流體（流體（5-6章）章） 周可雅2015.4.9（二）流體力學1. 流體的描述：流體的描述：0fdxdydzpdxdydz2. 靜止流體的平衡方程靜止流體的平衡方程: 密度，壓強密度，壓強, , 流元，流線，流量，表面流元，流線，流量，表面張力，流速，粘滯系數(shù)（粘度）張力，流速，粘滯系數(shù)（粘度）體積力，面積力，帕斯卡定律體積力，面積力，帕斯卡定律BABAppg zz3. 表面張力：表面張力：, Fl 為張力系數(shù)4. 理想流體理想流體 (不可壓縮、無粘性不可壓縮、無粘性)(1) 連續(xù)性方程連續(xù)性方程(2) 伯努利方程伯努利方程ddSVsVvt常

2、量221vghpdS同一流管：常量（二）流體力學4. 粘性流體粘性流體(1) 粘粘性流體的伯努利方程性流體的伯努利方程(2) 泊肅葉定律（圓管道的體積流量）泊肅葉定律（圓管道的體積流量）(3) 湍流和雷諾數(shù)湍流和雷諾數(shù)(4) 斯托克斯公式斯托克斯公式221112221122pghpghwvv42108d2)(RlpprrrQRVveRvr6FrvdvFSdz一勻質(zhì)細棒長為一勻質(zhì)細棒長為2L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，以與棒長方向相垂直的速度，以與棒長方向相垂直的速度v0在光滑水平面內(nèi)平動時，與前方一固定的光滑支點在光滑水平面內(nèi)平動時，與前方一固定的光滑支點O發(fā)生完全發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞點位于棒中心

3、的一方非彈性碰撞，碰撞點位于棒中心的一方1/2L處，如圖所示。求處，如圖所示。求棒在碰撞后的瞬時繞棒在碰撞后的瞬時繞O點轉(zhuǎn)動的角速度點轉(zhuǎn)動的角速度。（細棒繞通過其端點。（細棒繞通過其端點且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為 ，式中的，式中的 分別分別為棒的質(zhì)量和長度）為棒的質(zhì)量和長度）23/1mllm和O0v0vABL21L21L碰撞前瞬時，桿對O點的角動量為LmvLvxdxvxdxvLL0202/302/00021碰撞后瞬時，桿對O點的角動量為2127mLJ碰撞前后角動量守恒，有碰撞前后角動量守恒，有LmvmL022112/7)7/(60Lv（平行軸定理）（平行軸

4、定理）例、電風扇的功率恒定為例、電風扇的功率恒定為P P，風葉轉(zhuǎn)子的總轉(zhuǎn)動慣量為，風葉轉(zhuǎn)子的總轉(zhuǎn)動慣量為J J，設(shè)風葉受到空氣的阻力矩與風葉的轉(zhuǎn)動角速度設(shè)風葉受到空氣的阻力矩與風葉的轉(zhuǎn)動角速度成正比成正比（比例系數(shù)為（比例系數(shù)為k k）。求：（）。求：（1 1）電扇通電后）電扇通電后t t秒時的角速秒時的角速度；（度；（2 2）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)速；（）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)速；（3 3）若在電扇穩(wěn)定）若在電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動后斷開電源，則風扇還能繼續(xù)轉(zhuǎn)過多少角度？轉(zhuǎn)動后斷開電源，則風扇還能繼續(xù)轉(zhuǎn)過多少角度？ 例、質(zhì)量為例、質(zhì)量為M M，半徑為，半徑為R R的轉(zhuǎn)臺，可以繞通過中心的豎直的轉(zhuǎn)臺，可以繞通過中

5、心的豎直軸無摩擦的轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為軸無摩擦的轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m m的人，站在離中心的人，站在離中心r r處（處（rRrR），開始時，人和臺處于靜止狀態(tài)，如果這個人沿著半），開始時，人和臺處于靜止狀態(tài)，如果這個人沿著半徑為徑為r r的圓周勻速走一圈，設(shè)他相對于轉(zhuǎn)臺的運動速度的圓周勻速走一圈，設(shè)他相對于轉(zhuǎn)臺的運動速度為為u u，如圖。求轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)角速度和相對地面轉(zhuǎn)過的角，如圖。求轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)角速度和相對地面轉(zhuǎn)過的角度。度。Rru例、長為例、長為l l質(zhì)量為質(zhì)量為m m1 1的勻質(zhì)細桿，可繞通過的勻質(zhì)細桿，可繞通過O O點垂直點垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動，令桿自水平位置靜止擺下，在于紙面的軸轉(zhuǎn)動，令桿自水平位置靜止擺

6、下，在鉛直位置處與質(zhì)量為鉛直位置處與質(zhì)量為m m2 2的物體發(fā)生完全非彈性碰的物體發(fā)生完全非彈性碰撞，如圖，碰后物體沿摩擦系數(shù)為撞，如圖，碰后物體沿摩擦系數(shù)為的水平面滑的水平面滑動，求此物體滑過的距離以及桿上升的角度。動，求此物體滑過的距離以及桿上升的角度。m1m29例例1 一圓柱形水桶，橫截面的直徑為一圓柱形水桶，橫截面的直徑為D=60cm，桶底，桶底有一直徑為有一直徑為d=10cm的圓孔。開始時桶內(nèi)水的深度為的圓孔。開始時桶內(nèi)水的深度為h=100cm，求：此時水從桶底孔中流出的速率，求：此時水從桶底孔中流出的速率v和流和流量量Q。DhdAB解：解：對對A、B兩點運用伯努利方程兩點運用伯努利

7、方程221122AABBpghpvv0pppBA/6dD非小孔！非小孔！0Av連續(xù)性方程：連續(xù)性方程：222BAghvv(1)22/ 4/ 4ABDdvv(2)流量：流量：2/ 2BQdv23-13.5 10 ms10例例2 如圖，用虹吸管將容器中的水吸出。如果管內(nèi)如圖，用虹吸管將容器中的水吸出。如果管內(nèi)液體做穩(wěn)定流動，液體做穩(wěn)定流動，求：求：(1) 虹吸管內(nèi)液體的虹吸管內(nèi)液體的流速流速；(2) 虹吸管最高點虹吸管最高點B的壓強的壓強；(3) B點距離液面的點距離液面的最大高度最大高度。221122DDDCCCpghpghvv0DCppp=0DvBCv = vv12Dh = h +h0Ch =

8、122 ()Cg hhvv解：解：(1) 對對D、C兩點運用伯努利方程兩點運用伯努利方程h3h2h1DABC11(2) 對對B、C兩點運用伯努利方程兩點運用伯努利方程221122BBCCCpghpghvv0123()Bppg hhh0Bp 0312()phhhg(3) 能夠發(fā)生虹吸現(xiàn)象的條件是能夠發(fā)生虹吸現(xiàn)象的條件是h3h2h1DABC(2) 虹吸管最高點虹吸管最高點B的壓強的壓強；(3) B點距離液面的點距離液面的最大高度最大高度。122 ()Cg hhvv12例例3 水從管水從管1流入，通過支管流入，通過支管2和和3流入管流入管4，管，管4的出的出口與大氣相通，整個管道系統(tǒng)在同一水平面內(nèi)。

9、已口與大氣相通，整個管道系統(tǒng)在同一水平面內(nèi)。已知各管的截面積分別是知各管的截面積分別是S1=15cm2，S2=S3=5cm2，S4=10cm2，管，管1中的體積流量為中的體積流量為600cm3/S。求：。求：(1) 各管中的流速；各管中的流速；(2) 各管中的壓強與大氣壓強之差。各管中的壓強與大氣壓強之差。v2v3v4v11234(1) Q4= Q1= 600cm3/S S2 = S3， Q2 + Q3 = Q1 Q2 = Q3 = 300cm3s-1v2 = v3 = Q2S2 = 3005 = 60cms-1v4 = Q4S4 = 60010 = 60 cms-1v1 = Q1S1 = 6

10、0015 = 40 cms-1解：解：13(2) 由伯努利方程及由伯努利方程及 24423322221121212121vpvpvpvp得得a223212441P1004 .06 .0100 .12121vvppv2v3v4v1123404pp a223222442P06 .06 .0100 .12121vvpp且且04342pppp(2) 各管中的壓強與大氣壓強之差。各管中的壓強與大氣壓強之差。已知：輕繩，v10 = v20 =0，(忽略滑輪的質(zhì)量和軸的摩擦) 問：設(shè)滑輪半徑為R，【解】把小孩看成質(zhì)點，以滑輪中心為“固定點”，且 m1= m21m2m(爬)(不爬)R對“m1+m2 + 輕繩

11、+ 滑輪”系統(tǒng)：外力：條件：12,m gm gN0 外外M所以角動量守恒設(shè)兩小孩分別以 速度上升。12, v v1mg2m gNO1v2vm1= m2時，(A) m1先到；(B) m2先到；(C) 同時到m1 m2時，(A) m1先到；(B) m2先到；(C) 同時到若m1 m2設(shè)角動量以指向紙內(nèi)為正。1111Lrmv（指向紙內(nèi)）111Lm Rv（指向紙外）222Lm Rv1/1()m Rrv11m Rv1m2m(爬)(不爬)R1mg2m gNO1r1v/r同理系統(tǒng)的角動量守恒：120LL11220m Rm Rvv1122mmvv1212 mmvv爬與不爬，兩小孩同時到達滑輪！若 ，會出現(xiàn)什么

12、情況？21mm 2v系統(tǒng)所受的合外力矩為21)0Mmm gR外（由角動量定理ddLMt外初始時小孩未動， 。00L 系統(tǒng)總角動量1 12 2()LmmRvv若有1 1220,mmvv輕的升得快；12d:0,dLmmt0L12vv12d:0,0dLmmLt若1122120,mmvvvv輕的升得快。則1m2m(爬)(不爬)R1mg2m gNO1r1v/r以向紙內(nèi)為正2v17例3.已知l、m、 M、V0問當M/m為何值時, M才能仍以V0速度穿出細桿陣列.lV0MmVc解:系統(tǒng)碰撞前后的動量,角動量，動能守恒.CmVMVMV0CJMVlMVl22021 mMCVmM)(21212mlMVlCVV12

13、20MV122MV122cmV11()2 1222ml18 例 質(zhì)量很小長度為l 的均勻細桿,可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.當細桿靜止于水平位置時, 有一只小蟲以速率 垂直落在距點O為 l/4 處, 并背離點O 向細桿的端點A 爬行.設(shè)小蟲與細桿的質(zhì)量均為m.問:欲使細桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動, 小蟲應(yīng)以多大速率向細桿端點爬行?0v一質(zhì)量為一質(zhì)量為M ，長度為，長度為 L 的均勻細桿，放在光滑的水平的均勻細桿，放在光滑的水平桌面上，可繞通過其中點桌面上，可繞通過其中點 O 的光滑固定豎直軸轉(zhuǎn)動，的光滑固定豎直軸轉(zhuǎn)動，開始時靜止。一質(zhì)量為開始時靜止。一質(zhì)量為 m 的（的（m M）子彈以速度）子彈以速度 v0 垂直擊中桿的一端，撞擊后從桿的一端打下質(zhì)量也為垂直擊中桿的一端，撞擊后從桿的一端打下質(zhì)量也為m 的一段（可視為質(zhì)點），與子彈結(jié)合在一起以的一段（可視為質(zhì)點），與子彈結(jié)合在一起以 v0/ 8 的速度沿垂直于桿的方向飛出，如圖。求的速度沿垂直于桿的方向飛出，如圖。求(1)撞擊后瞬撞擊后瞬間桿轉(zhuǎn)動的角速度間桿轉(zhuǎn)動的角速度(2)撞擊過程中