七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽專家講座第2講代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題(1)

1、第二講：代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題一、知識(shí)鏈接1 . “代數(shù)式”是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的內(nèi)容之一。2 .用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個(gè)代數(shù)式的值。 注：一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3 .求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會(huì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知 識(shí)打下基礎(chǔ)。二、典型例題例1.若多項(xiàng)式2mx2 _x2+5x+8_(7x2 _3y+5x )的值與x無(wú)關(guān)，求 m2 - 2m2 - 5m - 4 L m 1的值.分析：多項(xiàng)式的值與 x無(wú)關(guān)，即含x的項(xiàng)系數(shù)均為零因?yàn)?/p>

2、 2mx2 -x2 5x 8 -7x2 -3y 5x = 2m -8 x2 3y 8所以m=4將 m=4代人，m2 - 2m2 - 5m - 4 L m L -m2 4m - 4 - -16 16 - 4 - -4利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2. x=-2時(shí)，代數(shù)式ax5 +bx3 + cx 6的值為8,求當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式ax5 +bx3 + cx 6 的值。分析：因?yàn)?ax5 +bx3 +cx-6 =8當(dāng) x=-2 時(shí)，25a 23b2c6 =8 得到 25a+23b + 2c+ 6 = 8 ,所以 25a 23b 2c =8 -6 =14當(dāng) x=2 時(shí)，ax5 +bx3 +cx6=25

3、a+23b+2c6=(14)6 = 20 22例3.當(dāng)代數(shù)式x +3x+5的值為7時(shí)，求代數(shù)式3x +9x2的值.分析：觀察兩個(gè)代數(shù)式的系數(shù).2 c L -22由x +3x+5=7 得x +3x = 2 ，利用方程同解原理，得 3x + 9x = 6整體代人，3x2 9x - 2 =4代數(shù)式的求值問(wèn)題是中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，它的運(yùn)算技巧、解決問(wèn)題的方法需要我們靈活掌握,整體代人的方法就是其中之一。例 4.已知 a2 +a 1 = 0 ,求 a3 +2a2 +2007 的值.分析：解法一（整體代人）：由a2+a-1=0 得a3+a2-a = 0所以： a3 2a2 2007322=a a a 200

4、72 cccr解法二（降次）三嚨理作為2007實(shí)世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。2 =1 20072由 a +a71M，得 a =1 a，2008所以：a3 2a2 20072_ 2=a a 2a 2007_ 2_= （1-a）a 2a 20072 2=a - a2 2a2 20073 _=a a 2007=1 2007= 2008解法三（降次、消元）：a2 +a =1 （消元、減項(xiàng)）a3 2a2 20074 22=a a a 200722= a（a a） a 2007 2=a a 2007=1 2007二 2008例5.（實(shí)際應(yīng)用）A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會(huì)招聘人才，兩家公司招聘條

5、件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬(wàn)元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第 n年的實(shí)際收入（元）第一年：A 公司 10000 ; B 公司 5000+5050=10050第二年：A 公司 10200 ; B 公司 5100+5150=10250第 n 年：A公司 10000+200（n-1 ）;B 公司：5000+100（n-1）+5000+100（n-1）+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永遠(yuǎn)比A公司多50元，如不細(xì)心考察很可能選錯(cuò)。abc1ab

6、|ac恥例6.三個(gè)數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且X = - T T - T T T)|a|b|Cabacbc則 ax3 + bx2 + cx +1 的值是 解：因?yàn)閍bc0,所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)。不妨設(shè) a0, c0則 ab0, ac0所以x=-1 + 1+1-1-1 + 1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當(dāng) b0, c0 時(shí)，x=0。abc|ablacIbc另：觀察代數(shù)式 +L+L=+L，交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代a|b|c|abacbca、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在數(shù)式不改變，這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對(duì) 課下查閱資料，看看輪換式有哪些重

7、要的性質(zhì)。規(guī)律探索問(wèn)題：例7.如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA OR OC OD OE OE從射線OA開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上寫(xiě)出數(shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.(1) “17”在射線 . 上,“2008”在射線 上.(2)若n為正整數(shù),則射線 OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的代數(shù)式表示為.分析：OA上排列的數(shù)為：1, 7, 13, 19,觀察得出，這列數(shù)的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多6,歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5因?yàn)?7=3X6-1,所以17在射線OE上。因?yàn)?2008=334X 6+4=335X 6-2 ,所以 2008 在射線 OD例8.將正奇數(shù)按下表排成5列:第一列

8、 第二列第一行13第二行 151311第三行1719第四行 312927第三列 第四列579212325第五列6根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在A. 125 行,3 歹U B. 125 行,2 歹U C. 251彳7,2 歹UD 251 行,5 列分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找第三列數(shù)：3,11, 19, 27, 規(guī)律為8n-5因?yàn)?2007=250 X 8+7=251 X 8-1所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列又因?yàn)榈?51行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開(kāi)始從小到大排列, 所以2007應(yīng)該在第251行第5列例9. （2006年嘉興市）定義一種對(duì)正整數(shù) n

9、的“F”運(yùn)算：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+ 5;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為 王（其中k是使牙為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行. 例 如，取n=26,則：若n=449,則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是 .n分析：?jiǎn)栴}的難點(diǎn)和解題關(guān)鍵是真正理解F的第二種運(yùn)算，即當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為 初n_ k（其中k是使2 為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個(gè)運(yùn)算才能結(jié)束。449奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“ F”變?yōu)?352; 1352是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“ F”變?yōu)?69,169是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“ F”變?yōu)?12, 512是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“ F”變?yōu)?,1是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“ F”變?yōu)?, 8是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“ F”變?yōu)?,我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過(guò)多次運(yùn)算，它的結(jié)果將出現(xiàn)