高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題專題訓(xùn)練(精華)

1、 卓越個(gè)性化教學(xué)講義學(xué)生姓名 年級(jí) 高三 授課時(shí)間 教師姓名 劉 課時(shí) 02-圓錐曲線壓軸題-分類訓(xùn)練【知識(shí)點(diǎn)】1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率點(diǎn)到直線的距離 夾角公式：（3）弦長(zhǎng)公式直線上兩點(diǎn)間的距離： 或（4）兩條直線的位置關(guān)系=-1 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式） 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程： 參數(shù)方程：(2)、雙曲線的方程的形式有兩種 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程：（3）拋物線(4)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？ 3.方法（1）點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問題）設(shè)、，為橢圓的弦中點(diǎn)

2、則有，；兩式相減得=（2）聯(lián)立消元法：設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到兩個(gè)式子，然后-，整體消元······，若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為，就意味著k存在?！菊n堂練習(xí)】題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點(diǎn)，求的取值范圍解：根

3、據(jù)直線的方程可知，直線恒過定點(diǎn)（0，1），橢圓過動(dòng)點(diǎn)，如果直線和橢圓始終有交點(diǎn)，則，即。題型二：弦的垂直平分線問題。注：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。例題2、過點(diǎn)T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得即 由韋達(dá)定理，得：。則線段AB的中點(diǎn)為。線段的垂直平分線方程為： ， 令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。 解得滿足式 此時(shí)。例題3、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

4、 （）求過點(diǎn)O、F，并且與相切的圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。 解：(I) a2=2，b2=1，c=1，F(xiàn)(-1，0)，l:x=-2. 圓過點(diǎn)O、F,圓心M在直線x=-設(shè)M(-)，則圓半徑：r=|(-)-(-2)|= 由|OM|=r，得，解得t=±，所求圓的方程為(x+)2+(y±)2=.(II)由題意可知，直線AB的斜率存在，且不等于0,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k0)，代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F， 方程一

5、定有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)N(x0，y0)，則x1+x1=-AB垂直平分線NG的方程為令y=0，得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（）。題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題例題4、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程； （II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個(gè)根， 則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理

6、，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為 ，即 故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。例題5、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1； （）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， （II）設(shè)，由得：，（注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)間的變換）以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)且，解得，

7、且滿足當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)， 綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題。直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題。例題6、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E： 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，求直線PQ的斜率。 解：(I) ，且BC過橢圓的中心O ， 又 點(diǎn)C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點(diǎn)， ，則橢圓方程為：將點(diǎn)C代入方程，得

8、，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個(gè)根， 即 同理可得： 則直線PQ的斜率為定值。題型五：共線向量問題。解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過韋達(dá)定理-同類坐標(biāo)變換，將問題解決。例題7、設(shè)過點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M：+=1 于P、Q兩點(diǎn)，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得(x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即方法一：方程組消元法又P、Q是橢圓+=1上的點(diǎn) 消去x2，可得 即y2=又在橢圓上，2y22，

9、22 解之得：則實(shí)數(shù)的取值范圍是。方法二：判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：，由消y整理后，得P、Q是曲線M上的兩點(diǎn) 即 由韋達(dá)定理得： 即 由得，代入，整理得 ， 解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即時(shí)，易知或 。 總之實(shí)數(shù)的取值范圍是。例題8：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求的值 解法一：（）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡(jiǎn)得.（）設(shè)直線的方程為： .設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：， ， 所以點(diǎn)的軌跡是拋

10、物線，由題意，軌跡的方程為：.（）由已知，得. 則：.過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有： .由得：，即.題型六：面積問題例題9、（07陜西理）已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意 ，所求橢圓方程為。（）設(shè)，。 （1）當(dāng)軸時(shí)，。（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)時(shí)， 綜上所述。當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值。練習(xí)1、（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記的面積

11、為。 （）求在，的條件下，的最大值；（）當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程。解：（）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最在值1，（）解：由得 設(shè)到的距離為，則又因?yàn)?所以代入式并整理，得 解得，代入式檢驗(yàn)，。故直線的方程是題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問題例題10、（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點(diǎn)。 （）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫

12、圖）解法1：（）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是 .（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則.= =令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.題型八：角度問題例題11、（08陜西理）已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)（）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；（）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在

13、，說明理由解法一：（）如圖，設(shè)，把代入得，由韋達(dá)定理得，· ，· 點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，將代入上式得， 直線與拋物線相切， 即（）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，由（）知：軸，又 xAy112MNBO，解得 即存在，使問題九：四點(diǎn)共線問題例題12、（08安徽理）設(shè)橢圓過點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，

14、（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得， 即點(diǎn)總在定直線上方法二 設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得（3） (4)(4)(3) 得 即點(diǎn)總在定直線上問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）例題13：（07四川理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最大值和最小值；（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。解：（）解法一：易知， 所以，設(shè)，則因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)

15、，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又，又，即 故由、得或問題十一、存在性問題：（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）例題14：(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由

16、。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即：, 則,即：,要使,需使,即,所以又,所以,即或,直線為圓心在原點(diǎn)的圓的切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)因?yàn)樗? 所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB

17、的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 【作業(yè)】（后面有答案！）1. （江西卷）如圖，M是拋物線上y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB. （1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值； （2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且EMF=90°，求EMF的重心G的軌跡。2. (重慶卷) 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為。 (1) 求雙曲線C的方程；OABEFM (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。3 (重慶卷) 已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C

18、1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)。 (1) 求雙曲線C2的方程； (2) 若直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。4. （天津卷）拋物線C的方程為，過拋物線C上一點(diǎn)P(x0,y0)(x 00)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同)，且滿足.（）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；（）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.5.（遼寧卷）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足 （）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明； （）求點(diǎn)T的軌跡C的方程； （）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M， 使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案1.解：（1）設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(l>0)則直線MF的斜率為k，方程為由，消解得(定值)所以