專題數(shù)列中的存在性問題

1、數(shù)列中的存在性問題高考中數(shù)列解答題都考察了數(shù)列中一類存在性問題，此類問題一般轉(zhuǎn)化為求不定方程正整數(shù)解的問題，往往與數(shù)論、函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)集于一體， 蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，在近年省內(nèi)各市模擬卷中常有出現(xiàn).例1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且a5 + ai3= 34,9.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式；(2) 設(shè)數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式為 bn=，問：是否存在正整數(shù) t,使得bi, b2, bn(n3, man十t N)成等差數(shù)列？若存在，求出 t和m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.n an ai例2已知數(shù)列an中，a2= 1,前n項(xiàng)和為且2.(1) 求 ai；(2) 證明：數(shù)列an

2、為等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；(3) 設(shè)lg bn= 茶，試問：是否存在正整數(shù)p, q(其中1pq)，使b, bp, bq成等比數(shù)3列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組(p, q);若不存在，請(qǐng)說明理由.例3已知數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為 1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為$,且滿足 S3= a4, a5 = a2+ a3.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 若anamn 1= am+ 2,求正整數(shù) m的值；S2(3) 是否存在正整數(shù) m使得恰好為數(shù)列an中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條S2m-1件的m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.思維變式題組訓(xùn)練1.設(shè)數(shù)列an的前n

3、項(xiàng)和為S,已知2S+1 = S+入(n N*,入為常數(shù))，a = 2, a2= 1. 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；求所有滿足等式SS *成立的正整數(shù)m n.2 *2.已知數(shù)列 an , bn滿足 a = 3, anbn= 2 , bn+ 1= an bn -, n N .1十a(chǎn)n1(1) 求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；bn(2) 設(shè)數(shù)列cn滿足6= 2an- 5,對(duì)于任意給定的正整數(shù)p,是否存在正整數(shù) q,r(pq0, n N).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 當(dāng)X = 4時(shí)，是否存在互不相同的正整數(shù) r, s, t，使得ar, as, at成等比 數(shù)列？若存在，給出r, s, t滿足

4、的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由.2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和3n2 n* n N.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; 證明：對(duì)任意的n1，都存在mE N，使得ai, an, am成等比數(shù)列.3. 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和是S,存在常數(shù)A, B使an +An+ B對(duì)任意正整數(shù)n都成立. 設(shè)A= 0,求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；1 1 1 設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，若pvq,且，求p, q的值Sp Sq S114. 已知數(shù)列an中，a1= 1,且 an+1+ 3an+ 4= 0, nE N.(1) 求證：an+ 1是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 數(shù)列an中是否存在不同的三項(xiàng)按照一定順序重新排列后，構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求滿足條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.5. 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0, q 1)，前n項(xiàng)和為S,且2a1aa= a4，數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 Tn滿足 2Tn= n(bn- 1) , nE N, b?= 1.(1)求數(shù)列 an , bn的通項(xiàng)公式；1(2)是否存在常數(shù)t，使得S+牙 為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由;1 設(shè)6 = b+4，對(duì)于任意給定的