含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題資料

1、第二十六講含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題對(duì)于一元二次方程ax2+ bx+c=0(a w0)的實(shí)根情況，可以用判別式A =b2-4ac來判別，但是對(duì)于一個(gè)含參數(shù)的一元二次方程來說，要判斷它是 否有整數(shù)根或有理根，那么就沒有統(tǒng)一的方法了，只能具體問題具體分析 求解，當(dāng)然，經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì). 本講結(jié)合例題來講解一些主 要的方法.例1 m是什么整數(shù)時(shí)，方程(m2-1)x 2-6(3m-1)x + 72=0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根.解法1首先，吊-1*0, m ±1. A =36(m-3)2>0,所以m 3.用求根 公式可得612物=7=7m r 1m + 1由于xi, x2是

2、正整數(shù)，所以m1=1, 2, 3, 6, m+1=12, 3, 4, 6, 12,解得 m=2 這時(shí) x1=6, x2=4.解法2首先，吊-1*0, m鏟±1.設(shè)兩個(gè)不相等的正整數(shù)根為 xb X、 則由根與系數(shù)的關(guān)系知6(3m -1)2 tn -1所以 m-1=2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72,即吊=3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 19, 25, 37, 73,只有 吊=4, 9, 25才有可能，即 m=± 2, ±3, ±5.經(jīng)檢驗(yàn)，只有m=2時(shí)方程才有兩個(gè)不同的正整數(shù)根.說明一般來說，可以先把方程

3、的根求出來(如果比較容易求的話)， 然后利用整數(shù)的性質(zhì)以及整除性理論，就比較容易求解問題，解法1就是這樣做的.有時(shí)候也可以利用韋達(dá)定理，得到兩個(gè)整數(shù)，再利用整除性質(zhì) 求解，解法2就是如此，這些都是最自然的做法.例2已知關(guān)于x的方程a2x2-(3a2-8a)x + 2a2-13a+ 15=0(其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值.把它分析“至少有一個(gè)整數(shù)根”應(yīng)分兩種情況：一是兩個(gè)都是整數(shù)根, 另一種是一個(gè)是整數(shù)根，一個(gè)不是整數(shù)根.我們也可以像上題一樣， 的兩個(gè)根解出來.解因?yàn)閍w0,所以(婕 _力)土而？ _苛-4a2a5 -13a +n) 加2?(V -8a)±(a3 + 2

4、a)所以3aJ- Sa + fa2+ 2a)3力2工3r-82一爐+ 2a)5叼-22aaa所以只要a是3或5的約數(shù)即可，即a=1, 3, 5.例3設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二次方程mX-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m的值.解一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是 全平方數(shù).令A(yù) =(m-1) 2-4m= n2,其中n是非負(fù)整數(shù)，于是m6m+i=n,所以(m-3)2-n2=8,(m-3+ n)(m-3-n) =8.由于n-3+n>n-3-n,并且(m-3+ n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶數(shù)，所以m3+n與m3-n同奇偶，所以1rm-3+n = 4,&

5、#39;m=3 + n = -2,I m 3-n = 2 ；m-3-口= 4所以所以m = 6,這時(shí)方程的兩個(gè)根為說明一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程如果有整數(shù)根或有理根，那么它的 判別式一定是完全平方數(shù)，然后利用平方數(shù)的性質(zhì)、解不定方程等手段可 以將問題解決.例4關(guān)于x的方程ax2+2(a-3)x+(a -2)=0至少有一個(gè)整數(shù)解，且a是整數(shù)，求a的值.解 當(dāng)a=0時(shí)，原方程變成-6x-2=0,無整數(shù)解.當(dāng)aw0時(shí)，方程是一元二次方程，它至少有一個(gè)整數(shù)根，說明判別A = 4(a -3) 2-4a(a -2) = 4(9 -4a)為完全平方數(shù)，從而9-4a是完全平方數(shù).令9-4a=n2,則n是正奇數(shù),

6、 且否則覆=0),所以次=子.由求根公式得-2土為到2a所以要使xi為整數(shù)，而n為正奇數(shù)，只能n=1,從而a=2.要使x2為整數(shù), 即 n-3 | 4, n 可取 1, 5, 7,從而 a=2, -4, -10.綜上所述，a的值為2, -4, -10.說明本題是前面兩種方法的“綜合”.既要用判別式是平方數(shù)，又 要用直接求根.有時(shí)候，往往是幾種方法一同使用.例5已知關(guān)于x的方程x2+ (a -6)x + a=0的兩根都是整數(shù)，求a的值.解 設(shè)兩個(gè)根為X1>X2,由韋達(dá)定理得卜 1 + 町=6 -a.從上面兩式中消去a得XiX2+Xi+X2 = 6,所以(x i+ 1)(x 2+1)=7,所

7、以 a=xiX2=0 或 16.說明 利用韋達(dá)定理，然后把參數(shù)消去，得到的是關(guān)于Xi, X2的不定方程，而求解這個(gè)對(duì)稱的不定方程往往是容易入手的.例6求所有有理數(shù)r,使得方程rx2+(r+1)x + (r -1)=0的所有根是整數(shù).分析 首先對(duì)r=0和rw0進(jìn)行討論.r=0時(shí)，是關(guān)于x的一次方程； rw0時(shí)，是關(guān)于x的二次方程，由于r是有理數(shù)，處理起來有些困難， 這時(shí)用直接求根或用判別式來做， 均不能奏效.可用韋達(dá)定理，先把這個(gè) 有理數(shù)r消去.解 當(dāng)r=0時(shí)，原方程為x-1=0,所以x=1.當(dāng)rw0時(shí)，原方程是關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)它的兩個(gè)整數(shù)根為 xi, X2,且 Xi>X2,則消去

8、r得X1X2-X1-X2 = 2,所以(x 1)(x 2-1)=3 .所以綜上所述，當(dāng)r = g, 0, 1時(shí)，方程的所有根都是整數(shù).例7已知a是正整數(shù)，且使得關(guān)于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x +4(a-3)=0至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值.解將原方程變形為(x + 2) 2a= 2(x +6).顯然x+ 2豐0,于是2G 4 0("2尸由于a是正整數(shù)，所以a>1,即2儀+ 0 »所以 x2+2x-8<0,(x+4)(x -2)<0,所以-4<x<2(x-2).當(dāng) x=-4, -3, -1, 0, 1, 2 時(shí)，得 a 的值為 1,

9、6, 10, 3, y, L所以g的值為1, 3, 6. 10.說明 從解題過程中知，當(dāng)a=1時(shí)，有兩個(gè)整數(shù)根-4, 2;當(dāng)a=3, 6, 10時(shí)，方程只有一個(gè)整數(shù)根.有時(shí)候，在關(guān)于 x的一元二次方程中，如 果參數(shù)是一次的，可以先對(duì)這個(gè)參數(shù)來求解.例8已知方程x2+bx+c=0與x2+cx+b=0各有兩個(gè)整數(shù)根xi,X2和右般且%跖>0, &；>0(1)求匹兄電子啊疝<0,又；匕。，(2)求證：b-1<c< b+ 1;(3)求b, c的所有可能的值.解(1)由 xix2>0 知，xi 與 x2 同號(hào).若 xi>0,則 x2>0,這時(shí)-b

10、= X +啊07所以b0.與b ="聲;>0矛盾p所以，笈 句0,同理可證發(fā)'Of名#0.(2)由(1)知，xi<0, x2<0,所以 xW-1, x2<-1.由韋達(dá)定理c-(b-1)=xix2 + xi + x?+ 1=(x1 + 1)(x2+1) >0,所以c >b-1.同理有b- (c-l) =苒1笈3+這l +工)+1所以c < b+1,所以 b-1<c<b+1.(3)由(2)可知，b與c的關(guān)系有如下三種情況:(i)c=b +1.由韋達(dá)定理知xX2=-(x 1 + x2) + 1 ,所以(x 1+1)(x 2+1)

11、=2,所以X；十二% +1= 2解得 xi + x2=-5, x1x2=6,所以 b=5, c=6.(ii)c=b .由韋達(dá)定理知XiX2=-(X i+X2),所以(x i + 1)(x 2+ 1)=1 ,所以 xi=x2=-2,從而 b=4, c=4.(iii)c=b -1.由韋達(dá)定理知所以區(qū) +。區(qū)+ D =2r解得冕;+X；=-5,寓;以；二配所以b=ac = 5.綜上所述，共有三組解：(b, c)=(5 , 6), (4, 4), (6, 5).練習(xí)二十六1.填空:方程x2+px+1997=0恰有兩個(gè)正整數(shù)根xb x2,則的值是(2)已知k為整數(shù)，且關(guān)于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x + 18=0有兩個(gè)不相同的正整數(shù)根，則 k=.(3)兩個(gè)質(zhì)數(shù)a, b恰好是關(guān)于x的方程x2-21x+t=0的兩個(gè)根，心+=|a b (4)方程x2+px+q=0的兩個(gè)根都是正整數(shù)，并且p+q=1992,則方程較 大根與較小根的比等于(5) 已知方程 (a2-1)x2-2(5a+1)x 24=0有兩個(gè)不相等的負(fù)整數(shù)根，則整數(shù) a 的值是 2.設(shè)m為整數(shù)，且4<m&