高中數(shù)學(xué)選修2-3統(tǒng)計(jì)案例之線性回歸方程習(xí)題課

1、1 .相關(guān)關(guān)系的分類 從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角 的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我 們將它稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右 下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為 負(fù)相關(guān).2 .線性相關(guān)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致 分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間 具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線.3 .回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直 線的距離平方和最小的方法叫最小二乘法.(2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量 的一組數(shù)據(jù)：(Xi, yi),(X2, 丫2),，(Xn, yn),其回歸方程為y=bx+a,則b, a 其中，b是回歸方程的斜率，a是在

2、y軸上 的截距.4 .樣本相關(guān)系數(shù)n _Xi x yi y(1)當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相&一(2)當(dāng)r0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很 強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.5 .線性回歸模型(1)y= bx+a+e中，a、b稱為模型的未知參 數(shù)；e稱為隨機(jī)誤差.(2)相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：R2=, R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合 效果越好.在線性回歸模型中，R2表示解釋 變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1,表示回歸效果越好.規(guī)律(1)函數(shù)關(guān)系是二種確定的關(guān)系,相關(guān)關(guān)系是. 二種非確定的關(guān)系，.事實(shí)上.函數(shù)關(guān)系是兩 個(gè)韭隨機(jī)變量的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是韭隨機(jī)

3、變量與隨機(jī)變量的關(guān)系. I ! ：047 1 通 V (IM HIM 注意(1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法,只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意 義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義.(2)線性回歸方程史的截距和斜率都是通過 樣本數(shù)據(jù)估計(jì)而來的，存在誤差,這種誤差 會(huì)導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差； 而且回歸方程只適 用于我們所研究的樣本總體,考向一相關(guān)關(guān)系的判斷例1.下列選項(xiàng)中，兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是()A.正方形的面積與周長B.勻速行駛車輛的行駛路程與時(shí)間C.人的身高與體重D.人的身高與視力答案：C例2.對(duì)變量x、y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(Xi, yi)( i =

4、1,2,，10),得散點(diǎn)圖1;對(duì)變量u, v 有觀測(cè)數(shù)據(jù)(Ui, Vi)( i =1,2 ,，10),得 散點(diǎn)圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()廣 302520151050ip 605040302010OA.變量B.變量x與y正相關(guān),x與y正相關(guān),C.變量x與y負(fù)相關(guān)， D.變量x與y負(fù)相關(guān),1 2 3 4 5 6 7U 圖2U與V正相關(guān)u與V負(fù)相關(guān)u與V正相關(guān)u與V負(fù)相關(guān)解析：選C.由題圖1可知，各點(diǎn)整體呈 遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)，由題圖2可知， 各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān).例3.下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系（）.A.出租車車費(fèi)與行駛的里程B.房屋面積與房屋價(jià)格C.身高與體重 D.鐵塊的大小與

5、質(zhì)量 解析 A, B, D都是函數(shù)關(guān)系，其中 A 般是分段函數(shù)，只有 C是相關(guān)關(guān)系. 答案 C例4.如圖所示，有5組（x, y）數(shù)據(jù)，去掉 組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大.ty(10,12)0(3,10)C(4,5).僅2,4) )(1,3)解析：因?yàn)锳 B、C、E四點(diǎn)分布在一 條直線附近且貼近某一直線，D點(diǎn)離得遠(yuǎn).答案：D例5.對(duì)變量x, y有觀測(cè)數(shù)據(jù)（Xi, yi）（i二1,2, ，10）,得散點(diǎn)圖（1）;對(duì)變量 u, v 有觀測(cè)數(shù)據(jù)（Ui、Vi）（i = 1,2,，10）,得散 點(diǎn)圖（2）.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（）.A.變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B.變量x與y正相關(guān)，u

6、與v負(fù)相關(guān) C.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D 變量 x 與 y 負(fù)相關(guān)，u 與 v 負(fù)相關(guān)解析 由題圖 (1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)， x 與 y 負(fù)相關(guān)；由題圖(2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u 與 v 正相關(guān)答案 C例 6下列關(guān)系屬于線性負(fù)相關(guān)的是()A.父母的身高與子女身高的關(guān)系B.球的體積與半徑之間的關(guān)系C.汽車的重量與汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程D. 一個(gè)家庭的收入與支出解析：選C.A、D中的兩個(gè)變量屬于線 性正相關(guān)，B中兩個(gè)變量是函數(shù)關(guān)系.例7.魯潔棉業(yè)公司的科研人員在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上對(duì)某棉花新品種 進(jìn)行施化肥量x對(duì)產(chǎn)量y影響的試驗(yàn)，得到 如下表所示

7、的一組數(shù)據(jù)(單位：kg):施化肥量x15202530354045棉花33343640444545r#y0555505(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)判斷是否具有相關(guān)關(guān)系.審題視點(diǎn)(1)用x軸表示化肥施用量，y軸 表示棉花產(chǎn)量，逐一畫點(diǎn).(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系解 (1)散點(diǎn)圖如圖所示(2)由散點(diǎn)圖知，各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)大致都在一條直線附近，所以施化肥量x 與產(chǎn)量 y 具有線性相關(guān)關(guān)系利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡便的方法 在散點(diǎn)圖中如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系即變量之間具有函數(shù)關(guān)系如果所有的樣本點(diǎn)落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間

8、就有相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系例8.根據(jù)兩個(gè)變量x, y之間的觀測(cè)數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖如圖所示，這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系（填“是”與“否”）解析 從散點(diǎn)圖看，散點(diǎn)圖的分布成團(tuán)狀， 無任何規(guī)律，所以兩個(gè)變量不具有線性相關(guān) 關(guān)系.答案否考向二線性回歸方程例9.對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建人立的回歸直線方程y=a+bx中，回歸系數(shù)b()A.不能小于0 B .不能大于0C.不能等于0 D .只能小于0解析：選C. v b=0時(shí)，r = 0,這時(shí)不 具有線性相關(guān)關(guān)系，但b能大于0也能小于 0.人例10.已知回歸方程y=4.4x+838.19 , 則可估計(jì)x與y

9、的增長速度之比約為解析：x與y的增長速度之比即為回歸方程的斜率的倒數(shù)11054.4答案:= 44=22, 522例11.某商品銷售量y（件）與銷售價(jià)格x（元/件）負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是（）.A.y= 10x+200B.y= 10x+200C;= 10x200D.y=10x 200解析因?yàn)殇N量與價(jià)格負(fù)相關(guān)，由函數(shù)關(guān)系 考慮為減函數(shù)，又因?yàn)?x, y不能為負(fù)數(shù)， 再排除C,故選A. 答案 A例12.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小

10、二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a；(3)已知該廠技改前生產(chǎn)100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90 噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程預(yù)測(cè)生產(chǎn)100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3X 2.5+4X 3+5X4+6X4.5 =66.5)審題視點(diǎn)(2)問利用公式求M b,即可求出線性回歸方程問將x= 100代入回歸直線方程即可.解(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示4由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：x2 = 86,i = 13+4+5+644.5（噸）,y2.5+3 + 4 + 4.5 4= 3.5（噸）.4已知xiyi = 66.5,1 = 1所以，由最小二乘法確定的

11、回歸方程的系數(shù)為：4xiyi 4x y._ ij 66.54X4.5X 3.5 _b= 4_ = 86 4X4.52 二x2 4 x 2i = 10.7,a= ybx =3.50.7X4.5=0.35.因此，所求的線性回歸方程為y = o.7x+0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為：90(0.7X 100+0.35)= 19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).在解決具體問題時(shí)， 要先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)確認(rèn)兩個(gè)變 量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若它們之間有線 性相關(guān)關(guān)系，再求回歸直線方程.例13.為了解兒子身高與其父親身高的關(guān) 系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)

12、如下：父親身高 x/cm174176176176178兒子身高 y/cm175175176177177則y對(duì)x的線性回歸方程為（）.A y=x 1B y=x+ 11C. y=88+2xD. y = 176解析由題意得x =174+176+176+ 176+178-=176(cm),5175 175 176 177 177y =c= 176(cm),5由于7)一定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知選C.答案 C例14.某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20022004200620082010需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的 回歸直

13、線方程y=bx+a;(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地 2012年的糧食需求量.解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之 間是近似直線上升，下面來配回歸直線方程，為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份-2006一4一2024需求量 257一21一1101929對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得,x = 0)y = 3.2) b= 40= 6.5) a=ybx=3.2.由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為257=b(x2 006)+a=6.5(x 2 006H3.2，即夕=6.5(x 2 006) + 260.2.(2)利用直線方程，可預(yù)測(cè) 2012年的糧食需求量為6. 5(2 0122 006) + 26

14、0.2=6.5X6+260.2 = 299.2(萬噸).例15 .下列有關(guān)回歸直線方程y=bx+a 的敘述正確的是()a反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系；反映 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系； a表示y與x之間的不確定關(guān)系；表示最接近y 與 x 之間真實(shí)關(guān)系的一條直線A B C D 解析：選D.y= bx+a表示y與x之間的 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系；但它反映的關(guān)系最接近 y與x之間的真實(shí)關(guān) 系，故選D. 人例16.設(shè)有一個(gè)回歸方程y=35x,變量x增加一個(gè)單位時(shí)()A. y平均增加3個(gè)單位B. y平均減少5個(gè)單位C. y平均增加5個(gè)單位D. y平均減少3個(gè)單位解析：選B一 5是斜率的估計(jì)值，說明x每增

15、加一個(gè)單位，y平均減少5個(gè)單位.例17.對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析， 得到一組樣本數(shù)據(jù)：(xi, yi), (x2, y2),， (xn, yn),則下列說法中不正確的是()A AA.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程 y= bx+ A一 一a必過樣本中心(x, y)B.殘差平方和越小的模型，擬合的效 果越好C.用相關(guān)指數(shù) R2來刻畫回歸效果，R2 越小，說明模型的擬合效果越好D.若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r= 0.9362 ,則變量y和x之間具有線性相 關(guān)關(guān)系解析：選C.C中應(yīng)為R2越大擬合效果越好.例18.已知回歸方程y=2x+1,而試驗(yàn) 得到一組數(shù)據(jù)是(2,4.9), (3,7.1),(4,9

16、.(1) 殘差平方和是()A. 0.01 1 B. 0.02C 0.03 D.0.04a 解析：選C.當(dāng)x=2時(shí)，y=5, a當(dāng) x=3 時(shí))y = 7) a當(dāng) x = 4 時(shí))y = 9. e1 = 4.9 -5 = - 0.1 , e2=7.1 -7 = 0.1 , ae3=9.1 9 = 0.1.3 a2 e ii =10.1) 2+(0.1) 2+(0.1)0.03.例19.下列說法：將一組數(shù)據(jù)中的每 個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變； a一 一回歸方程y= bx+a必過點(diǎn)（x , y）;曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間具有 相關(guān)關(guān)系；在一個(gè)2X2列聯(lián)表中，由計(jì)算得 K2 = 13

17、.079 ,則其兩個(gè)變量間有關(guān)系的可能性 是 90%.其中錯(cuò)誤的是.解析：正確.由回歸方程的定義及最 小二乘法思想，知正確.不正確.答案：例20.在2009年H一國慶8天黃金周 期間，某市物價(jià)部門，對(duì)本市五個(gè)商場(chǎng)銷售 的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查， 五個(gè)商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一 組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格 x99 .51010 .511銷售 量y1110865通過分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對(duì)商品的價(jià)格 x具有線性相關(guān)關(guān)系，則銷售量 y對(duì)商品的 價(jià)格x的回歸直線方程為二解析：由數(shù)據(jù)表可得x = 10, y = 8,離差 xx： 1, .0.5,0 , 0.5,1 ；離差 y-y : 3,2

18、,0 , 2, - 3.八 一1X30.5 X2-0.5 X2-1X3b =1 + 0.25 +0+0.25 +13.2 ,a= y bx = 40,回歸直線方程為y = - 3.2 x+ 40. a答案：y = -3.2x+40例21.在某地區(qū)的1230歲居民中隨機(jī)抽取了 10個(gè)人的身高和體重的統(tǒng)計(jì)資料的身高和體重之間是否有相關(guān)關(guān)系.解：以x軸表示身高，y軸表示體重, 可得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示：體重（kg）90807060504030 ,-100110 120 130 140 150 16() 170 180 190 身高(cm)由散點(diǎn)圖可知，兩者之間具有相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān).12.某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某 反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn) 行分析研究，他們分別記錄了