三角函數(shù)性質(zhì)講義

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 1 求函數(shù)y = lg(2cosx + J2)+ J 1_csx的定義域。V 2sinx T三角函數(shù)的性質(zhì)講義、【知識要點】1、圖象和性質(zhì)圖表解函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)圖象Ji ,01-_11r *定義 域RRf丿xx鼻上+k兀，k w Z ?2 :值域Li，最大值為 1,最小值為-1Li，最大值為 i，最小值為-1R才戸.亠/古飲小值無最大值，最周期 性最小正周期為2兀最小正周期為2兀最小正周期為兀奇偶 性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào) 性在3131+2k兀，一+ 2k兀22上都是增函數(shù)；在兀3兀+2k兀,一+ 2k兀2 2上都是減函數(shù)（k 匕 Z）在（2k 1）兀，2）上都

2、是增函數(shù)；在2k兀,（2k _1）兀都是減函數(shù)（k Z）在（數(shù)（+k兀，一 +如）2 2Z）上都是增函對稱 性既是軸對稱又是中心對 稱圖形兀對稱軸x = k兀+ 2對稱中心坐標(biāo)（k.O），以上的Z既是軸對稱又是中心對稱圖形對稱軸x = k兀對稱中心坐標(biāo)為江（k兀十,0）,以上的2Z是中心對稱圖形 對稱中心坐標(biāo)k兀（,0）,（k）2二、【知識應(yīng)用】（一）、求定義域?qū)W習(xí)必備歡迎下載2fcr - r x 2k + %44算x =2加或2Ax + x 0_2sin x 1cosx -0)的值域_兀解：f(x)= . 3 asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+)-a+16/a0, sin

3、(2x+ 一)-a+1f(x) -3a , a+162、用換元法化為二次函數(shù)求值域21、 形如 y=sin x+bsinx+c 型令 sinx=t 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再求值域.例 3、k-4，求 y=cos2x+k(cosx-1)的值域解：y=2cos2x-1+kcosx-ky=2cos2x+kcosx-k-1，設(shè) t=cosx, t -1,12kk則 y=2t +kt-k-1，對稱軸 x= ，由于 k1,故當(dāng) t=1 時,44ymin= 1，當(dāng) t = 1 時，ymax=1 2k，即 y 1,1-2k2、形女口 y=asinx cosx+b (sinx cosx) +c,換元令 sinx cos

4、x=t轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在- 2八2上的值域問題解：令 sinx+cosx=t ,sinxcosx=t2-112y= +t=(t+1) -122當(dāng) t= 1 時，ymin= 1，當(dāng) t= .2 時，ymax= 2 +1，即 y -1 , . 2 +12 23、考察結(jié)構(gòu)特征，用分離常數(shù)法求值域acosx +bb形如 y=型，可用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為 y=a+ 再求值域.ccosx +dx解：y=2cosx -122cosx -1=122cosx -1口1/ -1 cosx 1 且 cosx豐2 2 2 1 - w-或2,故 y-3,兒匕：)2cosx T 32cosx -134、反函數(shù)思想求值域形如 y

5、=a cosxb可用反函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為f(y)sin(x+ $ )=g(y)求值域.csin x + d例 6、求 y=3cosx_2的值域.2sin x 33cos x 2解：由 y=得 2ysinx-3y=3cosx-22sin x3學(xué)習(xí)必備歡迎下載由|sin(x+ $ )|w1 得|3八2|w1,即 y 661里$4y2+9555、化為一元二次方程用判別式求值域形如 y=肛心b也可用判別式求值域csin x + d例 7、求函數(shù) y=sinx的值域2 +cosx一仝曲乞仝，故 y ，二33336、根據(jù)代數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域形如 y=asint+ L，令 sint=x，根據(jù)函數(shù) y=ax+

6、的單調(diào)性求值域.sin tx2例 8、0 (0,n)，則函數(shù) y=sin0 +-的值域為 _ .sin B2分析：設(shè) x=sin0,貝Ux(0,1，即 y=x+ , x (0,1,由圖象得，當(dāng) x=1 時，ymin=3,故 y(0,3x2 sin x十1例2-求函數(shù)k 的值域.2,(全國高考試題)當(dāng)x 時，函數(shù)f(x) =si nx . 3cosx的()2 2A、最大值是 I，最小值是一 1B、最大值是 I，最小值是一 2C、最大值是 2,最小值是2D、最大值是 2，最小值是12ysinx-3cosx=3y-2 ,-sin(x+ $ )=3y-2sin (x+ $ )=3y -24y29解:2

7、si ncos?2 22 cosx2x. 2x 3cos +si n2sin xx2ta n_，2x3 ta n -設(shè) t=ta n?22 2則 y=2t3 t2- 2=yt -2t+3y=0，當(dāng)2y=0 時，t=0 適合，當(dāng) yz0 時，由 =4-12y0=2 sin x十1小丄5:y2si nx2si nx211-1, y -3,si nx-232 sin x 1法二：由y =si nx2又1.2y +1解得sin x二y 21wsinxw1,/. -3wsinx2w1,1函數(shù)的值域為-3 ,.32v 11/ 1wSinxw1, 一1乞 一 1解得一3乞yE,y23函數(shù)的值域為-3,3。學(xué)

8、習(xí)必備歡迎下載.、.5：f (x)= si nx 3 cosx = 2sin( x )。一一_x_ -一_x _322636w2,應(yīng)選 D。23,（上海高考試題）函數(shù) f（x） = 3sinx cosx 4cos x 的最大值為/Wmax = J*識,/Wmm =腫十滬（五）求三角函數(shù)的周期_22例 3，已知函數(shù)y =s in x - 2 si nx cosx 3cos x, （ 1）求該函數(shù)的最小正周期;（2）求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的 x 的集合。變式訓(xùn)練21,（上海高考試題）函數(shù) y = 2sinxcosx 2sin x+l 的最小正周期是 _解：y = sin 2x cos2x =、2 s

9、in（2x） , . T二二.42，下列函數(shù)是否是周期函數(shù)？并求其最小正周期zdX44(1), y =cos x sin x ;3兀兀(2)y=sin(2x -)cos(2x)(3)y =sinx ;(4)y=cosx ;(5)y=sinx.（六）、考查函數(shù)的單調(diào)性例 4 （上海高考試題）函數(shù)y=2si n（2x）（x-二，0）的單調(diào)減區(qū)間是6二二3:解：令u = 2x。 貝 U y = 2sinu 的單調(diào)減區(qū)間為2k二-u2k二（k Z）,即622二二3二二3二2k二乞2x2k二（k Z）kxk：，（k Z），又因為x-二，0，令k262325兀兀=1，得所求單調(diào)減區(qū)間是-三，。63變式訓(xùn)練

10、1，求函數(shù)y = sin（ 2x）的單調(diào)遞減區(qū)間。3（七）三角函數(shù)的奇偶性 例 5,判斷函數(shù)的奇偶性解:1wf(x)=-s 2xi_2(1n c22x0 s22xi- 2cn2Q22x川護）n 22 =2.f(x)=asin x+bcosx的最評注：本題注重考查形如學(xué)習(xí)必備歡迎下載兀丄丄cosx(1) f (x)二cos( 2x) cos( x);(2)f(x)=lg21 -sin x學(xué)習(xí)必備歡迎下載(八)、函數(shù)的對稱性例 6(全國高考試題)關(guān)于函數(shù)f (x) =4sin(2x), R，有下列命題：3(1) y=f(x)的表達式可改寫為y =4cos(2x )；6(2) y=f(x)是以2二為

11、最小正周期的周期函數(shù)；(3) y=f(x)的圖象關(guān)于點(,0)對稱；6(4) y=f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱.6其中正確的命題的序號是 _ (注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上).解：f(x) =4sin(2x) = 4cos( 2x ) = 4cos(2x )由上式知正確.T -:,知3236錯誤.Tf (x) =4sin2(x)=4sin(2x) =4cos2x,6632 f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，但 f(x)圖象不關(guān)于點(,0)對稱，故(3)錯誤，正確，所以6 6填、.的圖象關(guān)于直線x對稱，那么 a=()。812 2 2(a -1)=a 1=- -1,故應(yīng)選 D.2(九) 、考查函

12、數(shù)的圖象變換例 8 (全國高考試題)已知函數(shù)y=i+cosz?XER。(1) 當(dāng) y 取得最大值時，求自變量 x 取值的集合；(2) 該函數(shù)的圖象可由:n 工一上丨的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解: (1)y =羽sin x + cos x=2(sin+ cos xsin = 2 sin( x+ xe 7?i + - = - +i = - + 2Hy 取最大值當(dāng)且僅當(dāng) J, k 乙即k Z,所以，當(dāng)函數(shù) y 取得最大值時,自變量 x 的集合為x|x二孑2k二,k Z.，得到函數(shù)y =sin(x )的圖象，令所得到的圖象上6 6例 7 (全國高考試題)如果函數(shù) y=sin2x+acos2xA.，B.：C.1D.-1解：函數(shù)y = sin 2x+acos2x的圖象關(guān)于直線或取得最小值.a21,nnx對稱，表明當(dāng)x時，函數(shù)取得最大值88所 以sin( ) acos( )2二a21,即44變換的步驟：把函數(shù) y= sinx 的圖象向左平移各點橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)伸長到原來的2 倍,學(xué)習(xí)必備歡迎下載得到函數(shù)y=2sin(x )的圖象，經(jīng)過這樣的變換就得6學(xué)習(xí)必備歡迎下載到函數(shù)丁 的圖象. (十)、考查函數(shù)的解析式例 10 (全國高考試題)如圖 。解：由圖 1,這段時間的最大溫差是30-10 = 20(C).(2)圖中從 6 時到 14 時的