圓與方程知識(shí)點(diǎn)整理

1、關(guān)于圓與方程的知識(shí)點(diǎn)整理、標(biāo)準(zhǔn)方程x2.22 一,一a y b r 1.求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一一關(guān)鍵是求出圓心a, b和半徑r待定系數(shù)：往往圓上三點(diǎn)坐標(biāo),利用平面幾何性質(zhì)往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系,特別是：相切和相交 相切：利用到圓心與切點(diǎn)的連線垂直直線相交：利用到點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理2.特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法 條件(無需記,關(guān)鍵能理解)方程形式圓心在原點(diǎn)過原點(diǎn).22.2b a b 0圓心在x軸上圓心在x軸上且過原點(diǎn)與x軸相切圓心在y軸上r2 r 0圓心在y軸上且過原點(diǎn)b2 b 0b2 b與y軸相切與兩坐標(biāo)軸都相切般方程x2 y2 Dx Ey FD2E24F1. Ax2By2CxyD

2、xEy0表示圓方程那么2.求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法:A BC 0D 2AE"aB 00E 24 AF 03. D2 E2 4F 0?？捎脕砬笥嘘P(guān)參數(shù)的范圍三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1. 判斷方法：點(diǎn)到圓心的距離 d與半徑r的大小關(guān)系d r 點(diǎn)在圓內(nèi)；d r點(diǎn)在圓上；d r 點(diǎn)在圓外2. 涉及最值：(1)圓外一點(diǎn)B,圓上一動(dòng)點(diǎn)P,討論|PB的最值(2)圓內(nèi)一點(diǎn)A,圓上一動(dòng)點(diǎn)P,討論|PA的最值PBmin BN| |BC rPBmax lBM| BC| rPAmin lAN r |ACPAmax | AM r | AC四、直線與圓的位置關(guān)系1. 判斷方法(d為圓心到直線的距離)(1)

3、相離沒有公共點(diǎn)0d r (2)相切只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)相交有兩個(gè)公共點(diǎn)0 d r這一知識(shí)點(diǎn)可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍2. 直線與圓相切(1)知識(shí)要點(diǎn)根本圖形 主要元素：切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程、切線長(zhǎng)等 問題：直線l與圓C相切意味著什么圓心C到直線l的距離恰好等于半徑r2常見題型一一求過定點(diǎn)的切線方程4切線條數(shù)點(diǎn)在圓外一一兩條；點(diǎn)在圓上求切線方程的方法及注意點(diǎn)條；點(diǎn)在圓內(nèi) 無i點(diǎn)在圓外2如正點(diǎn)P x0, y0,圓：x a.22y.b r 第一步：設(shè)切線l方程y y0 k xX0第二步：通過d r k,從而得到切線方程 特別注意：以上解題步驟僅對(duì) k存在有效,當(dāng)k不存在時(shí),

4、應(yīng)補(bǔ)上千萬不要漏了!如：過點(diǎn)P 1,1作圓x2 y2 4x 6y 120的切線,求切線方程.答案：3x 4y 1 0和x 1ii 點(diǎn)在圓上1假設(shè)點(diǎn)x°, y°在圓x判斷直線與圓相交的一種特殊方法一種巧合 ：直線過定點(diǎn),而定點(diǎn)恰好在圓內(nèi) 關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題y2r2上,那么切線方程為 x°xy°y會(huì)在選擇題及填空題中運(yùn)用,但一定要看清題目22 o2右點(diǎn)x0, y0在圓x a y b r上,那么切線萬程為x0 a x ay0 b y b r2碰到一般方程那么可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化,然后運(yùn)用上述結(jié)果由上述分析,我們知道：過一定點(diǎn)求某圓的切線方程,非常重要的第一步就是

5、一一判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,得出切線 的條數(shù).求切線長(zhǎng)：利用根本圖形,APCPAPJCP|2 r2求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程AC rkAc kAP13. 直線與圓相交1求弦長(zhǎng)及弦長(zhǎng)的應(yīng)用問題 垂徑定理及勾股定理一一常用弦長(zhǎng)公式：|'.1 k2x x21 k2 x1 x2 2 4*x2 暫作了解,無需掌握2例：右圓x 3 y5 2 r2上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x 3y 2 0的距離為1 ,那么半徑r的取值范圍是答案：4,64. 直線與圓相離會(huì)對(duì)直線與圓相離作出判斷五、對(duì)稱問題特別是涉及一些參數(shù)時(shí)1.假設(shè)圓x2 y22m1 x2mym0,關(guān)于直線x y 1答案：3 注意m1時(shí),D2

6、E24F 0 ,故舍去變式：點(diǎn)A是圓C : x22 yax4y 5 0上任意一點(diǎn),a 一,22.圓 x 1.y 321關(guān)于直線xy 0對(duì)稱的曲線方程是0,那么實(shí)數(shù)m的值為A點(diǎn)關(guān)于直線x 2y 1 0的對(duì)稱點(diǎn)在圓 C上,那么實(shí)數(shù)2一 2.一一 22. 變式：圓C1 : x 4 y 21與圓C2 : x 2 y 41關(guān)于直線l對(duì)稱,那么直線l的萬程為 一 .22.3. 圓x 3 y 11關(guān)于點(diǎn)2,3對(duì)稱的曲線方程是4. 直線l： y x b與圓C : x2 y2 1,問：是否存在實(shí)數(shù) b使自A 3,3發(fā)出的光線被直線l反射后與圓C相切于 ,24 7 點(diǎn)B , 假設(shè)存在,求出b的值；假設(shè)不存在,試說

7、明理由. 25 25六、最值問題方法主要有三種：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)代換；(3)參數(shù)方程1.實(shí)數(shù)x , y滿足方程x2 y2 4x 1 0 ,求：(1) L的最大值和最小值； 一一看作斜率x 5(2) y x的最小值； 截距(線性規(guī)劃),一、22. -一(3) x y的取大值和取小值.兩點(diǎn)間的距離的平萬2. AOB中,OBAOB內(nèi)切圓上一點(diǎn),求以 PA , PB , PO為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值.數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可!3.設(shè)P x, y為圓x2 y 1 2 1上的任一點(diǎn),欲使不等式x0恒成立,那么c的取值范圍是答案:c J2 1 (數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可!七、

8、圓的參數(shù)方程r cos為參數(shù)a r cos為參數(shù)r sinr sin八、相關(guān)應(yīng)用1.假設(shè)直線mx 2nyn R ),始終平分圓4x 2y0的周長(zhǎng),的取值范圍是2.圓C : x2y22x4y 40 ,問：是否存在斜率為使l被圓C截得的弦為AB,AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),假設(shè)存在,寫出直線l的方程,假設(shè)不存在,說明理由提示:xx2yy20或弦長(zhǎng)公式d .1 k2xx2 .答案：x y 13.圓C : x設(shè)P點(diǎn)是圓C上的動(dòng)點(diǎn),d | PA2 |PB2,求d的最值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).4.圓C : x25,直線l :2m 1 xm 1 y 7m 4 0 ( m R)(1)證實(shí)：不管m取什么值,直線l與圓C均

9、有兩個(gè)交點(diǎn);(2)求其中弦長(zhǎng)最短的直線方程5.假設(shè)直線y x k與曲線xy2恰有一個(gè)公共點(diǎn),那么k的取值范圍.O為坐標(biāo)原點(diǎn),問：是否存在實(shí)數(shù)6.圓x2 y2 x 6y m 0與直線x 2y 3 0交于P , Q兩點(diǎn),OP OQ,假設(shè)存在,求出m的值；假設(shè)不存在,說明理由九、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：幾何法d為圓心距(1) dr12外離2 d12外切 312d12相交(4) dr1 r2|內(nèi)切(5) d12內(nèi)含2.物圓公共弦所在直線方程圓 C1 : x22一一- 一一y DxEy F0,圓 C2：22_x y D2xE2yF20,那么 D1D2x E1E2 yF1 F20為兩相交圓公共弦方程

10、.補(bǔ)充說明：假設(shè)Ci與C2相切,那么表示其中一條公切線方程;假設(shè)Ci與C2相離,那么表示連心線的中垂線方程3圓系I可題(1 ) 過兩圓C1 : x2y2DxEyF10和C2 :22x yD2xE2yF20交點(diǎn)的圓系方程為22x yDx Ey R22x yD2xE2yF20 (1)說明：1上述圓系不包括 C2 ; 2當(dāng) 1時(shí),表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程公共弦2 過直線 Ax By C 0 與圓 x2 y2 Dx Ey F 0 交點(diǎn)的圓系方程為22x y Dx Ey F Ax By C 03有關(guān)圓系的簡(jiǎn)單應(yīng)用4兩圓公切線的條數(shù)問題相內(nèi)切時(shí),有一條公切線；相外切時(shí),有三條公切線；相交時(shí),有兩條公切線；

11、相離時(shí),有四條公切線十、軌跡方程1定義法圓的定義：略2 直接法：通過條件直接得出某種等量關(guān)系,利用這種等量關(guān)系,建立起動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式一一軌跡方程22例：過圓x y 1外一點(diǎn)A 2,0作圓的割線,求割線被圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程分析：OP|2 AP2 OA23相關(guān)點(diǎn)法平移轉(zhuǎn)換法：一點(diǎn)隨另一點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)動(dòng)點(diǎn) 主動(dòng)點(diǎn)AOQ的平分線交特點(diǎn)為：主動(dòng)點(diǎn)一定在某一的方程所表示的固定軌跡上運(yùn)動(dòng)例1.如圖,定點(diǎn) A 2,0,點(diǎn)Q是圓x2 y2 1上的動(dòng)點(diǎn),AQ于M ,當(dāng)Q點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程.分析：角平分線定理和定比分點(diǎn)公式的范圍得出x , y的范圍.(4)求軌跡方程常用到得知識(shí)XaXbXcXiX2x重心G x, y ,3中點(diǎn)P x, y ,x2內(nèi)角平分線定理:|BDaVtyyAyBycv北y2|cd|AC/3y2AB 定比分點(diǎn)公式： 韋達(dá)定理.AM,那么XmXaXbyAyBMB1,yM1例2.圓O :點(diǎn)A 3,0 , B、C是圓.上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),A、B、C呈逆時(shí)針方向排列,且求 ABC的重心G的軌跡方程法1: QBACBC為定長(zhǎng)且等于33設(shè) G x, yXaXb3yAyByc3 XbXc3yB yc取BC的中點(diǎn)為xE3.3 3,42Q OEXeXbyE故由CEXc2yByc2(1)得:法2:(參數(shù)法)設(shè) B 3cosC 3cosx, yXaOC3