第六章定積分的應用 - 濱州學院數(shù)學與信息科學系

1、濱州學院數(shù)學與信息科學系 第六章 定義分的應用 高等數(shù)學教案第六章 定積分的應用第一節(jié) 定積分的元素法教學目的：理解和掌握用定積分去解決實際問題的思想方法即定積分的元素法.教學重點：元素法的思想.教學難點：元素法的正確運用.教學內(nèi)容：一、再論曲邊梯形面積計算設在區(qū)間上連續(xù)，且，求以曲線為曲邊，底為的曲邊梯形的面積.(1)化整為零用任意一組分點,將區(qū)間分成個小區(qū)間，其長度為,并記 .相應地，曲邊梯形被劃分成個窄曲邊梯形，第個窄曲邊梯形的面積記為.于是 .(2)以不變高代替變高，以矩形代替曲邊梯形，給出“零”的近似值.(3)積零為整，給出“整”的近似值.(4)取極限，使近似值向精確值轉(zhuǎn)化.上述做法

2、蘊含有如下兩個實質(zhì)性的問題：（1）若將分成部分區(qū)間，則相應地分成部分量，而這表明：所求量對于區(qū)間具有可加性.(2)用近似，誤差應是的高階無窮小.只有這樣，和式的極限方才是精確值.故關鍵是確定通過對求曲邊梯形面積問題的回顧、分析、提煉， 我們可以給出用定積分計算某個量的條件與步驟.二、元素法應用的條件和步驟1.條件能用定積分計算的量，應滿足下列三個條件(1)與變量的變化區(qū)間有關；(2)對于區(qū)間具有可加性；(3)部分量可近似地表示成.2計算的定積分表達式的步驟(1)根據(jù)問題，選取一個變量為積分變量，并確定它的變化區(qū)間；(2)設想將區(qū)間分成若干小區(qū)間，取其中的任一小區(qū)間，求出它所對應的部分量的近似值

3、 (為上一連續(xù)函數(shù)),則稱為量的元素，且記作.(3)以的元素作被積表達式，以為積分區(qū)間，得這個方法叫做元素法，其實質(zhì)是找出的元素的微分表達式因此，也稱此法為微元法.小結(jié)：元素法的提出、思想、步驟.第二節(jié) 平面圖形的面積 教學目的：學會用元素法計算平面圖形的面積.教學重點：直角坐標系下平面圖形的面積計算.教學難點：面積元素的選取.教學內(nèi)容：一、直角坐標的情形由曲線 及直線 與 ()與軸所圍成的曲邊梯形面積. 其中：為面積元素.由曲線與及直線，()且所圍成的圖形面積.,其中：為面積元素.例1 計算拋物線與直線所圍成的圖形面積.解 1.先畫所圍的圖形簡圖解方程 , 得交點： 和 .2.選擇積分變量并

4、定區(qū)間選取為積分變量，則.3.給出面積元素在上， ,在上， .4.列定積分表達式另解：若選取為積分變量，則 ,顯然，解法二較簡潔，這表明積分變量的選取有個合理性的問題.例2 求橢圓所圍成的面積.解 據(jù)橢圓圖形的對稱性，整個橢圓面積應為位于第一象限內(nèi)面積的4倍.取為積分變量，則 ，,故 ( * )作變量替換,則，( * * ).二、極坐標情形 設平面圖形是由曲線 及射線，所圍成的曲邊扇形.取極角為積分變量，則,在平面圖形中任意截取一典型的面積元素，它是極角變化區(qū)間為的窄曲邊扇形.的面積可近似地用半徑為， 中心角為的窄圓邊扇形的面積來代替，即,從而得到了曲邊梯形的面積元素 ,從而 .例3 計算心臟

5、線所圍成的圖形面積.解： 由于心臟線關于極軸對稱， .小結(jié): 求在直角坐標系下、極坐標系下平面圖形的面積.第三節(jié) 體積 平面曲線的弧長教學目的：掌握用定積分的元素法計算體積，掌握用定積分元素法計算平面曲線的弧長.教學重點：體積的計算，弧長元素的選取.教學難點：體積元素的選取，平面曲線弧長的計算.教學內(nèi)容一、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體，該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.計算由曲線直線，及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體的體積.取為積分變量，則，對于區(qū)間上的任一區(qū)間，它所對應的窄曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的薄片似的立體的體積近似等于以為底半徑，為高的圓柱體

6、體積.即：體積元素為,所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為.例1 求由曲線及直線，和軸所圍成的三角形繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的立體的體積.解 取為積分變量，則,.二、平行截面面積為已知的立體的體積( 截面法 )由旋轉(zhuǎn)體體積的計算過程可以發(fā)現(xiàn)：如果知道該立體上垂直于一定軸的各個截面的面積，那么這個立體的體積也可以用定積分來計算.取定軸為軸，且設該立體在過點，且垂直于軸的兩個平面之內(nèi)，以表示過點且垂直于軸的截面面積.取為積分變量，它的變化區(qū)間為.立體中相應于上任一小區(qū)間的一薄片的體積近似于底面積為，高為的扁圓柱體的體積.即：體積元素為于是，該立體的體積為.例2 計算橢圓 所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解 這個旋轉(zhuǎn)體可

7、看作是由上半個橢圓及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所生成的立體.在處，用垂直于軸的平面去截立體所得截面積為,.例3 計算擺線的一拱以及所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的立體的體積.解：.請自行計算定積分 .三、平面曲線的弧長1.直角坐標情形設函數(shù)在區(qū)間上具有一階連續(xù)的導數(shù)，計算曲線的長度.取為積分變量，則,在上任取一小區(qū)間，那么這一小區(qū)間所對應的曲線弧段的長度可以用它的弧微分來近似.于是，弧長元素為,弧長為.例1 計算曲線的弧長.解 ,.2參數(shù)方程的情形若曲線由參數(shù)方程給出，計算它的弧長時，只需要將弧微分寫成的形式，從而有.例2 計算半徑為的圓周長度.解： 圓的參數(shù)方程為,.3極坐標情形若曲線由極坐標方

8、程給出，要導出它的弧長計算公式，只需要將極坐標方程化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程下的弧長計算公式即可.曲線的參數(shù)方程為,此時變成了參數(shù)，且弧長元素為從而有.例3 計算心臟線的弧長.解： ,.小結(jié): 旋轉(zhuǎn)體體積;平行截面已知的立體的體積;平面曲線弧長的概念;弧微分的概念;求弧長的公式 直角坐標系下 參數(shù)方程 極坐標系下.第三節(jié) 定積分在物理學上的應用教學目的：理解和掌握用定積分的元素法，解決物理上的實際問題:功，水壓力和引力.教學重點：如何將物理問題抽象成數(shù)學問題.教學難點：元素法的正確運用.教學內(nèi)容：一、變力沿直線所作的功例1 半徑為的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重為 1 ，現(xiàn)將這球從

9、水中取出，需作多少功?解 建立如圖所示的坐標系將高為的球缺取出水面，所需的力為：,其中：是球的重力，表示將球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力.由球缺公式 有 ,從而 .十分明顯，表示取出水面的球缺的重力.即：僅有重力作功，而浮力并未作功，且這是一個變力.從水中將球取出所作的功等于變力從改變至時所作的功.取為積分變量，則，對于上的任一小區(qū)間，變力從到這段距離內(nèi)所作的功.這就是功元素，并且功為.另解 建立如圖所示的坐標系取為積分變量，則.在上任取一個小區(qū)間，則此小區(qū)間對應于球體上的一塊小薄片，此薄片的體積為.由于球的比重為 1 ， 故此薄片質(zhì)量約為.將此薄片取出水面所作的功應等于克服

10、薄片重力所作的功，而將此薄片取出水面需移動距離為 .故功元素為 二、水壓力在水深為處的壓強為，這里是水的比重.如果有一面積為的平板水平地放置在水深處，那未，平板一側(cè)所受的水壓力為若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之處的壓強不相等.此時，平板一側(cè)所受的水壓力就必須使用定積分來計算.例2 邊長為和的矩形薄板，與水面成角斜沉于水中，長邊平行于水面而位于水深處.設，水的比重為，試求薄板所受的水壓力.解：由于薄板與水面成角斜放置于水中，則它位于水中最深的位置是取為積分變量， 則 (注意： 表示水深).在中任取一小區(qū)間，與此小區(qū)間相對應的薄板上一個小窄條形的面積是 ,它所承受的水壓力約為 ,于是，

11、壓力元素為 ,這一結(jié)果的實際意義十分明顯，正好是薄板水平放置在深度為的水中時所受到的壓力，而是將薄板斜放置所產(chǎn)生的壓力，它相當于將薄板水平放置在深度為處所受的水壓力.三、引力由物理學知道：質(zhì)量為、，相距為的兩質(zhì)點間的引力大小為,為引力系數(shù). 引力的方向沿著兩質(zhì)點的連線方向.如果要計算一根細棒對一個質(zhì)點的引力，由于細棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的，且各點對該質(zhì)點的引力方向也是變化的，便不能簡單地用上述公式來作計算了.例3 設有一半徑為， 中心角為的圓弧形細棒， 其線密度為常數(shù)， 在圓心處有一質(zhì)量為的質(zhì)點， 試求這細棒對質(zhì)點的引力.解決這類問題，一般來說，應選擇一個適當?shù)淖鴺讼?解：建立如圖所示的坐標系，質(zhì)點位于坐