導(dǎo)數(shù)題型分類大全同名6159

1、導(dǎo)數(shù)題型分類一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及計算a處的導(dǎo)數(shù)為A,求limt of a 4t f a 5tf a 4t f a 5tf a 5t f a 4t斛：lim;= lim;t 0tt 0t2 .求y V二在點x 3處的導(dǎo)數(shù)。x2 31 323 .若函數(shù) f(x)滿足，f(x) -x2x ax (a 6)x 1有極大值和極小值，則實數(shù)v-3 或 a>6 C.-3<a<6 D.a v-1 或 a>2題型三：利用導(dǎo)數(shù)幾何

2、意義及求切線方程1 .曲線y 4x x3在點1, 3處的切線方程是y x 2 2.若曲線f(x)x x在P點處的切線平行于直線 f (1) x2 x,則 f(1)的值3一a .1) =4 .設(shè)曲線y eax在點1)處的切線與直線x 2y 1 0垂直，則5 .利用導(dǎo)數(shù)求和：Sn=1+2x+3xA2+.+nxAn-1,(x不等于0且不等于題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1 . f(x) x3 3x22在區(qū)間1,1上的最大值是22_2 .已知函數(shù)y f(x)x(x c)在x 2處有極大值，則常數(shù)c=63 .5.已知函數(shù)f (x)a的取值范圍是(A.-1vav2B.a3x y 0,則p點的坐標(biāo)為

3、 (1,0)3 .函數(shù)y 1 3x x有極小值1 ,極大值 343,若曲線y x的一條切線l與直線x 4y8 0垂直，則l的方程為4x y 3 O（2）曲線y過點P（3,5）的切線;4.求下列直線的方程：（注意解的個數(shù)）32.(1)曲線y x x 1在P(-1,1)處的切線;解：（1） 點P（ 1,1）在曲線 y x3 x2 1上， y/2/3x2 2x k y|x1 3-21所以切線方程為y 1 x 1 ,即x y 2（2）顯然點P（3,5）不在曲線上，所以可設(shè)切點為 A（x0，y0），則y02x0又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y/ 2x所以過A（x0，y0）點的切線的斜率為ky/|x x0 2x0 ,又切

4、線過A（xo，y0）、P（3,5）點，所以有2x0X0 3，由聯(lián)立方程組得,x01 或 x05V。1 一 y。25,即切點為（1, 1）時，切線斜率為k1 2x0 2;當(dāng)切點為（5, 25）時，切線斜率為k2 2x010 ;所以所求的切線有兩條，方程分另IJ為 y 1 2(x 1)或y 25 10(x 5),即y 2x 1 或y 10x 256.設(shè)P為曲線C: y=x2+2x+3上的點，且曲線C在點TT p處切線傾斜角的取值范圍為0,-,則點P橫坐標(biāo)的取值范圍為（）B. -1,0C. 0,1D. 2, 17.下列函數(shù)中，在（0, +8）上為增函數(shù)的是（A.y=sinxB.xy xeC.D.y=

5、ln(1+x) x8.設(shè) f(x),g(x)是 R上的可導(dǎo)函數(shù)，（x）, g （x）分別 為f（x）,g（x）的導(dǎo)數(shù)，且f (x)g(x) f (x)g (x)0 ,則當(dāng)a<x<b時，有（A.f(x)g(b)>f(b)g(x)C.f(x)g(a)>f(a)g(x)B.f(x)g(x)>f(b)g(b)D.f(x)g(x)>f(b)g(a)10.（本題12分）已知函數(shù)f （x）ex ax 1 ,求f（x）的單調(diào)增區(qū)間題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值2f （x）1 .已知函數(shù)f（x） x 2ax a在區(qū)間（一°°, 1）上有最小值

6、，則函數(shù)g（x） 在區(qū)間（1,x+ 8）上一定（）A.有最小值B. 有最大值 C.是減函數(shù)D. 是增函數(shù)2 .已知函數(shù)f(x) ax3 bx 3x在x1處取得極值，求過點 A(0, 16)作曲線y=f(x)的切線，求該切線的方程.3 .已知函數(shù)f (x) xln x(1)求f(x)的最小值 (2)若對所有x>1都有f(x) >ax-1,求a的取值范圍.1 24.已知函數(shù)f (x) x ln x,其中a為大于零的常數(shù). 2a(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值(2)當(dāng)x 1,2時，不等式f(x) 2恒成立，求a的取值范圍.325.已知函數(shù)f(x) x ax bx c,過曲

7、線y f(x)上的點P(1, f (明的切線方程為y=3x+1 (l)若函數(shù)”*)在*2處有極值，求f(x)的表達式；(n)在(I)的條件下，求函數(shù) yf(x)在3, 1上的最大值；(出)若函數(shù)y f(x)在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞增，求實數(shù) b的取值范圍解：(1)由 f (x) x(2)f (x) 3x2 4x 4 (3x 2)(x 2). ax2 bx c,求導(dǎo)數(shù)得 f (x) 3x2 2ax b.過yf(x)上點p(1,f(1)的切線方程為：y f (1) f (1)(x 1),即 y (a b c 1) (3 2a b)(x 1).而過y f (x)上P1, f(1)的切線方程為y 3x

8、1.3 2a b 3 2a b 0即故ac3a c3. y力在*2時有極值，故f ( 2) 0, 4ab 12 32由得 a=2 , b=-4, c=5. . f(x) x 2x 4x 5.2一 一3 x2時，f(x) 0;當(dāng) 2 x 時，f(x) 0;32f(x)在3, 1上最大值是13。b，由知2a+b=0。當(dāng)3 x 1 時，f(x) 0. f(x)極大 f( 2) 13 又 f 4,2(3) y=f(x)在2, 1上單調(diào)遞增，又 f (x) 3x 2ax依題意 f (x)在2, 1上恒有 f (x) >0,即 3x2 bx b 0.bx 1 時，f(x)min f (1) 3 b

9、b 0, b 6當(dāng) 6bx2日t f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b當(dāng) 66 g12b b2加2 1 時，f(x)min 0,則0 b 6.當(dāng) b12綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是0，)32,6 .已知三次函數(shù)f(x) x ax bx c在x 1和x1時取極值，且f( 2)4.求函數(shù)y f(x)的表達式；(2)求函數(shù)y f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； 若函數(shù)g(x) f(x m) 4m(m 0)在區(qū)間m 3,n上的值域為 4,16,試求m、n應(yīng)滿足 的條件.2解：(1) f(x) 3x 2ax b,由題意得，1, 1是3x2 2ax b 0的兩個根，解得，a 0, b 3.3再

10、由 f( 2)4可彳導(dǎo)c2 .f (x)x3x2(2) f (x) 3x2 33(x 1)(x1),當(dāng) x 1 時，f (x)0.當(dāng) x1 時，f(x)0；當(dāng) 1 x 1 時，f (x) 0；當(dāng) x 1 時，f (x) 0 ；當(dāng)X 1時，f (x) 0. .函數(shù)f(x)在區(qū)間(，1上是增函數(shù)； 在區(qū)間 1,1上是減函數(shù)；在區(qū)間1,)上是增函數(shù).函數(shù)f(x)的極大值是f( 1) 0,極小值是f(1)4.(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移 m個單位，向上平移 4m個單位得到的，所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間 3,n m上的值域為 4 4m,16 4ml (m 0).而 f ( 3)20

11、,4 4m 20 ,即 m 4 .于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間 3,n 4上的值域為 20,0.令f(x) 0得x 1或x 2,由f(x)的單調(diào)性知，WJn 4 2,即3制n 6綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：m 4,且3刑n 6.1 a7.已知函數(shù) f(x) x alnx , g(x) ,(a R).x(n)設(shè)函數(shù)h(x) f(x) g(x),求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；(出)若在1,e上存在一點xo,使得f(x0)g(xo)成立，求a的取值范圍7,設(shè)函數(shù) f(x) x(x a)(x b)(1)若f(x)的圖象與直線5x y 8 0相切，切點橫坐標(biāo)為2 ,且f(x) 在x 1處取極值， 求實數(shù)a,

12、b的值；(2)當(dāng)b=1時，試證明：不論 a取何實數(shù)，函數(shù)f (x)總有兩個不同的極值點.2解：(1)f (x) 3x 2(a b)x ab.由題意f (2)5, f (1) °,代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)當(dāng) b=1 時，令f(x) 0得方程 3x2 2(a 1)x a 0.2因 4(a a 1)0,故萬程有兩個不同實根 x1 ,x2 .''.、不妨設(shè)x1 x2 ,由f (x) 3(x x1 )(x x2)可判斷f (x)的符號如下：當(dāng) x x1 時，f (x) > 0 ；當(dāng) x1x x2時，f (x) v 0 ；當(dāng) x x2時，f (x) >

13、; 0因此x1是極大值點，x2是極小值點.，當(dāng)b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的 極值點。題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象1 .如右圖：是f (x)的導(dǎo)函數(shù)，f/(x)的圖象如右圖所示，則 f (x)的圖象只可能是(A)(B)(Q(D)y x3 4x 1的圖像為2.函數(shù) 3( A )3方程2x3 6x2 7 0在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為A、 0 B 、 1題型六：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍-1322f(x) x 2ax 3a x b,0 a 1.1.設(shè)函數(shù)3(1)求函數(shù)f (x) 的單調(diào)區(qū)間、極值.(2)若當(dāng)x a1,a2時，恒有1f (x)| a,試確定a的取值

14、范圍.解：(1) f (x)22x 4ax 3a = (x 3a)(x a) 令 f (x) 0得 x1a, x23a列表如下：x(-00, a) a(a, 3a) 3a(3a, +°0)f (x)-0+0f(x) 極小 Z極大 f(x)在(a, 3a)上單調(diào)遞增，在(-OOa)和(3a, +00)上單調(diào)遞減f極小(x)x a時，b -a33, x3a時，7小(刈 f (x)x22_4ax 3a . . 0a 1, 對稱軸x 2a a 1, f (x)在a+1 , a+2上單調(diào)遞減2/ /fMax(a 1) 4a(a1)23a 2a 1fmm(a 2)2 4a(a2) 3a2 4a

15、4依題1f (x) | fmin | a 即 12a1| a,14a 4|4- a解得51，又0 a，a的取值范圍是41)2.已知函數(shù)f (x) = x3+ ax2 + bx+ c在x= 3與x= 1時都取得極值(1)求a、b的值與函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間 若對x 1,2，不等式f (x) c2恒成立，求c的取值范圍。解：(1) f (x) = x3+ ax2+bx+c, f (x) =3x2+2ax+b212由 f (3)=94,八1a+ b = 03, f (1) = 3+ 2a+b = 0得a=2b= 2f (x) =3x2 x2= (3x + 2) (x1),函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間如

16、下表:x2(一 ,3)232(-3,1)1(1, + )f (x)十0一0十f (x)極大值極小值所以函數(shù)f (x)的遞增區(qū)間是(一 ，一3)與(1,+ )，遞減區(qū)間是(一 3,1)12名(2) f (x) = x3 2 x2 2x + c, x 一 1, 2，當(dāng) x= - 3 時，f (x) = 27 +c為極大值，而f (2) =2+c,則f (2) = 2+c為最大值。要使 f (x) c2 (x 1, 2)恒成立，只需 c2 f (2) =2+c,解得 c 1 或 c 2題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根v -1.已知平面向量a=(3, 1).v b=(2, 2 ).v vv uvvv v

17、v(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t ,使x = a+(t2 3) b, y =-ka +tb, x，y,試求函數(shù)關(guān)系式k=f；(2)據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t) k=0的解的情況v v v解：(1) X，y , xv vy =0 即a +(t2-3)b (-k a +t b )=0.v2v vv2整理后得-k a +t-k(t2-3)a b + (t2- 3) b =01v vv2v2a b=0, a =4, b =1, .上式化為-4k+t(t2-3)=0,即 k= 4 t(t2-3)(2)討論方程14 t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線1f(t)=4 推2-3)與

18、直線y=k的交點個33于是 f' (t)=4 (t2-1)=4 (t+1)(t-1).令f' (t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時，f' (t)、f(t)的變化情況如下表:t(- oo , -1)-1(-1,1)1(1,+ 8)f' (t)+0-0+F(t)極大值極小值1當(dāng)t= 1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=2 .1當(dāng)t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=21函數(shù) 他)=4 t(t2-3)的圖象如圖1321所示,可觀察出：11當(dāng)k> 2或k< 2時，方程f(t) k=0有且只有一解；11(2)當(dāng)k= 2或k= 2時，方程f

19、(t) k=0有兩解；11(3)當(dāng)一2 v kv 2時，方程f(t) k=0有三解.2.已知函數(shù)f(x) kx3 3(k 1)x2 2k2 4,若f (x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,4)(I)求k的值； 2_ (II)若對任意的t 1,1,關(guān)于x的萬程2x 5x af(t)總有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍。1 4分t 1時 f (t) 08a 25 a 82解：(I) f (x) 3kx 6(k 1)x 又 f (4) 0, k 2(II) f (t) 3t 12t1 t0日if (t) 0;02且 f( 1)5, f (1)3, f (t)5 2x 5x8a 25155tH導(dǎo) a一 12 分88題型

20、八：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合1,設(shè)a 0,函數(shù)f(x) x3 ax在1,)上是單調(diào)函數(shù).(1)求實數(shù)a的取值范圍；設(shè) x0., f(x).，且 9兩)丸,求證：f(x0) x0. 22解：(1) y f (x) 3x a,若f(x)在1,上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須y0,即a 3x ,這樣的實數(shù)a不存在.故f (x)在1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若f(x)在1,上是單調(diào)遞增函數(shù)，則aw 3x2,2由于x 1,，故3x3.從而0<a< 3.(2)方法1、可知f (x)在1, 上只能為單調(diào)增函數(shù).若1 w x0 f (x0),則 f (x0 ) f ( f (x0 ) x0矛盾，若 1 w f (

21、x0) x0 , 則 f ( f (x0) f (x0 ), 即 x0 f (x0 )矛盾 故 只有f(x0) x0成立.3ax0 u,u aux0,兩式相減得2u1a)0, x0、,0 > 1,u >1,1 a 03 方法 2 :設(shè) f(x0) uJf(u) x0 ,x0332(x0u ) a(x0 u) u x0(x0 u)(x°x°u2222x0 x0uu 3,又 0 a3x0x0uu,23f (x)(x-)(xa)2 .已知a為實數(shù)，函數(shù)2(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求 a的取值范圍若f'( 1) 0, (l)求函數(shù)f(x)

22、的單調(diào)區(qū)間(n)證明對任意的x1、x2( 1，0),不等式I f(xi)f (x2) |16恒成立一 3Q f (x) x3解：233 rax - x a f '(x)22 .函數(shù)f (x)的圖象有與x軸平行的切線,3x2f'(x)4a2f'( 1) 0f'(x) 0,x2a12；f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是f(易知f(x)的最大值為1)2ax 3 20有實數(shù)解92 ,所以a的取值范圍是f'(x)3x2f'(x),1),(250, 1 xM f(x)在1,0上的最大值27對任意x1, x2( 1,0),恒有a3.已知函數(shù)f (x) In x 一 x1

23、3(x 2)(x 1)12,f(x)；單調(diào)減區(qū)間為f(的極小值為49m 一8 ,最小值 16I f(x1) f(x2)| M1,當(dāng)a 0時，判斷f (x)在定義域上的單調(diào)性；(2)若f(x)在1,e上的最小值是3求a的值;2設(shè) g(x) ln x a ,若 g(x)2 一 . 一x在(0,e上恒成立，求12)491627f(0) ，又82784916516a的取值范圍.題型九：導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用1.請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點解：設(shè) OOx m ,則 1 x 4。到底面中心o1的距離為多少時，帳篷的體積最

24、大?由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：322(x1)2482xx2,(單位：m)3 /3.32、6 ( Q o 2 2(8 2x x )2故底面正六邊形的面積為：4 V8 2x x ) = 2,(單位：m )3.321.33V (x) -(8 2x x2)(x 1) 1 一(16 12x x )3帳篷的體積為：232(單位：m)V'(x)(12 3x2)求導(dǎo)得2令V'(x)0,解得x2 (不合題意，舍去)，x 2 ,2時，V'(x)0, V(x)為增函數(shù);4時，V'(x)0 , V (x)為減函數(shù)。.當(dāng)x 2時，V(x)最大。y (升)關(guān)于行駛速度 x (千米/答：當(dāng)OO1為2 m時，帳篷的體積最大，最大體積為16丁3 m3。2.統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量1 Q 3yx3 x 8(0 x 120).小時)的函數(shù)解析式可以表示為：12800080已知甲、乙兩地相距 100千米。(I)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？(II )當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少