不等式恒成立問題的大全17

1、不等式恒成立問題“含參不等式包成立問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結(jié) 合起來,其以覆蓋知識點多,綜合性強,解法靈活等特點而倍受高考、競賽命 題者的宵睞.另一方面,在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程、“化歸與轉(zhuǎn)化、“數(shù)形結(jié)合、“分類討論等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題水平, 培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用.本文就結(jié)合實例談?wù)勥@類問 題的一般求解策略、判別式法假設(shè)所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式,那么可考慮應(yīng)用判別式法解題.一般地,對丁二次函數(shù) f(x) ax2 bx c(a1) f (x) 0對x R包成立2) f(x) 0對x R包成立例1.函數(shù)y lgx2 (a 1)x0

2、,x R),有a 0；0a 0.0a2的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式x2 (a 1)x a2 0對x R包成立,即有(a 1)2 4a2 0解得 a 1 或a - o3所以實數(shù)a的取值范圍為(,1)(】,).3假設(shè)二次不等式中x的取值范圍有限制,那么可利用根的分布解決問題.例2.設(shè)f (x) x2 2mx 2,當(dāng)x 1,)時,f(x) m包成立,求實數(shù)m的 取值范圍.解：設(shè)F(x) x2 2mx 2 m ,那么當(dāng)x 1,)時,F(x) 0包成立4(m 1)(m 2) 0 即2 m 1時,F(x) 0顯然成立;.時,如圖,F(x) 0包成立的充要條件為:2.0F(

3、 1) 0 解得-12綜上可得實數(shù)m的取值范圍為3,1)、最值法將不等式包成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法,其一般類型 有：1) f(x) a 包成立 a f(x)min 2) f(x) a 包成立 a f (x)max321 .兩個函數(shù)f(x) 8x 16x k, g(x) 2x 5x 4x ,其中k為實效.(1)假設(shè)對任意的x3,3,都有f(x) g(x)成立,求k的取值范圍； 假設(shè)對任意的Xi、X23,3,都有f(Xi) g(X2),求k的取值范圍.(3)假設(shè)對丁任意Xi3,3 ,總存在Xo3,3使得g(Xo) f(x)成立,求k的取值范圍.【分析及解】(1)令 F(x)g(x

4、) f (x) 2x3 3x212x k,問題轉(zhuǎn)化為F(x) 0在X3,3上包成立,即F(x)min .即可. F'(x) 6x26x12 6(x2X 2),由 F'(x) 0,得X2或x 1. F( 3) k45, F(3) k 9,F( 1) k 7, F(2) k20,- F(x)min k45,由k 45i 0,解得 k 45. 由題意可知當(dāng)X3,3時,都有f(x)maxg(x)min.h'一 一一 _一 _一由 f (x)16x160得 X1.f( 3)24 k, f ( 1)8 k,f(3)120 k , f ( X)maxk 120 .由 g'(x

5、)6x2 10x 40得x1或X2,3 g( 3)21,g(3)111 ,g( 1)1,2、281, g()327- g(x)min21.那么 120 k21, 解得k 141.(3)假設(shè)對丁任意X13,3 ,總存在Xo3,3使得g(Xo) f(x)成立,等價丁 f x的值域是g x的值域的子集,由 可知, f(x) 8x2 16x k在 3,3的值域為 k 8, k 120,g(x) 2x3 5x2 4x在 3,3 的值域為 21,111 ,丁是,k 8, k 12021,11121,解得9 k 13 111.3,3時,f(x) g(x)k 12040x ,當(dāng)x322x 4xf (x) 7x

6、2 28x a, g(x)求實數(shù)a的取值范圍.2x33,3包成立1或x 245 a,F(3) 9 a,2.包成立,解：設(shè) F(x) f (x) g(x)那么由題可知令 F'(x)而 F( 1),'F (x) max3x2 12xc,F(x) 0對任意x6x2 6x 12 0 ,得 x 7a, F (2) 20 a, F( 3) 45 a 0 a 45即實數(shù)a的取值范圍為45,3. 函數(shù)f(x) x,x 1,),假設(shè)對任意x 1,), f(x) 0包成立,求x實數(shù)a的取值范圍.解：假設(shè)對任意x 1,) , f(x) 0包成立,即對 x 1,) , f(x)-| .包成立,考慮到不

7、等式的分母x 1,),只需x2 2x a 0在x 1,)時包成立而得 而拋物線g(x)x22x a在x 1,)的最小值gmin(x) g(1) 3 a 0得a 3注：此題還可將f (x)變形為f(x) x - 2,討論其單調(diào)性從而求出f(x)最小x4. f (x) x2 ax 3 a,假設(shè)x 2,2, f (x) 2包成立,求a的取值范圍.f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要對丁任意x 2,2, f (x)min 2.假設(shè)xx 2,2, f(x)mn2a 22f (x) minf( 2)或2-222 或-22f(x)mnf( |) 3 a24f(X)min5,2 2、. 2.解析 此題可以化歸為

8、求函數(shù)2,2, f(x) 27 3a 2,即af (2) 7 a 2的取值范圍為值.、別離變量法這種方法本質(zhì)也還是求最值,假設(shè)所給的不等式能通過包等變形使參數(shù)與主元別離丁不等式兩端,從而問 題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值,進而求出參數(shù)范圍 但它思路更活晰,操作性更強.一般地有：f (x)max f (x)max1) f(x) g(a)(a為參數(shù))包成立 g(a)2) f(x) g(a)(a為參數(shù))包成立 g(a)實際上,上題就可利用此法解決.)時包成立,只要2x略解：x2 2x a 0在 x 1,成立.而易求得二次函數(shù)h(x)a ig x -xa x2 2x 在 x 1,)時包2x在1,)上的最大值

9、為 3,所以a 3.1、函數(shù)f x假設(shè)對任意x 2, 包有f x 0 ,試確定a的取值范圍.解：根據(jù)題意得:即:a x2 3x 在 xa 2 x2,2,上包成立,3x,那么 f x上包成立,23x22時,2、xx max,1時,2所以a 2不等式1 2x a解：令2x,1 t 0,2a2 4x 0包成立,求a的取值范圍.所以原不等式可化為：a2 a牛1 ,要使上式在0,2上包成立,只須求出t 1 ,.一,一彳在t 0,2上的最小值即可.tmin f111八11Q-,t24t22313aaa42221 t.4x x2 ,x3.函數(shù)f (x) 圍.ax(0,4時f(x) 0包成立,求實數(shù)a的取值范

10、解：將問題轉(zhuǎn)化為aJ 4x x2 .對x (0,4包成立.x令 g(x)由 g(x)上坐一,貝U ag(x)minx.4x x24 1可知g(x)在(0,4上為減函數(shù),故 xx g(x) min g(4)0 a 0即a的取值范圍為(,0).注：別離參數(shù)后,方向明確,思路活晰能使問題順利得到解決.例4函數(shù)f (x) | x2 4x5|,假設(shè)在區(qū)間1,5上,y kx 3k的圖象位丁函數(shù)f(x )的上方,求k的取值范圍.此題等價丁一 個不等式包成立問題,即對丁x 1,5, kx3k x2 4x 5包成立,式子中有兩個變量,可以通過變量別離化歸為,2求函數(shù)的最值問題.對丁 x 1,5, kx 3kx2

11、4x 5包成立 k 一 對丁x 1,5 成立,令y彳堅x 1,5,設(shè) x 3 t,t 2,8,那么y (t 16) 10,t 2,8,當(dāng)t 4,即 x=1 時 ymax t2, k的取值范圍是k>2.變式假設(shè)此題中將y kx 3k改為yk(x3)2,其余條件不變,那么也可以用變量別離法解.由題意得,對于 x 1,5, k(x 3)24x5包成立2, x 4x k (x2 5對丁3)x 1,5包、,2 成立,令 y一竺2(x 3)5 -,x1,5,設(shè)x 3 t,t2,816 10 .y T 14 5當(dāng)-5,即xt 445 29(),t 2,8, t4161時,ymax196, k的取值范圍

12、是噂.4. m, n 1,1, mf(x)是定義在-1,1上n .時 f(m) f(n) 0,假設(shè) f(x) t2 m n的奇函數(shù),且2at 1對丁所有的x f(1)=1,1,1,a 1,1包成立,求實數(shù)t的取值范圍.解析 此題不等式中有三個變量,因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略,先消去一個變量,容易證實f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù),故f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,貝U f(x) t2 2at 1 對丁所有的 x 1,1,a 1,1包成立1 t2 2at 1 對丁所有的a 1,1的成立,即2ta t2.對丁所有的a 1,1包成立,令g(a) 2ta t2 ,只要g( 1)0 t

13、獨t 2或t 0 . g(1) 0四、變換主元法處理含參不等式包成立的某些問題時,假設(shè)能適時的把主元變量和參數(shù)變量 進行“換位思考,往往會使問題降次、簡化.例1 對丁任意的a -1,1,函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0包成立,求X的取值范圍.解析 此題按常規(guī)思路是分a=0時f(x)是一次函數(shù),a冬0時是二次函數(shù)兩種情況討論,不容易求x的取值范圍.因此,我們不能總是把 x看成是變量,把a看成常參數(shù),我們可以通過變量轉(zhuǎn)換,把a看成變量,x看成常參數(shù),這就轉(zhuǎn)化一次函數(shù)問題,問題就變得容易求解.令 g(a)>0包成立,貝U二)1).0,得3而g(a)=(x2+2x-1)a-

14、4x+3 在 a -1,1時, x 3而.例2、假設(shè)不等式解：設(shè)f2x1對滿足m 2的所有m都成立,求x的取值范圍.2x 1,對滿足|m 2的 :x2 1 x2 12x 102x 10m , f m解得：匚2.包成立,1.3x 2例3.對任意a 1,1,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0包成立,求x的取值范圍.分析：題中的不等式是關(guān)丁 x的一元二次不等式,但假設(shè)把a看成主元,那么問 題可轉(zhuǎn)化為一次不等式(x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上包成立的問題.解：令f (a) (x 2)a x2 4x 4 ,那么原問題轉(zhuǎn)化為f (a) 0包成立(a 1,1當(dāng)x 2時,可得f (a) 0,

15、不合題意.當(dāng)x 2時,應(yīng)有 "L) ° °解之得x 1或x 3.故x的取值范圍為(,1) (3,).注：一般地,一次函數(shù) f(x) kx b(k 0)在,上包有f (x) 0的充要條件為f()°.f( ) 0四、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微,這充分說明 了數(shù)形結(jié)合思想的妙處,在不等式包成立問題中它同樣起著重要作用.我們知 道,函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1) f (x) g(x) 函數(shù)f (x)圖象包在函數(shù)g(x)圖象上方；2) f (x) g(x) 函數(shù)f (x)圖象包在函數(shù)g(x)圖象下上方.例1、假設(shè)不等式3x

16、2 loga x 0在x解：由題意知：3x2 loga x在x在同一坐標(biāo)系內(nèi),分別作出函數(shù)y 3x2 和 y log a x1.觀祭兩函數(shù)圖象,少x 0,-時,3假設(shè)a 1函數(shù)y loga x的圖象顯然在函數(shù)y 3x2圖象的下方,所以不0,1內(nèi)包成立,求實數(shù)a的取值范圍0,1內(nèi)包成立,3成立;1時,由圖可知,log a x的圖象必須過點 1,1或在這個點的上方, a3 3那么,log1a 3綜上得:1 a 27127127例2.設(shè)f(x)x2 4x ,g(x)4x 13a ,假設(shè)包有f (x)g(x)成立,求實數(shù)a的取值范圍.分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出如下圖,f (x)的圖象是半圓f (x)

17、及 g(x) (x 2)2g(x)的圖象是平行的直線系4x 3y要使f (x) g(x)包成立,那么圓心(2,0)到直線4x 3y 3 3a8 3 3a3a0的距離 -7-44-2的圖象4(y 0)0.0滿足 d解得a(舍去)例3 .設(shè)函數(shù)f(x)a . x2 4x , g(x)ax a,假設(shè)包有f (x)g(x)成立,試求實數(shù)a的取值范圍.得 f(x) g(x)x2 4x ax 2a ,令y兒Oy1V x2 4x ,y2 ax 2a (2可化為(x 2)2y24(0 x 4,y0),它表示以(2,0)為圓心,2為半徑的上半圓；表示經(jīng)過定點(-2,0),以a為斜率的直線,要使f(x) g(x)

18、包成立,只需 所表示的半圓在 所表示的直線下方就可以了 (如圖 所示).當(dāng)直線與半圓相切時就有嶼空 2 ,即,1 a2a3,由圖可知,要使f(x) g(x)包成立,實數(shù)a3的取值范圍是a出.3五.分類討論在給出的不等式中,如果兩變量不能通過包等變形分別置丁不等式的兩邊, 那么可利用分類討論的思想來解決.例1、假設(shè)x 2,2時,不等式x2 ax 3 a包成立,求a的取值范圍.解：設(shè)f x x2 ax 3 a ,那么問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x 2,2時,f x的最小值非負(fù).(1)當(dāng)2 即：a4 時,fx. f 27 3a 0 a - 乂 a 4 所2min3以a不存在；2(2) 當(dāng) 2 a 226 a 2 乂

19、(3) 當(dāng)a 2即2a 47 a綜上所得：71 .解關(guān)丁 x的不等式7解：原不等式等價丁 |x當(dāng)m 3 0即m 3時,x 3m 就x m 3當(dāng)m 3 0即m 3時,當(dāng)m 3 0即m 3時,2 .設(shè)a R ,函數(shù)f (x)假設(shè)f(x) 0的解集為A, B3 :4 a 4 時,f x4 a 44 a 2:a 4 時,f x mm f4 a 2x2 4mx 4m2 m 32m | m 3x 2m m 3 或 x 2m|x 6| 0 x 6x Rax 2a2.x|1 x 3 ,AI B ,aaf -3 a 0min 2 427 a 0 a 7 乂(m 3)求實數(shù)a的取值范圍點評：二次函數(shù)與二次不等式和集合知識有很多聯(lián)系,不等式的解集、函 數(shù)的值域成為集合運算的載體,對丁含參數(shù)問題要確定好分類的標(biāo)準(zhǔn),做到不 重不漏.3.a是實數(shù),函數(shù)f(x) 2ax2 2x 3 a ,如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間 1,1上有零點,求a的取值范圍.解析：由函數(shù)f(x)的解析式的形式,對其在定區(qū)間上零點問題的解決需要考慮它是一次函數(shù),還是二次函數(shù),因而需就a 0和