人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象教案

1、543正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1. 經(jīng)歷先利用誘導(dǎo)公式、正切函數(shù)的立義研究正切函數(shù)的部分性質(zhì)，然后根拯性質(zhì)與 左義畫圖，再依據(jù)圖象研究其它性質(zhì)的過程，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).2. 初步理解和掌握正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并通過初步應(yīng)用正切函數(shù)的性質(zhì)，發(fā)展數(shù) 學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象，研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般思路和方法.教學(xué)難點(diǎn)：正切函數(shù)圖象.課前準(zhǔn)備PPT課件.教學(xué)過程（一）整體感知引導(dǎo)語(yǔ)：前面我們研究了正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，接下來我們研究正切函數(shù).1. 研究思路問題1：（1）根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)如何研究正切函數(shù)的圖象 與性質(zhì)？（2）你

2、能用不同的方法研究正切函數(shù)嗎？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：師生交流，整理岀可能的研究思路.預(yù)設(shè)答案：可以有兩種思路思路1,按照正余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究思路，先描點(diǎn) 畫圖，得到圖象，根據(jù)圖象觀察獲得性質(zhì)，再證明.思路2,也可以換一種研究思路，即先 從數(shù)的角度出發(fā)，利用函數(shù)解析式分析其性質(zhì)，然后再根據(jù)性質(zhì)畫圖，之后再觀察圖象得到 更多的性質(zhì).追問：我們選擇思路2進(jìn)行研究.結(jié)合研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，你 覺得應(yīng)該先研究哪個(gè)性質(zhì)？預(yù)設(shè)的答案：先研究周期性，再研究奇偶性.設(shè)計(jì)意圖：規(guī)劃思路，整體把握，有序研究，在“森林”里研究''樹木”.（二）新知探究2. 周期性和奇偶性問題2：類

3、比正弦函數(shù)周期得岀過程，判斷正切函數(shù)是周期函數(shù)嗎？如何求正切函數(shù)的 周期？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后交流.預(yù)設(shè)答案：由誘導(dǎo)公式tan （x+兀）=tanx, xWR,且frGZ.2根據(jù)周期函數(shù)的泄義及周期的立義可知：正切函數(shù)是周期函數(shù)，并且周期是兀.問題3：你能用簡(jiǎn)潔的辦法判斷正切函數(shù)的奇偶性嗎？請(qǐng)你試一試.預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生可以獨(dú)立完成，之后互相核對(duì)、規(guī)范過程.預(yù)設(shè)答案：由誘導(dǎo)公式 tan （X）=tanx, xWR,且 kWZ.2可知：正切函數(shù)是奇函數(shù).問題4：你認(rèn)為正切函數(shù)的周期性和奇偶性對(duì)研究它的圖象及其他性質(zhì)會(huì)有什么幫助?拯此確左的研究方案是什么？可以類比正弦函數(shù)性質(zhì)的

4、研究進(jìn)行思考.預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生可以獨(dú)立完成，交流之后進(jìn)一步確立后續(xù)的研究路徑.預(yù)設(shè)答案根據(jù)正切函數(shù)的周期性，只要研究正切函數(shù)在一個(gè)周期，比如區(qū)間（一壬，2-）內(nèi)的圖象與性質(zhì)即可.再根據(jù)正切函數(shù)的奇偶性，只要研究正切函數(shù)在半個(gè)周期，比 2如區(qū)間0,壬）內(nèi)的圖象與性質(zhì)即可.2因此接下來的研究方案是：先考察函數(shù)y=tan x, xG 0> -）的圖象與性質(zhì)，然后再 2根據(jù)奇偶性、周期性進(jìn)行拓展.3. 正切函數(shù)的圖象問題5：如何畫出函數(shù).曰。，號(hào)）的圖象呢?追問1:畫函數(shù)圖象的基本方法是描點(diǎn)法，畫正弦函數(shù)圖象是根據(jù)正弦函數(shù)宦義的幾何圖1意義，用幾何描點(diǎn)法畫圖的.那么正切函數(shù)定義的幾何意義是

5、什么？畫圖解釋.預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：先讓學(xué)生畫圖，根據(jù)左義寫出tanx,并 給出幾何解釋.預(yù)設(shè)答案：如圖1所示，設(shè)xW0,壬）在直角坐標(biāo)系中 2畫出角X的終邊與單位圓的交點(diǎn)E （xo, .VO）.過點(diǎn)B作X軸的 垂線，垂足為M則tanx=%MB追問2：式雖然解釋淸楚了正弦函數(shù)的幾何意義但利用式顯然是不方便畫圖的回 想利用正弦函數(shù)的幾何意義為什么可以方便地描點(diǎn)？據(jù)此你將如何優(yōu)化式，以方便描出正 切函數(shù)圖象上的點(diǎn)呢？預(yù)設(shè)答案：正弦函數(shù)的幾何意義就是角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是一條線段，而正切函數(shù)的幾何意義是兩條線段的長(zhǎng)度比，因此應(yīng)該設(shè)法優(yōu)化這個(gè)比，使它在數(shù)值上也可以表示為一條線段，即讓分母中的線段

6、數(shù)值上為1.于是得到：如圖2,過點(diǎn)0）作x軸的垂線與角x的終邊交于點(diǎn)乙貝I圖2tanx=xG OM由式可知，當(dāng)xW0,壬）時(shí)，線段的長(zhǎng)度就是相應(yīng)角X的正切值.因此可以利 2用線段M畫出函數(shù)y=tanx,皿0,壬）的圖象.2追問3：請(qǐng)你利用式，在坐標(biāo)紙上畫岀函數(shù)jr “ 0。，|）的圖象.并觀察圖象有哪些特征？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：教師提前給學(xué)生準(zhǔn)備好坐標(biāo)紙，紙上畫著單位圓及坐標(biāo)系.先讓學(xué)生在坐標(biāo)紙上畫圖，畫完圖之后觀察圖象，說出特征.然后教師用課件直觀展現(xiàn)函數(shù)y=tanA-,%eo,-）的圖象的特征.特別是通過演示，直觀解釋“無限逼近直線x =2 2預(yù)設(shè)答案：如圖3所示，可以畫岀函數(shù)尸心，山。1）的

7、圖象.觀察圖象可知：當(dāng)xW0,工）時(shí)，隨著x的增 2大，線段2T的長(zhǎng)度也在增大，而且當(dāng)x趨向于壬時(shí)，24T的長(zhǎng)度趨向于無窮大.相應(yīng)地，函數(shù)y=tan x, xe0,壬）的圖象從左向右呈不斷上升趨勢(shì)，且向右2上方無限逼近直線x = -,但不會(huì)與該直線相交.2圖3設(shè)計(jì)意圖：通過一個(gè)個(gè)追問，幫助學(xué)生理解正切函數(shù)的幾何意狡.并利用它畫出函數(shù)的圖象.問題6：你能借助以上結(jié)論，并根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，畫岀正切函數(shù)的圖象嗎？正切函數(shù)的圖彖有怎樣的特征？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立完成，而且學(xué)生應(yīng)該能夠完成該問題.之后師生一起再把過程規(guī)范條理了.預(yù)設(shè)答案：如圖4,第一步，因?yàn)檎泻瘮?shù)是奇函數(shù)，只要畫函數(shù)y=ta

8、ii %. xGO,丄)圖象關(guān)于原點(diǎn)的 2對(duì)稱圖形，就可得到y(tǒng)=tanx,用(一匚0的圖象：2第二步，根據(jù)正切函數(shù)的周期性，只要把函數(shù)y=tanx,-)圖象向左、右2 2平移，每次平移兀個(gè)單位，就可得到正切函數(shù)v=tanx» xER,且加，kZ 的圖象，圖42我們把它叫做正切曲線(tan gent curve).觀察圖象，可以看岀：正切曲線是被與)，軸平行的一系列直線ArGZ所隔開的無窮多 2支形狀相同的曲線組成的.設(shè)計(jì)意圖：畫出函數(shù)的圖象，并觀察圖象特征.4. 單調(diào)性和值域問題7：從函數(shù)圖象與性質(zhì)研究的基本套路看，還需要研究正切函數(shù)的什么性質(zhì)？觀察 函數(shù)y=tanx, xG 0,冬

9、)的圖象，你得到的結(jié)論是什么？2預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立完成，再進(jìn)行展示交流，并予以規(guī)范.預(yù)設(shè)答案：還需要研究正切函數(shù)的單調(diào)性與值威.(1)單調(diào)性觀察正切曲線可知，正切函數(shù)在(-p 9上單調(diào)遞增.由正切函數(shù)的周期性可得，正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間+(ZcGZ)±都單調(diào)遞增.（2）值域當(dāng)M （一刁時(shí)tux在（-8, +8）內(nèi)可取到任意實(shí)數(shù)值，但沒有最大值、最小值. 因此，正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R.5.應(yīng)用例1.求函數(shù)y = tan|x + j的泄義域、周期及單調(diào)區(qū)間.追問：類比正余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，求解該題目的思路是什么？預(yù)設(shè)答案：通過換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=tanx的性質(zhì)問題求解.解：

10、自變量x的取值應(yīng)滿足夕+夕工加+夕，圧乙 即詳2肪扌，kWZ.所以，函數(shù)的泄義域是xkH2k + kez.設(shè) z= x + ,由 tan （z+ n ）=tanz,得：tan （歆 + 另 + tt卜an （歆 + 夕），即 tan E（x + 2）+& =tan Qx +）.因?yàn)閷?duì)任意fcG Z）都有tan 欺+ 2）+月 Fn （冷9,所以，函數(shù)的周期為2.由上+加$+上上+加，kW乙 解得：2 232一?+2kVxV±+2h kZ3 3所以，函數(shù)在區(qū)間（-|+2Zc,扌+2Zc）, kWZ上單調(diào)遞增.練習(xí)：第213頁(yè)練習(xí)第1, 2, 5題.（三）歸納小結(jié)問題7；本肖課是按照怎樣的研究套路進(jìn)行的？獲得了關(guān)于正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的哪些基本知識(shí)、技能？在應(yīng)用中有哪些經(jīng)驗(yàn)？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生梳理，師生一起完善.預(yù)設(shè)答案：按照函數(shù)研究的基本套路確左了研究?jī)?nèi)容.并采用了新的研究路徑：性質(zhì)一一圖象一一性質(zhì).知道了正切函數(shù)的周期、奇偶性、單調(diào)性及值域.會(huì)畫正切函數(shù)的圖象.特別是知道了函數(shù)圖象無限逼近直線X=-+kji, A-GZ.2在利用正切函數(shù)求解與例1類似的問題時(shí)，要先求定義域.（四）布置作業(yè)教科書習(xí)題5. 4第7, 8, 9, 12, 13, 14, 15題.（五）單元檢測(cè)設(shè)計(jì)求下列函數(shù)的定義域、周期和