高中數(shù)學(xué)用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式必修五

1、精品文檔用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式隨意編輯農(nóng)安實(shí)驗(yàn)中學(xué)趙彥春，歷年來都中心詞：歸納，猜想，構(gòu)造數(shù)列問題以其多變的形式和靈活的求解方法倍受高考命題者的青睞 是高考命題的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式更是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，作為常歸的等差數(shù)列或等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造來形成等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后再應(yīng)用各自的的通項(xiàng)公式求解。例1： (06 年福建高考題)數(shù)列 an中，a1 1, an 1 2an Uan()A. 2nB. 2n 1C. 2n 1D. 2n 1解：an 1 2an 1an 1 1 2an 22(an 1)an 11q- 2 又 a1 1 2an 1an 1

2、是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列an 12 2n1 2n, an 2n 1所以選 C歸納總結(jié)：若數(shù)列 an滿足an 1 pan q(p 1, q為常數(shù))，則令an 1p(an)來構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等求的值，求通項(xiàng)公式。例 2：數(shù)列 an 中，a1 1,a2 3, an 2 3an 1 2an ,則 an 。解：an 2an 12(an 1 an )a2 a1an為首項(xiàng)為2公比也為2的等比數(shù)列。an an 1a n (an2n 1an 1(anan2)(a2 a1) a12n1 2n2n1 2小結(jié)：先構(gòu)造 an1an等比數(shù)列，這是化歸思想的具體應(yīng)用，再用疊加法求出通項(xiàng)公式，當(dāng)然本題也利用了

3、等比數(shù)列求和公式。例3 :(必修5教材69頁)已知數(shù)列an中a15, a22, an2an13an2, (n3)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:an 2an 3an 2an 1 3(an 1 an 2 )又aia27, an an 1形成首項(xiàng)為7,公比為3的等比數(shù)歹U,又an則 anan 173a n 1(an 13n 2a2 3a113 , an3an 1形成了一個(gè)首項(xiàng)為一13,公比為一1的等比數(shù)列則 an 3an 1(13) ( 1)n 3 4an 7 3n 113 ( 1)n 17. n 113 n 1an 3( 1)44小結(jié)：本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，屬于構(gòu)造方面比較級(jí)，最終用加減消元的方法確

4、定出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4: (2008四川省高考題)設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn，若b an 2n(b 1)Sn成立，求證：當(dāng)b 2時(shí)，an n 2n 1是等比數(shù)列。證明：當(dāng) n 1,b a1 2 (b 1)a1, a1 2又 b an 2n (b 1) Snb an 1 2n 1 (b 1) Sm一 b an 1 b an 2n (b 1) an 1an 1 b an 2當(dāng) b 2時(shí)，有 an 1 2an 2nan 1 (n 1) 2n 2an 2n (n 1) 2n 2 (a0 n 2n 1)_1 1.又 a121n 1an n 2 為首項(xiàng)為1 ,公比為2的等比數(shù)列，n 1 c n 1n 1a

5、n n 22 , an (n 1) 2小結(jié)：本題構(gòu)造非常特殊，要注意恰當(dāng)?shù)幕?jiǎn)和提取公因式，本題集中體現(xiàn)了構(gòu)造等比數(shù)列的價(jià)值與魅力，同時(shí)也彰顯構(gòu)造思想在高考中的地位和作用。例 5：數(shù)列 an 滿足 a1 3,an1 2a0 3 2n 1 ,則 a0A. (3n 1)2nB. (6nn 13) 2C._ n 13(2n 1) 2n 1D. (3n 2) 2解：an 12anan 12 n 1an2na n2n3,又曳2an2n構(gòu)成了一個(gè)首項(xiàng)這-，公差為23的等差數(shù)列,an 232 (n 1) 32n 1 (3n -) 2(6n 3) 2n 1 所以選 Bo小結(jié)：構(gòu)造等比數(shù)列，注意形)，當(dāng)n n

6、1時(shí)，變?yōu)?nan 12T。例6：已知函數(shù)f(x) (Jx J2)2,(X 0),又?jǐn)?shù)列 an中a12 ,其前n項(xiàng)和為Sn, (n N ),對(duì)所有大于1的自然數(shù)n都有Snf(Sn1),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解： f(X) (,X2)2,Snf(Sn1)(,Sn12)2-,Sm'-2Sia；. 2/ST是首項(xiàng)為22,公差為22的等差數(shù)列。. Sn2 (n !卜2. 2n,Sn 2n2。22.n 2時(shí)，an Sn Sn 1 2n 2(n 1) 4n且當(dāng)n 1時(shí)，a12 4 1 2 符合條件通項(xiàng)公式為an 4n 2例7： (2006山東高考題) 2已知a1 2 ,點(diǎn)(an,an i)在函數(shù)f

7、(x) xx的圖象上，其中n 1,2,3, 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 2 解： f(x) x 2x又(an,an1)在函數(shù)圖象上2an 1an2an22an 1 1 an2an 1 (an 1)lg(an 1 1) 21g(an 1)1g(an 1 1)2. 1g(a1 1) 1g31g(an 1)1g(an 1)是首項(xiàng)為1g3公比為2的等比數(shù)列n 12n 11gan1 2n 11g 3 1g32n n 1an 1 322n 1an 321小結(jié)：前一個(gè)題構(gòu)造出 JST為等差數(shù)列，并且利用通項(xiàng)與和的關(guān)系來確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，后一個(gè)題構(gòu)造1g an 1為等比數(shù)列，再利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解。數(shù)列與函數(shù)的綜合

8、運(yùn)用是當(dāng)今高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識(shí)，以它的概念與性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁，揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題。例8:(2007天津高考題)已知數(shù)列an滿足a12,an11 (2) 2n,* 一、 _ ,一，(n N )其中 0 ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法指導(dǎo)：將已知條件中的遞推關(guān)系變形,應(yīng)用轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列形式,從而為求an的通項(xiàng)公式提供方便，一切問題可迎刃而解。解：ann 1an(2n /)2 ,(nN*,0)(2)n1(2)n(2)n1ann(-)n1,。所以ananna12所以ann為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為0,公差為1；w (-)nn1,

9、an (n1) n2n例9 :數(shù)列an中,anan一，則 3ana42A. 一19B.1615C.解： a3an3anan 1an13 an1又一a1是首項(xiàng)為an1一公差32的等差數(shù)列。an(n 1)3 3n 56n 5an6n 5a419所以選變式題型:數(shù)列 an中,a12, an 12an解：an2an1 3an3an，求an3anan 12anan12(an)，則an 12(an3),又工a1是首項(xiàng)為an5公比為21的等比數(shù)列2an5 / 1、n 1一(一)2 2an泊n1anQ 5 Jxn 13 2(2)小結(jié)：an 1 f (an)且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列，發(fā)散之后，兩種構(gòu)造思想相互聯(lián)系，相互滲透，最后融合到一起?？傊瑯?gòu)