第八章歐氏空間

1、第九章 歐氏空間 教學目標1理解歐氏空間、內積、向量的長度、夾角、正交和度量矩陣的概念。2理解正交組、正交基、標準正交基和正交矩陣的概念，理解n維歐氏空間的標準正交基的存在性和標準正交基之間過渡矩陣的性質，重點掌握施密特正交化方法。3理解歐氏空間同構的定義和同構的充要條件。4理解正交變換的定義及正交變換與正交矩陣的關系，掌握正交變換的幾個等價條件。5理解子空間的正交和正交補的概念，掌握正交補的結構和存在唯一性。6理解對稱變換的定義和對稱變換與對稱矩陣之間的關系，掌握實對稱矩陣特征值的性質，重點掌握用正交變換把實對稱矩陣及實二次型化為對角形和標準形的方法。教學重難點歐氏空間的定義，求向量的長度和

2、夾角的方法，施密特正交化方法，正交變換與正交矩陣的關系，用正交變換把實對稱矩陣及實二次型化為對角形和標準形的方法。教學方法講授，討論和習題相結合。教學時間18學時。教學內容歐氏空間的定義和性質，標準正交基，同構，正交變換，子空間，對稱矩陣的標準形，向量到子空間的矩離、最小二乘法*。教學過程1 定義、性質定義1：設是上的一個線性空間，在上定義了一個二元實函數(shù)，稱為內積，記為，如果它具有以下性質：（1）（2）（3）（4）當且僅當時。這里，則稱為歐幾里得空間（簡稱歐氏空間）例1、例2。練習： 1（1）。定義2：非負實數(shù)稱為的長度，記為性質：單位向量：長度為1的向量。單位化：不等式：，有 等號成立當且

3、僅當線性相關。在不同內積中，不等式的具體例子：例1中，例2中，1、（2）中，定義3：非零向量的夾角為， 。三角不等式：定義4：若，稱正交或垂直，記為性質：（1）兩個向量正交（2）只有零向量才與自身正交，除此之外，任意非零向量均不能與自身正交。（3）勾股定理：當時，可推廣到有限個向量正交的情形： 定義5：度量矩陣設是數(shù)域上的維線性空間，是它的一組基，有，這里由于，故，令，則，其中，則稱為基的度量矩陣。性質：不同基的度量矩陣是合同的。證明：設是的另一組基，設，則，則。證畢。若對，即，有，則稱度量矩陣是正定的。練習： 2；作業(yè)：1。 2 標準正交基一、標準正交基1、定義：在維歐氏空間中，由個向量組成

4、的兩兩正交的向量組稱為正交基，若個向量均是單位向量，則稱為標準正交基。由此可知：有正交基得到標準正交基的方法就是把正交基中的向量全部單位化。2、性質：（1）若是標準正交基，則有即標準正交基的度量矩陣是單位矩陣，反之也成立。（2） 即：。若，則。二、標準正交基的求法：設是數(shù)域上的維線性空間任一組線性無關的向量均能正交化，任一組正交向量組均能擴充為一組正交基，然后進行標準化（即單位化）即可。若是一組線性無關的向量，令可驗證兩兩正交，再單位化，令，即為要求的標準正交向量組。例；練習： 7；作業(yè)：6，9。三、由一組標準正交基到另一組標準正交基的過渡矩陣是正交矩陣。 證明：與是線性空間的兩組標準正交基，

5、且，因為：，即而是的第元素，故，即。正交矩陣：我們把滿足（或）的矩陣稱為正交矩陣。四、結論：由標準正交基到標準正交基的過渡矩陣是正交矩陣，反之，若兩組基之間的過渡矩陣是正交矩陣，而其中一組基為標準正交基，那么另外一組基也是標準正交基。 3、同構一、兩個歐氏空間同構1、定義：上的兩個歐氏空間稱為同構的，如果存在（雙射）滿足：（1）（2）（3）其中，稱為到的同構映射2、性質：（1）具有反身性、對稱性、傳遞性。（2）同構的歐氏空間有相同的維數(shù)，反之，有相同維數(shù)的兩個歐氏空間也同構。并且同構的歐氏空間有相同的性質。因此，以后對一個維歐氏空間，我們只需要研究與它同構的最簡單的歐氏空間即可。例：數(shù)域上的維

6、歐氏空間，是的一組標準正交基，作到的雙射：令，設（1）（2）（3）故數(shù)域上的維歐氏空間與同構。特別地：由同構關系的傳遞性知，所有維歐氏空間都同構。 4 正交變換一、正交變換1、定義：設是維歐氏空間，若，有 則稱是正交變換。2、等價命題：是正交變換，若是標準正交基，則也是標準正交基在任意一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣。3、正交變換的分類： 第一類的正交變換：第二類的正交變換：作業(yè)： 11。 5 子空間定義1：是歐氏空間的兩個子空間，若對恒有則稱為正交的，記為1、若對，恒有，則稱與正交，記為。2、若，則對有，故，從而，即有，故可推廣為定理5：若子空間兩兩正交，則和是直和。證明：只須證明零元素分解

7、唯一即可。設，其中用與上式兩邊作內積，有 ，所以。定義2：若，則稱為的一個正交補，記為。 顯然： 維（）+維（）=維（）定理6：歐氏空間的每一個子空間都有唯一的正交補。證明思路：取的一組基，擴充為的基，證明：作業(yè)： 13，15。 6 對稱矩陣的標準形回憶：任一對稱矩陣都合同于一個對角矩陣。本節(jié)結論：對任一級實對稱矩陣，都存在一個級正交矩陣，使得為對角形。一、實對稱矩陣的性質：（1）是實對稱矩陣，則的特征值皆為實數(shù)。（2）是實對稱矩陣，如下定義線性變換：對， 則對，有，即。（3）設是對稱變換（即滿足，），是子空間，則也是子空間。（4）是實對稱矩陣，則中屬于的不同特征值的特征向量正交。二、結論：定理7：任一階實對稱矩陣，都存在一個階正交矩陣，使得為對角形。（利用數(shù)學歸納法證明）三、如何求正交矩陣，使得為對角形？步驟：1、求的特征值；2、對每個，解線性方程組求出該齊次線性方程組的基礎解系，就是的特征子空間的一組基，并由此求出的一組標準正交基；3、把，