酉矩陣和正交矩陣的性質和應用

1、 正交矩陣與酉矩陣的性質和應用0 前 言11 歐式空間和正交矩陣21.1 歐式空間21.2 正交矩陣的定義和性質21.2.1 正交矩陣的定義和判定21.2.2 正交矩陣的性質42正交變換的定義和性質122.1正交變換定義的探討122.2正交變換的判定142.3正交變換的性質153正交矩陣的應用173.1正交矩陣在線性代數中的應用173.2利用正交矩陣化二次型為標準形223.2.1 對稱矩陣可對角化的相關理論證明223.2.2 對稱矩陣對角化的具體方法及應用舉例233.2.3利用正交矩陣化簡直角坐標系下的二次曲面方程253.3正交矩陣在矩陣分解中的作用273.4正交矩陣在方程組的求解中的應用36

2、4 酉空間和酉矩陣394.1 酉空間394.1.1 酉空間的定義394.1.2 酉空間的重要結論394.2 酉矩陣414.2.1 酉矩陣的定義414.2.2 酉矩陣的性質415酉矩陣的應用505.1酉矩陣在矩陣的分解中的應用505.2 利用酉矩陣化正規(guī)矩陣為對角形矩陣556 正交矩陣與酉矩陣597結論62參考文獻63致謝640 前 言正交矩陣是一類特殊的實方陣,酉矩陣是一類重要的復矩陣,它們的一些特殊性質,使得它在不同的領域都有著廣泛的應用,也推動了其它學科的發(fā)展. 隨著科學技術的迅速發(fā)展,特別是計算機的廣泛應用,矩陣問題特別是特殊矩陣的性質及其構造越來越受到科學工作者以及工程人員的重視.它不

3、僅局限于一個數學分支,而且許多理工方法和技術的發(fā)展就是矩陣理論的創(chuàng)造的應用與推廣的結果.在矩陣理論的研究中,正交矩陣與酉矩陣在線性代數、優(yōu)化理論、計算方法等方法都占有重要的地位.戴立輝等(2002)對正交矩陣進行了詳細的研究,得到了正交矩陣的若干性質；2005年,雷紀剛在矩陣理論與應用中給出了正交矩陣和酉矩陣的關系并證明了酉矩陣就是等距變換；2006年,蘇育才在矩陣理論中介紹了酉矩陣的概念的推廣和酉矩陣的一系列性質；2008年,吳險峰在正交矩陣的進一步探究中給出了正交矩陣和酉矩陣的一些性質定理,這些都為正交矩陣和酉矩陣的應用奠定了基礎.在矩陣理論中,經常利用矩陣來描述變換.在實空間中正交變換保

4、持度量不變,而正交變換中對應的變換矩陣就是正交矩陣,所以對正交矩陣的研究就顯得格外重要.同樣道理,想要得到復空間中保持度量不變的線性變換,就應該對正交變換進行推廣,將其推廣到復數域上,那對應的正交矩陣相應的也推廣到復數域酉矩陣.下面將通過矩陣理論的深入研究,對正交矩陣與酉矩陣進行比較,得到了酉矩陣的若干結果. 1 歐式空間和正交矩陣1.1 歐式空間設是實數域上一個線性空間,在上定義了一個二元實函數稱為內積,記作,它具有以下性質:1) （對稱性）;2) （線性）;3) （線性）;4) 是非負實數,且當且僅當（正定性）.這里是中任意的向量,是任意實數,這樣的線性空間稱為歐式空間.1.2 正交矩陣的

5、定義和性質在歐式空間中,由標準正交基到標準正交基的過渡矩陣是正交矩陣；反過來,如果第一組基是標準正交基,同時過渡矩陣是正交矩陣,那么第二組基一定也是標準正交基.1.2.1 正交矩陣的定義和判定正交矩陣有以下幾種等價定義及其判定定義1.1 為階實矩陣,若,則稱為正交矩陣.定義1.2 為階實矩陣,若,則稱為正交矩陣.定義1.3 為階實矩陣,若,則稱為正交矩陣.定義1.4 為階實矩陣,若的個行（列）向量是兩兩正交的單位向量,則稱為正交矩陣.由正交矩陣的定義可以推出幾個重要的關于正交矩陣的判定定理：判定定理 1 為正交矩陣.判定定理 2 為正交矩陣當且僅當的行向量組滿足其中且是記號.即的行向量組是歐幾

6、里得空間的一個標準正交基. 證明 為正交矩陣 .判定定理 3 為正交矩陣當且僅當的列向量組滿.其中且是記號.即的列向量組是歐幾里得空間的一個標準正交基. 證明 為正交矩陣 .例1.1 判斷矩陣(其中是實數)是否是正交矩陣.解 . 因此是正交矩陣.1.2.2 正交矩陣的性質性質1 設為正交矩陣,則1) ；2) 可逆,即存在,其逆也是正交矩陣；3) 也是正交矩陣.并且當為階正交矩陣時,當時,即;當時,即.證明 1) 由,可知,則.對正交矩陣,當時,我們稱為第一類正交矩陣；當時,則稱為第二類正交矩陣.2) 由可知可逆且又,故是正交矩陣. 3) 由1)知,是正交矩陣.而由,可以得出,故是正交矩陣.由,

7、當時,即;當時,即.性質2 設都是階正交矩陣,則1) , (為自然數),等都是正交矩陣.2) 也是正交矩陣.3) 準對角矩陣為正交矩陣均為正交陣.證明 1)由可知,所以為正交矩陣.從而再由性質1可推知(為自然數),等均為正交矩陣. 2) 因為及 故是正交矩陣.3) 準對角矩陣為正交矩陣 均為正交陣.性質3 1階正交矩陣只有.性質4 2階矩陣為正交矩陣的充要條件是為下列四型之一： ; ;. 其中;性質5 設為階正交矩陣,且,則必不可逆,即；設為奇數階正交矩陣,且,則必不可逆,即；設是第二類正交矩陣,則必不可逆；設是奇數階第一類正交矩陣,則必不可逆.證,得,即不可逆. 知當為奇數時, ,即.從而不

8、可逆. 由是第二類正交矩陣,則,而,所以,即必不可逆. 由是第一類正交矩陣,則.而.所以當是奇數時,有,即必不可逆.性質6 階非零矩陣為正交矩陣的充要條件是對任意的階矩陣有 .證明 必要性. 設是階正交矩陣.由得.從而根據矩陣理論可知對任意階矩陣,有.充分性. 設對任意的階矩陣,.特別地我們可選取.這里表示位于第行第列交叉位置上的元素為1,其余元素均為零的階矩陣.記，那么 記的個列分別為,于是有 所以易知而由矩陣是1階矩陣,可知綜合以上數式,可得進而得到 由此即知為正交矩陣.正交矩陣的性質主要有以上幾點,另外還有以下性質,例如性質7 正交矩陣的實特征值的模為1,且屬于不同特征值的特征向量相互正

9、交. 證明 設為正交矩陣,為的實特征值,為對應的實特征向量,則,取共軛轉置得,再右乘有.利用得.由于,所以,故有.設1和-1是正交矩陣的不同特征值,設其對應的特征向量分別是,即,則易得由是正交矩陣，則故而因此即正交矩陣對應不同的特征值的特征向量是相互正交的.性質8 如果是正交矩陣的特征值,那么也是它的特征值.證明 設是的特征值,則.由于是正交矩陣,于是.但與的特征值全部相同,而是的特征值.因此是的特征值.性質9 奇數維歐式空間的旋轉一定以1作為它的一個特征值. 證明 設旋轉對應的正交矩陣為,那么由于為奇數,且,于是,故,即1為的一個特征值.性質10 設均為階正交矩陣.(1)當時,則是的特征值；

10、(2)當且為偶數時,則1是的特征值；(3)當且為奇數時,則1是的特征值.證明 (1)只需證事實上, 其中從而,得證是的特征值.(2,3)只需證事實上,當且為偶數時,當且為奇數時,從而得證1是的特征值.性質11 設均為階正交矩陣,為的特征多項式,則當為偶數時, 其中為奇數時, 其中當為偶數時, 其中為奇數時, 其中證明 正交矩陣的特征多項式為其中為的一切階主子式的和乘以.令為的階主子式,為階主子式的代數余子式,為的余子式.若,則因為的階主子式,所以為的階主子式,故的一切階主子式之和等于的一切階主子式之和.為偶數時,有奇數項,由且為所有的之和乘以為所有的之和乘以其中故為奇數時,有偶數項,由且為所有

11、的之和乘以為所有的階主子式之和乘以其中相差一個符號.故所以,若,當為偶數時,的特征多項式有奇數項,它以為中間項,左右對稱項的系數相同,其中包括首項系數與常數項；當為奇數時,的特征多項式有偶數項,處于對稱位置的左右兩端系數僅差一個符號,因首項系數為1,且為-1,故也包括在內.若,則故的一切階主子式之和與的一切階主子式之和僅差一個符號.為偶數時,有奇數項,由且為所有的之和乘以為所有的之和乘以其中故為奇數時,有偶數項,由且為所有的階主子式之和乘以為所有的階主子式之和乘以其中相差一個符號.故所以若,當為偶數時,的特征多項式有奇數項,它以為中間項,左右兩邊對稱項的系數相差一符號,因首項系數為1,為,故也

12、包括在內；當為奇數時,的特征多項式有偶數項,處于對稱位置的左右兩端系數相同,其中包括首項系數與常數項均為1,也包括在內.性質13 正交矩陣的一切階主子式之和與一切相應階主子式之和或相等或僅差一符號.性質14 正交矩陣可以對角化,即存在復可逆陣使得,其中為的全部特征值,即.性質15 對稱正交矩陣的行列式證明 由對稱正交矩陣的特征值只有1或.設的個特征值中有個,則剩下的就是個1.由故所以例如對稱正交陣有性質16 當階正交矩陣為基礎循環(huán)矩陣時,則它的全部特征值為實根,且為個次單位根.證明 設為基礎循環(huán)矩陣.可知的特征多項式為則其特征根為.故為次單位根.2正交變換的定義和性質在標準正交積下,正交變換與

13、正交矩陣對應,本文中提到在探討性質應用之前,先得了解正交矩陣的出處,正交矩陣來自于正交變換的定義,設(V)是歐幾里得空間的線性變換,如果保持內積不變,也就是說,對任意的,有.正交變換是保內積的,也即保長度和夾角,則變換前后的圖形全等.2.1正交變換定義的探討 在解析幾何中,我們學過正交變換的定義,正交變換就是保持點之間距離不變的變換,正交變換也是高等代數與線性代數中常見的定義,其表述方式為： 定義2.1.1 設是歐氏空間的一個線性變換,如果保持向量內積不變,即對,都有,則它是正交變換.定義2.1.2 設是歐氏空間的一個線性變換,如果保持向量的長度不變,即對,有,則此線性變換叫做正交變換. 因此

14、由上述可知,在線性變換的前提條件下,保持向量的長度不變與保持向量的內積不變是等價的.探討1 事實上,我們可以對定義2.1.1作一個修改.在此之前,我們先看下面 的命題：命題 設是歐氏空間的一個變換,如果保持向量內積不變,即有,則它一定是線性的,因而也是正交變換.證明 先證. 對,有 ,故即其次再證 即是線性變換,因此也是正交變換. 由命題可知,定義1中是線性變換是多余的,因此定義可以修改為：定義1 歐氏空間中的一個變換,若它保持向量內積不變,即有,則為正交變換.探討2 由定義1到定義1,將條件中線性變換降弱為變換,于是我們就問可以將定義2中的線性變換也降弱為變換？事實上,這是不行的,我們用一道

15、考研題來說明.中國人民大學1991年考研試題：歐式空間中,保持向量長度不變的變換是否一定是正交變換？若是給出證明,若不是舉出反例.答 不一定是正交變換.例如設內積如通常所述,定義.令,則,顯然.即變換保持長度不變,但不是線性變換.設,則,而,顯然.故不是正交變換. 探討3 在解析幾何中,正交變換是保持點之間距離不變的變換,下面將研究,在歐式空間中,保持向量距離不變的變換是否為正交變換？下面以一道山東大學考試題說明：設歐氏空間定義為距離,問保持距離不變的變換是否為正交變換？答 不一定是正交變換,比如在中的向量平移令,則 顯然它保持距離不變,不是線性變換.但, 而,所以不是線性變換,也不是正交變換

16、.總之,由以上討論線性變換在歐氏空間的前提條件下,它保持向量的內積與保持向量長度以及保持向量距離不變是等價,但是在僅為歐氏空間的變換前提下上述三者之間不存在等價關系. 2.2正交變換的判定定理 設是維歐式空間的一個線性變換,則以下命題等價:是正交變換;是線性變換,是標準正交積,則也是標準正交積;是線性變換,在任意一組標準正交積下的矩陣是正交矩陣;對任意的,有,對任意的,有,對任意的,有,證明 用兩步循環(huán)法:其中見課本教材定理4.下面證明 是正交變換是線性變換.故對任意的,有. 是正交變換 對任意的,有.兩邊開方即得.設,有取,則由,有由即.又 得.故是正交變換. 2.3正交變換的性質性質1 正

17、交變換的行列式等于+1或者-1.行列式等于+1的正交變換稱為旋轉,或者稱為第一類的；行列式等于的正交變換稱為第二類的.證明 正交變換在標準正交基下的矩陣是正交矩陣,的行列式等于的行列式. 所以正交變換的行列式等于+1或者-1. 行列式等于+1的正交變換稱為旋轉,或者稱為第一類的； 行列式等于的正交變換稱為第二類的. 性質2 第二類正交變換一定以-1作為它的一個特征值.證明 設是一個第二類正交變換對應的矩陣,則.由于所以即-1是的一個特征值. 性質3 正交變換是歐氏空間的一個自同構映射.證明 設是的正交變換,在任一標準正交基下的矩陣為正交矩陣,它有逆矩陣,故有逆變換,因而是到上的雙射.對于任意的

18、,由是正交變換知,所以是到的一個自同構映射. 性質4 正交變換的乘積、正交變換的逆變換還是正交變換.證明 設是的正交變換,及 知都是的線性變換. 3正交矩陣的應用3.1正交矩陣在線性代數中的應用在正交矩陣中,有一類初等旋轉矩陣,我們也稱它為Givens矩陣.這里,我們將利用正交矩陣可以表示成若干初等旋轉矩陣的乘積,給出化歐式空間的一組基為標準正交基的另一種方法. 設向量,令,則稱階矩陣 i列 j列為初等旋轉矩陣.初等旋轉矩陣,是由向量的第兩個元素定義的,與單位矩陣只在第行和第列相應的四個元素上有差別.設是由向量定義的初等旋轉矩陣,則有如下的性質:<1> 是正交矩陣;<2>

19、; 設,則有;<3> 用左乘任一矩陣,只改變的第行和行元素（用右乘任一矩陣,只改變的第列和列元素）. 證明 <1> ,故,是正交矩陣. <2> 由得定義知,用左乘向量,只改變的第兩個元素,且所以左乘,使的第個分量非負,第個分量為0,其余分量不變.<3> 根據 <2> 及矩陣乘法即可以得出結論. 引理 3.1.1 任何階實非奇異矩陣,可通過左連乘初等旋轉矩陣化為上三角矩陣,且其對角線元素除最后一個外都是正的.定理 3.1.1 設是階正交矩陣<1> 若,則可表示成若干個初等旋轉矩陣的乘積,即;<2> 若,則可以表示

20、成若干個初等旋轉矩陣的乘積再右乘以矩陣,即,其中是初等旋轉矩陣.證明 由于是階正交矩陣,根據引理3.1.1知存在初等旋轉矩陣使這里是階上三角陣,而且得對角線上的元素除最后一個外都是正的,所以有 (3-1-1)由是正交矩陣和(3-1-1)式得 即 (3-1-2)設 其中,則 由上式得 所以 (3-1-3)于是由(3-1-1)和(3-1-3)式得<1> 當時,;<2> 當時,.記,是初等旋轉矩陣,故定理1結論成立. 引理 3.1.2 設,秩,則可以通過左連乘初等旋轉矩陣,把變?yōu)榈男问?其中是階上三角陣,是矩陣.證明 由引理3.1.1知,其中是階正交矩陣,是階上三角陣,又根據

21、定理3.1.1知，其中是初等旋轉矩陣.<1> 當時,令<2> 當時,于是有顯然,是階上三角陣. 當時,與除最后一行對應元素絕對值相等、符號相反外,其余元素對應相等. 當時,所以由<1>、<2>知本定理的結論成立.設是歐式空間的子空間的一組基,記,則是秩為的矩陣. 若滿足引理3.1.2的條件,則存在初等旋轉矩陣使得 (3-1-4)且 (3-1-5)由(3-1-4)和(3-1-5)兩式知,對和做同樣的旋轉變換,在把化成的同時,就將化成了,而的前個列向量屬于子空間.綜上所述可得化歐式空間的子空間的一組基為一組基為準正交基的方法為(其中):<1&g

22、t; 由已知基為列向量構成矩陣;<2> 對矩陣施行初等旋轉變換,化為,同時就被化為正交矩陣,這里是階上三角陣;<3> 取的前個列向量便可得的一組標準正交基.顯然,上述方法是求子空間的一組標準正交基的另一種方法.下面,我們通過實例說明此方法的應用：例 3.1.1 求以向量為基的向量空間的一組標準正交基.解 矩陣 對分塊矩陣依次左乘,其中得 則 取則就是由得到的的一組標準正交基.3.2利用正交矩陣化二次型為標準形任意一個階矩陣可對角化的充要條件是有個線性無關的特征向量,那么對稱矩陣的對角化需要什么條件,怎樣進行對角化?下面的討論將給出答案.3.2.1 對稱矩陣可對角化的相關

23、理論證明定理 3.2.1 實對稱矩陣的特征值都是實數. 證 設是階實對稱陣,是的特征值,是屬于的特征向量,于是有.令,其中是的共軛復數,則,考察等式,其左邊為,右邊為.故=,又因是非零量,故,即是一個實數.因實對稱矩陣的特征值為實數,所以齊次線性方程組為實系數方程組,由知必有實的基礎解系,從而對應的特征向量可以取實向量.此定理的逆命題不成立.例如,均為實數,而不是對稱的.定理 3.2.2 設是實對稱矩陣,定義線性變換: (3-2-1)則對任意向量,有或.證 只證明后一等式即可.定理 3.2.3 設是實對稱矩陣,則中屬于的不同特征值的特征向量必正交.證 設是的兩個不同的特征值,分別是屬于的特征向

24、量,則,.定義線性變換如定理3.2.2中的(3-2-1),于是,.由,有.因為,所以.即正交.定理 3.2.4 對任意一個級實對稱矩陣,都存在一個級正交矩陣,使成為對角形且對角線上的元素為的特征值.證 設的互不相等的特征值為,它們的重數依次為.則對應特征值,恰有個線性無關的實特征向量,把它們正交化并單位化,即得個單位正交的特征向量,由知,這樣的特征向量共可得個.由定理3知對應于不同特征值的特征向量正交,故這個單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄孔鞒烧痪仃?則,其對角矩陣中的對角元素含個,個,恰是的個特征值.3.2.2 對稱矩陣對角化的具體方法及應用舉例定理3.2.4說明,對任何一個實對稱矩陣

25、總有正交矩陣存在,使它化為對角形.定理3.2.4的證明過程也給出了將實對稱矩陣對角化找出正交陣的方法,具體步驟如下：求出實對稱矩陣的全部特征值.對每個,由求出的特征向量.用施密特正交法,將特征向量正交化,再單位化,得到一組正交的單位向量組.以這組向量為列,作一個正交矩陣,它就是所要求的正交陣.根據上述討論,下面舉例說明.例 3.2.1 求一正交矩陣,將實對稱矩陣化為對角陣.解 由于,的特征值為,.對,由得基礎解系;對,由得基礎解系,與恰好正交,所以,兩兩正交.再將,單位化,令得,于是得正交陣, 則.例 3.2.2 設,求.解 先將對角化求出正交陣.,.由,分別得基礎解系,.則,則.利用求.定理

26、3.2.5 任意的一個實二次型都可以經過正交的線性替換變成平方和其中平方項的系數就是矩陣的特征多項式全部的根.3.2.3利用正交矩陣化簡直角坐標系下的二次曲面方程二次曲面的一般方程是 (3-2-2)令則(3-2-2)可以寫成 (3-2-3)經過轉軸,坐標變換公式為 其中為正交矩陣且在新坐標系中,曲面的方程就是 根據上面的結果,有行列式為1的正交矩陣使得 也就是說,可以作一個轉軸,使得曲面在新坐標系中的方程為 其中這時,再按照是否為零的情況,作適當的移軸與轉軸就可以把曲面的方程化成標準方程.譬如說,當全不為零時,就作移軸變換 于是方程就可化為其中例3.2.3 二次曲面的直角坐標系方程.作直角坐標

27、變換,把它化成標準方程,并指出是什么二次曲面.解 首先把方程左端的二次項部分經過正交替換化成標準型.二次型的矩陣是.則存在正交矩陣使得于是作正交替換可把二次型化成標準形.因此,作直角坐標替換,二次曲面在新的直角坐標系中的方程為由此可以看出,是單葉雙曲面.3.3正交矩陣在矩陣分解中的作用一些重要的矩陣分解涉及到了正交矩陣,包括:QR分解 奇異值分解 譜分解 極分解定理 3.3.1設是可逆的階實方陣.求證：存在正交陣和正定陣,使,且這個分解式是唯一的;存在正交陣和正定陣,使,且這個分解式是唯一的.證明 可逆正定,從而存在正定陣,使.則 即 故現假設還有另一分解,即.則 ,為正交陣,而的特征值為實數

28、且是正的 可對角化,即 分解式是唯一的.后者對用已證結果可得.推論1 設是一個階實可逆矩陣,是極分解,其中是正定矩陣,是正交矩陣,則 .證明 充分性.；必要性. 由及均為正定矩陣知它們均有正定平方根且和的平方根是唯一的,所以,故.定理 3.3.2 任一實滿秩矩陣可分解成一個正交陣與一個主對角線元素都大于零的上三角陣之積,且這種分解是唯一的,這個分解也稱為矩陣的QR分解.證明 設,其中為的列向量.為實滿秩矩陣 線性無關則可用施密特正交化方法,令 (3-3-1) 其中再將單位化,令 , (3-3-2)則為標準正交基,而為正交陣 由(3-3-1)和(3-3-2)解出,得 其中為上三角陣且為正實數.再

29、證唯一性 設還有正交陣及對角線元素為正實數的上三角陣,使.下證. 令,則,則既是正交陣又是上三角矩陣,即為對角矩陣,但與的主對角線元素為正實數,從而 而由是正交陣 即 .事實上,設是任一階實滿秩矩陣,則可唯一地分解成以下形式之一： 其中為正交陣,為主對角元均正的上三角矩陣；其中為正交陣,為主對角元均正的上三角矩陣；其中為正交陣,為主對角元均正的下三角矩陣；其中為正交陣,為主對角元均正的下三角矩陣；證明 已經證明.此時非奇異,按可得從而令則仍為主對角元都為正的上三角矩陣,令則仍為正交陣,從而同理,對與用的結果可證明和.例3.3.1將分解為正交矩陣與上三角矩陣之積.解 令,其中為的列向量,對用施密

30、特正交化方法得到正交向量,即再單位化得,即令 ,則為正交矩陣,為上三角矩陣,并且. 注 可見在掌握分解定理時,對證明的思路及步驟也必須熟練掌握.這樣在求矩陣的分解時才能用到.例3.3.2 （華中師大1994,1996）設是n階實可逆陣.求證存在階正交陣和,使得,其中且為的全部特征值. 證明 由定理3.3.1知,存在正交陣和使 (3-3-3）其中的特征值均為正,且為的全部特征值由為正定陣,從而存在正交陣,使得 (3-3-4)將(3-3-4)代入(3-3-3)得 ,即 (3-3-5) 其中,均為正交陣. 注 我們可以將(3-3-5)改寫為,這就是的一個分解即實可逆陣表示為（正交陣）（正定陣）（正交

31、陣）之積.例3.3.3（浙江大學,天津師范大學）設為階實矩陣,且,則矩陣,其中,分別為階和階的正交矩陣,而.證明 由題意知不是正定陣 從而存在正交陣,使 (3-3-6)又 不失一般性,不妨設,令 ,由(3-3-6)得 (3-3-7) 將分塊,令 (3-3-8)由于為正交陣用左乘,右乘(3-3-8)兩端得 (3-3-9)令 ,則為實矩陣,且 (3-3-10) (3-3-11)由(3-3-11)得 (3-3-12)由于 有個線性無關的解,將它們正交單位化后構造矩陣,這樣由,可得 但 令,由于從而為正交陣,并(3-3-8)(3-3-13)式 由(3-3-14)式得 (3-3-15)其中由(3-3-1

32、5)知 .（證法二）由假設存在階與階可逆矩陣,使對,作分解, 其中,分別為m階與n階正交矩陣,分別為非奇異的正三角矩陣與下三角矩陣,則 (3-3-16)其中為的 階順序主子陣,為的 階下三角順序主子陣,所以是階可逆矩陣,因而存在正交矩陣,使得 ，其中,. （3-3-17)令 將(3-3-17)代入(3-3-16)得 且,.例3其實矩陣分解的一個類型,也就是矩陣的奇異值分解問題,而由矩陣的奇異值分解,我們可以得到矩陣的另一種分解模式,即矩陣的極因子分解問題.定理3.3.3設為階實方陣,那么 必有分解式,其中為正交陣； 當時,式中的分解是唯一解.證明 由矩陣的奇異值分解,知存在正交陣,使得,其中.

33、 , 其中 (3-3-18) (3-3-19) 其中 用左乘(3-3-18)式兩邊,得 其中 用右乘(3-3-19) 式兩邊得 令 即 由可唯一確定,而當非奇異時存在,可唯一決定.例3.3.4 設為任意n階實矩陣,且 ,則,這里為正交矩陣.證明 由矩陣的極因子分解,我們有 ,其中,為正交陣, ,這里為正交陣.注 當是非奇異矩陣時,本條極易證明.由 得這證明是正交矩陣 以上均說明了矩陣分解與正交陣之間的關系,但作為正交陣分解本身而言,也是特殊的.例3.3.5 設是正交矩陣,求證存在正交陣,使得.證明 是正交陣存在可逆陣,使得顯然存在正交陣,使得而 .例3.3.6 設為階矩陣,且,證明：秩+秩.（

34、廈門大學06）解 由于,則.因此為的化零多項式.從而有.所以的最小多項式的根只能為-1或1.又的特征多項式與最小多項式有相同的根,因此的特征值為-1或1.假設的特征值中有個-1（或1）,則的另外的個特征值必為-1（或1）.故而存在正交矩陣,使得 則有 因此 同理可得 則有 從而有 秩+秩 . 3.4正交矩陣在方程組的求解中的應用如果線性方程組的系數陣是列正交矩陣,則其有唯一解例3.4.1 設為正交矩陣,且求解矩陣方程解 的第一行為單位向量,因而 的第一列為單位向量,因而 將矩陣的正交三角分解代入方程的正規(guī)化方程得,即所以正規(guī)化方程的解為此即原方程的最小二乘解.如果是實矩陣,則 例3.4.2 用

35、分解解線性方程組其中 解 將的三個列向量正交化,可得 再單位化,得 則由于所以由可得 所以將代入原方程組成立.所以它是原方程組的解.例3.4.3 方程組顯然無解,但列滿秩矩陣的正交分解為 因此原方程兩端同乘以得顯然這是原方程組的最小二乘解.理論中,經常利用矩陣來描述變換. 在實空間中正交變換保持度量不變,而正交變換中對應的變換矩陣就是正交矩陣,所以對正交矩陣的研究就顯得格外重要. 同樣道理,想要得到復空間中保持度量不變的線性變換,就應該對正交變換進行推廣,將其推廣到復數域上,那對應的正交矩陣相應的也推廣到復數域就是酉矩陣.4 酉空間和酉矩陣4.1 酉空間4.1.1 酉空間的定義設是復數域上一個

36、線性空間,在上定義了一個二元復函數,稱為內積,記作,它具有以下性質:1) ,是的共軛復數;2) ;3) ;4) 是非負實數,且當且僅當.這里是中任意的向量,是任意復數,這樣的線性空間稱為酉空間. 例4.1.1 在線性空間,對向量定義內積為 顯然上述內積滿足定義4.1.1中的條件.這樣就成為一個酉空間.4.1.2 酉空間的重要結論由于酉空間的討論與歐氏空間的討論很相似,有一套平行的理論,因此在這只簡單地列出重要的結論,而不詳細論證. ,是的共軛復數. .由和,設,則因為在酉空間V中對于是一個非負實數,所以可以像空間那樣,定義向量的長度為這樣,中任意非零向量的長度總是一個正實數,長度是1的向量稱為

37、單位向量顯然都有 在一個酉空間中,柯西布涅柯夫斯基不等式仍然成立設則當且僅當與線性相關時等號成立注意：酉空間中的內積一般是復數,故向量之間不易定義夾角,但仍引入向量,當時稱為正交的或互相垂直.在一個酉空間里,同樣可以定義正交組和標準正交組的概念酉空間的一組兩兩正交的非零向量叫做的一個正交組若一個正交組的每一個向量都是單位向量,則稱這個正交組是一個標準正交組 在一個有限維酉空間中,同樣可以定義正交基和標準正交基的概念正交化方法對于酉空間的向量仍然適用,任意一組線性無關的向量可以用施密特過程正交化,并擴充為一組標準正交基,并且對于的任意一個基,可以通過正交化方法將它化為標準正交基設是酉空間的一個有

38、限維線性子空間，令則也是的子空間,叫做的正交補我們有 4.2 酉矩陣4.2.1 酉矩陣的定義與正交矩陣相平行的概念是酉矩陣設,其中表示復數域上的全體階矩陣的集合.記 (是的共軛復數),定義4.2.1 一個滿足的階復矩陣叫做一個酉矩陣定義4.2.2 若階復方陣滿足則稱為酉矩陣.定義4.2.3 若階復方陣滿足則稱為酉矩陣.定義4.2.4 若階復方陣滿足則稱為酉矩陣.定義4.2.5 若階復方陣的個行(列)向量是兩兩正交的單位向量,則稱為酉矩陣.從定義4.2.1-4.2.4知,酉矩陣是可逆矩陣.根據定義4.2.5可得,階酉矩陣的個行(列)向量構成的標準正交基.4.2.2 酉矩陣的性質性質1 設階矩陣為

39、酉矩陣,則 酉矩陣的行列式的模(或絕對值)等于1.即或者. 的伴隨矩陣也是酉矩陣. 都是酉矩陣. 證明 由得,從而或者.由所以為酉矩陣.因為,所以是酉矩陣.因為,所以是酉矩陣.因為,所以是酉矩陣.例4.2.1 令則 ,(1)因為所以 即,所以是酉矩陣.(2) 因為所以故由(1)知所以是酉矩陣.(3) 即 也是酉矩陣.(4) ;,而.因此,也為酉矩陣.性質2 （酉矩陣的乘積和乘方）設和是酉矩陣,則,也是酉矩陣.證明 因為,所以是酉矩陣,同理可證也是酉矩陣.(為正整數)是酉矩陣.,；,；,；,也是酉矩陣.,也是酉矩陣.,（,為正整數）也是酉矩陣.設,是酉矩陣,則, 也是酉矩陣.證明 因為所以是酉矩

40、陣.因為 所以是酉矩陣.定理 與酉矩陣酉相似的矩陣也為酉矩陣.即為酉矩陣,為酉矩陣,則也為酉矩陣.證明 由為酉矩陣,則. 所以是酉矩陣.性質3 設是酉矩陣,則對的任一行(列)乘以模為1的數或任兩行(列)互換,所得矩陣仍為酉矩陣.證明 設其中是的兩兩正交單位向量.顯然 ()及也都是的兩兩正交的單位向量.由定義4.2.5知結論成立.性質4 設是上（下）三角的酉矩陣,則必為對角矩陣,且主對角線上的元素的模等于1.證明 不妨設是上三角的酉矩陣.則其逆矩陣（上三角）等于其共軛轉置（下三角）,所以只能是對角矩陣.又故可得的主對角線上的元素的模等于1.性質5 二階矩陣為酉矩陣的充分必要條件是為下列三種形式之

41、一 這里,為整數.證明 必要性 設是二階酉矩陣,于是即展開得 （4-1） （4-2） 由（4-1）式得 ,于是可設 （4-3）其中和為非負實數,且當時,即可得定理中的形式.當時,即可得定理中的形式.當且時. 顯然,（4-2）式中第一個等式與第二個等式等價,把（4-3）代入（4-2）的第一個等式,得 根據實部、虛部同時為零,有 利用和差化積公式,可得 以上兩式左端平方求和,可得 再次利用和差化積公式,有另外,（4-2）中第三個等式與第四個等式等價,把（4-3）代入（4-2）的第三個等式,與上述推導同理可得所以即可得定理中的形式.充分性 設為定理中的三種形式之一. 當為形式或形式時,通過簡單計算可

42、知,為酉矩陣. 當為形式時,由于在必要性的證明過程中,每一步推導都是可逆推的,因此可以全部反推回去,即得.所以為酉矩陣.性質6 設,是酉矩陣,若是反矩陣,則也是酉矩陣,因此證明 因為 因此,當是反矩陣時,記也是酉矩陣,從而注 酉矩陣的和未必是酉矩陣.性質7 對任意的階酉矩陣和階可逆矩陣有.性質8 對任意的階酉矩陣和階酉矩陣有.性質9 設是酉矩陣,則的特征值的模為1,即分布在復平面的單位圓上.證明 設,則由可得于是而,故即性質10 設為酉矩陣,是的特征值,則是的特征值,而是的特征值.證明 設是的特征值,則.而又可知是的特征值,但與的特征值全部相同,因此是的特征值,而,所以是的特征值.性質11 設

43、是酉矩陣,則屬于的不同特征值的特征向量正交.證明 設是的屬于特征值的特征向量,是的屬于特征值的特征向量.由可得 所以,而,從而故,即與正交.性質12 設是酉矩陣,且為矩陣,則必為對合矩陣,從而的特征值等于1或.證明 由得.又因矩陣的特征值為實數,所以的特征值等于或1.性質13 矩陣為酉矩陣的充分必要條件是這里表示行列式的模,表示的共軛復數.證明設是酉矩陣. 則且.在等式兩邊左乘的逆矩陣并注意到,可得所以.設則 故而,兩邊取行列式并注意到,得,但由的非奇異性知.從而,注意到及,可得于是有.由知為酉矩陣.性質14 維酉空間的一個標準正交基到另一個標準正交基的過渡矩陣是一個酉矩陣性質15 酉空間的線

44、性變換,滿足,就稱為的一個酉變換. 酉變換在標準正交基下的矩陣是酉矩陣.性質16 如矩陣滿足則叫做埃爾米特矩陣.在酉空間中令是埃爾米特矩陣,則也是對稱變換.性質17 若是埃爾米特矩陣,則存在酉矩陣使得是對角型矩陣.性質18 設為埃爾米特矩陣,二次齊次函數叫做埃爾米特二次型.必有酉矩陣,當時 .證明 因為為埃爾米特矩陣,所以,其中為實數.令 ,則 5酉矩陣的應用5.1酉矩陣在矩陣的分解中的應用定理5.1.1 設是一個級可逆復矩陣,則可以分解成其中是酉矩陣,是一個上三角矩陣其中對角線元素都是正實數,并證明這個分解是唯一的；也唯一地存在酉矩陣和主對角線元素為正數的下三角矩陣使得.證明 設,其中為的列

45、向量 可逆,即為實滿秩矩陣 線性無關則可用施密特正交化方法,令 （5-1） 其中 再將單位化,令 , （5-2）則為標準正交基,而為酉矩陣 由（5-1）和（5-2）解出,得 . 其中為上三角陣且為正實數.再證唯一性 設還有酉矩陣陣及對角線元素為正實數的上三角陣,使.下證.令,則,則既是酉矩陣又是上三角矩陣,即為對角矩陣,但與的主對角線元素為正實數,而由是酉矩陣 即 ，所以分解是唯一的.后者同理證明.定理5.1.2 （三角化定理）任意的復方陣酉相似于上三角矩陣.即對任意階矩陣,存在酉矩陣,使得,其中為矩陣的特征值,稱形如這樣的分解叫做矩陣的特征值分解.例5.1.1 設為階實矩陣,為階單位矩陣.求

46、證 ,其中為虛數單位.（清華大學06）證明 由性質1,知存在可逆的酉矩陣,使得從而有 由于為階實矩陣,所以的特征多項式為次實多項式,又實多項式的復根是成對共軛出現的,因此的復特征值是成對共軛出現的.當的所有特征值都不是（或）,則的特征值不存在（或）.則此時 ,且有 ,而此時從而得 當的特征值中存在有（或）,則一定有一特征值（或）存在.并且有幾個（或）存在,相應的就有幾個（或）存在.又由于 ,從而知 （）中不為零的個數（）中不為零的個數從而可得定理5.1.2´ 任意階矩陣,存在酉矩陣,使得,其中,且為矩陣的特征值.例5.1.2 設為級矩陣,求證(1) 存在正整數使得秩()秩(); (2

47、) 若存在正整數使得秩()秩(),則對于任意正整數,秩()秩().證明 由性質,知存在酉矩陣,使得,其中,且為矩陣的特征值.不妨假設,則可得 ,為可逆矩陣,因此對任意的正整數,有 , （5-3）又對任意,且, （5-4）因此可令,則由（5-4）式,知 （5-5）由（5-5）得對任意的,有 從而由（5-3）和（5-5）得且對任意的正整數,也有 通過上述的討論,對矩陣的分解有了一定的認識.定理5.1.3 (矩陣的酉相抵標準形)設復矩陣的秩是,則有酉矩陣和使得 其中為正實數,為的所有非零特征根,而矩陣中右下角的O為零矩陣.定理5.1.4（矩陣的奇異值分解）設且則存在階和階的酉矩陣使得其中人造衛(wèi)星常常

48、需要將一些照片發(fā)回地面控制中心.大部分照片的規(guī)格是（像素）,即每幅圖片實際上包含超過260000個數據,因此將這些數據全部傳輸需要大量的計算并花費大量的時間.所以往往在傳輸之前必須對原始數據進行壓縮.以下我們需要敘述利用奇異值分解進行圖像壓縮的過程.用矩陣表示要傳輸的原始數據.設是的一個奇異值分解.其中對角矩陣的對角元素（即的奇異值）從小到大排列.假定我們選擇前個大奇異值進行圖像傳輸,就是說僅傳輸奇異值以及相對應的左右奇異向量則我們實際上傳輸了個數據,而不是原來的個數據.比值稱為圖像的壓縮比（其倒數稱為數據壓縮率）.利用矩陣的截尾奇異值分解可根據實際接收的數據還原圖像,即顯然,較大的可以獲得保真度較高的還原數據,較小的可以獲得較高的傳輸效率.在實際應用時,可以根據不同的需要適當選擇以獲得滿意的還原數據.定理5.1.5（方陣的極分解）任一復方陣可表示為其中為酉矩陣