中考數(shù)學(xué)幾何模型第12講主從聯(lián)動模型(解析版)

1、名師點睛當(dāng)軌跡為直線時hN M中考數(shù)學(xué)幾何模型12 :主從聯(lián)動模型?思考工如圖，P是直線8C上一動點，連接AP,取AP中點。，當(dāng)點尸在BC上運動時, 。點軌跡是？A揭秘：將點P看成主動點，點Q看成從動點，當(dāng)P點軌跡是直線時，。點軌跡也是一條直線. 可以這樣理解：分別過A、。向8C作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為AP=2AQ, 所以QN始終為AM的一半，即。點到BC的距離是定值，故。點軌跡是一條直線，且Q點運動 路徑長為P點運動路徑長的一半.思考2如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ,且NPCQ為定值，當(dāng)點P在直線 AB上運動，請?zhí)骄奎cQ的運動軌跡.揭秘：當(dāng)。尸與。夾角固定，

2、且AP=A。時，P、。軌跡是同一種圖形，且PPi=QQi. 可以這樣理解：易知CPPg/CPPi,則NCPPi=CQQi,故可知Q點軌跡為一條直線.?思考3如圖，點C為定點，點P是直線AB上的一動點，以CP為斜邊作RLCPQ,且 NP=30° ,當(dāng)點P在直線AB上運動，請?zhí)骄奎cQ的運動軌跡.-3-揭秘：條件CP LjC?；鹩霉潭〞r，P、。物跡是同一種佟I形，“有馬=二.可以這樣理解：由CPQs/kCPiQi，易得ACPP烏CPPi，則NCPPlCQQi，故可知Q點軌跡為 一條直線.總結(jié)條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量：彳段'主動點、從動點到定點的距離之比是定量.爆好

3、結(jié)論：主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形：主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角 當(dāng)主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運動路徑長:當(dāng)主動點、從動點到定點的距離不相等時,從動點運動路徑_從動點到定點距離主動點運動路徑一主動點到定點距離典題探究 啟迪思維探究重點例題L如圖，在等邊A8C中，A8=10, BD=4, BE=2,點P從點E出發(fā)沿EA方向運動，連結(jié)PD,以 PD為邊,在尸。的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊QPF,當(dāng)點尸從點上運動到點兒時，點F運動的路徑 長是.【分析】根據(jù)0產(chǎn)戶是等邊三角形，所以可知尸點運動路徑長與P點相同，P從七點運動到A點路徑

4、長為 8,故此題答案為8.變式練習(xí)>>>1 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A （-3,0）,點8是），軸正半軸上一動點，以AB為邊在A8的下 方作等邊aABP,點3在），軸上運動時，求OP的最小值.【分析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據(jù)ABP是等邊三角形且8點在直線上運動，故可 知尸點軌跡也是直線.取兩特殊時刻：（1）當(dāng)點8與點。重合時，作出P點位置P1： （2）當(dāng) 點8在x軸上方且與x軸夾角為60。時，作出P點位置尸2.連接P1P2,即為P點軌跡.根據(jù)NA8P=60?？芍?lt;8勺），軸夾角為60。，作0戶，勺鳥，所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3.3 所以O(shè)P

5、=.2例題2.如圖，正方形ABC。的邊長為4, E為BC上一點、,且BE=L F為A3邊上的一個動點，連接七人 以所為邊向右側(cè)作等邊EFG,連接CG,則CG的最小值為.【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點8向點A運動，由此作出G點軌跡：考慮到廣點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在。位置，最終G點在燈位置（&不一定在CO邊），即為G點運動軌跡.CG最小值即當(dāng)CG± Gfi2的時候取到，作CH± Gfi2于點H, 即為所求的最小值.根據(jù)模型可知：GQjjAB夾用為60。,

6、故GQzLEG.過點工作E£LCH于點F,則 F=&E = 1,CF=1CE = -,所以C”=*,因此CG的最小值為二.2 222變式練習(xí)>>>2. （2017秋江漢區(qū)校級月考）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，點E在A5上，點。為8c的中 點，EDW為等邊三角形.若點E從點8運動到點A,則M點所經(jīng)歷的路徑長為-6.【解答】解：當(dāng)點E在8時，M在A8的中點N處，當(dāng)點E與A重合時，M的位置如圖所示, 所以點E從點B運動到點A,則M點所經(jīng)歷的路徑為財N的長，:ABC是等邊三角形，。是8c的中點，：.ADLBC, NBAD=30°,:.AD=q02_

7、3 2=3a/§,EDM是等邊三角形， ：.AM=AD=3 ND4M=60。, /. N/V4M=300+60。=90。，AN=Lb=3,2在Ria NAM中，由勾股定理得：MN=小卜/十AM 2=J3 22=6,則M點所經(jīng)歷的路徑長為6, 故答案為：6.例題3.如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2/的一個定點，AC_Lx軸于點M,交直線k-九于點N,若點尸是線段ON上的一個動點，NAP8=30。，BA1.PA,則點尸在線段ON上運動時，A 點不變，B點隨之運動.求當(dāng)點P從點。運動到點N時，點5運動的路徑長是.【分析】根據(jù)/辦8=90。，乙4尸8=30。可得：AP:AB=6：1,故3

8、點凱跡也是線段，且P點軌跡路徑長與8點軌跡路徑長之比也為遙:1 . P點軌跡長ON為2#,故8點軌跡長為2。.變式練習(xí)>3. (2019東臺市模擬)如圖，平而直角坐標(biāo)系中，點A (0, -2) , 8 ( - 1, 0) , C ( - 5, 0),點。 從點B出發(fā)，沿x軸負方向運動到點G E為AD上方一點、,若在運動過程中始終保持4EOaAOB,則點七運動的路徑長為電5.【解答】解：如圖，連接。£V ZAED=ZAOD=90%.A, O, E,。四點共圓，NEOC=NE4O=定值， 點七在射線OE上運動，NEOC是定值. tan ZEOD=tan NOAB =>2 可以

9、假設(shè)E ( - 2m9 m) >當(dāng)點。與C重合時，AC=，52+2 2=V，；AE=2EC,. £C=2/29=V145一 V5 5，/. ( -2ak+5)5解得利二!或畢(舍棄)，55 r / 16 8 .e.E (，一),5 5點E的運動軌跡=OE的長=%度,55-故答案為號店.5名師點睛當(dāng)軌跡為弧線時思考1如圖，P是圓0上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點. 當(dāng)點尸在圓。上運動時，。點軌跡是？揭秘：。點軌跡是一個圓，考慮到。點始終為AP中點，連接A。，取AO中點M,則M點即為。點軌 跡圓圓心，半徑M0是0P一半，任意時刻，均有AMQsZkAOP, = = 1.P

10、O AP 2，J'結(jié)：確定。點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、0、P始終共線可得：A、M、。三點共線,由。為AP中點可得：AM=/2AO.。點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放.根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系:根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.99Q 思考2 ：如圖，P是圓。上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ_LAP且AQ=AP.當(dāng)點P在圓。上運動時，。點軌跡是?揭秘：。點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得AQ,故。點軌跡與P點軌跡都是圓.接 下來確定圓心與半徑.考慮AP_LA。，可得。點軌跡圓圓心M滿足AM_LA。；考慮AP=A。，可得。

11、點軌 跡圓圓心M滿足AM=A。，且可得半徑M2=P。.即可確定圓M位置，任意時刻均有 APO0A4QM.-25-999 思考3 ：如圖，AP。是直角三角形，/%。=90。，且AP=2A。, 當(dāng)P在圓。運動時，。點軌跡是？揭秘：考慮A/LAQ,可得。點軌跡圓圓心M滿足AM_LA。：考慮AP： AQ=2： 1,可得。點軌跡圓圓 心用滿足AO： AM=2： 1.即可確定圓M位置，任意時刻均有 APOs/VlQW,且相似比為2.推理：（1）如圖，P是圓。上一個動點，月為定點，連接AP，以A尸為一邊作等邊APQ. 當(dāng)點P在圓0上運動時，。點軌跡是和圓。全等的一個圓.（2）如圖，P是圓。上一個動點，A為定

12、點，連接AP,以A尸為斜邊作等腰直角aAP。.當(dāng)點尸在圓。上運動時，。點軌跡為按AP： AQ=AOz1的比例縮放的一個圓.總結(jié)：為了便于區(qū)分動點P、。，可稱點尸為“主動點”，點。為“從動點” .此類問題的必要條件：兩個定量，即：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（NP4Q是定值）：主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP： A0是定值）.結(jié)論：（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：NP40=NOAM：（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點距離之比：AP： AQ=AO： AM,也等于兩圓半徑之比, 也等于兩動點運動軌跡長之比，按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，。

13、與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮.古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.啟迪思維探究重點典題探究例題4.如圖，點尸(3, 4),圓P半徑為2, A (2.8, 0) , B (5.6, 0),點M是圓P上的動點，點C是M8的中點，則AC的最小值是.2【解答】號：如朝，在捺。交?于M'.&HOM .【分析】M點為主動點，。點為從動點，8點為定點.考慮。是8M中點，可知。點軌跡：取3P中點O, 以。為圓心，OC為半徑作圓，即為點C軌跡.當(dāng)A、C、O三點共線且點。在線段04上時，AC取到最 小值,根據(jù)8、尸坐標(biāo)求O,利用兩點間距離公式求得。4,再減去OC

14、即可.答案為巳變式練習(xí)>>>4. 如圖，在等腰RbABC中，AC=BC=2y/2,點P在以斜邊A3為直徑的半圓上，M為尸。的中點，當(dāng)點P從點A運動至點8時，點M運動的路徑長為.【分析】考慮。、M、尸共線及M是。尸中點，可確定M點軌跡：取A8中點0,連接CO取C0中點 以。為圓心，DM為半徑作圓O分別交AC、BC于E、F兩點，則弧E尸即為時點軌跡.當(dāng)然，若能理解 M點點區(qū)跡美系,可直接得到M點的軌跡長為P點軌跡1< 、上，即可解決問他.答案為2%例題，如圖，正方形ABC。中，A8 = 2/，。是BC邊的中點，點上是正方形內(nèi)一動點，0E=2, 連接OE,將線段OE繞點。逆時

15、針旋轉(zhuǎn)90。得。F,連接AE、CF.求線段。廠長的最小值.【分析】E是主動點，尸是從動點，。是定點，E點滿足EO=2,故E點軌跡是以。為圓心，2為 半徑的圓.DEA.DF DE=DF,故作DM，。且DM=OO,F點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓.直接連接。W，與圓M交點即為尸點，此時OF最小.可構(gòu)造三垂直全等求線段長，再利用勾股 定理求得OM，即可得到。尸的最小值.答案為5萬2變式練習(xí)>>>5. A8C中，AB=4, AC=2,以8c為邊在 ABC外作正方形5cOE, BD、CE交于點。，則線段AO的最 大值為.【分析】考慮到A3、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定A

16、8,將AC看成動線段，由此 引發(fā)正方形8CED的變化，求得線段AO的最大值.根據(jù)AC=2,可得。點軌跡是以點兒為圓心， 2為半徑的圓.接下來題目求A。的最大值，所以確定O點軌跡即可，觀察BOC是等腰直角三 角形，銳角頂點。的軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以O(shè)點軌跡也是圓，以為斜邊 構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點M即為點O軌跡圓圓心.連接AM并延長與圓M交點即為所求的 點0,此時A。最大，根據(jù)AB先求AM,再根據(jù)5c與80的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的 比值，得到MO,相加即得AO.答案為3&,本題或者宜接利用托勒丁 也可得最大值.名師點睛當(dāng)軌跡為其他種類時根據(jù)剛才我們的探究，所謂

17、“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據(jù)主、從 動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當(dāng)主動點軌跡是 其他圖形時，從動點軌跡必然也是.啟迪思維探究重點典題探究7例題6.如圖，在反比例函數(shù)），=-*的圖像上有一個動點A,連接A0并延長交圖像的另一支于點 xB,在第一象限內(nèi)有一點C,滿足AC=8C,當(dāng)點A運動時，點C始終在函數(shù)y =勺的圖像上運動， x若叱C48=2,則女的值為（）A. 2B. 4C. 6D. 8【分析】NAOC=90。且AO： OC=1： 2,顯然點。的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x 軸，垂足分別為 M、N,連

18、接 OC,易證 XMOsonC, ：CNROM, ON=2AM. ：.ONCN=4AM OM, 故&=4x2=8.【思考】若將條件“5/。3=2”改為飛48（7是等邊三角形”，k會是多少？變式練習(xí)>>>6. （2017深圳模擬）如圖，反比例函數(shù),、，=卷的圖象上有一動點4連接AO并延長交圖象的另一支于點B,在第二象限內(nèi)有一點C,滿足AC=8C,當(dāng)點A運動時，點C始終在函數(shù)產(chǎn)區(qū)的圖象上運動"anNCAB x=2,則關(guān)于x的方程r-5x+k=0的解為-1, .口一6.【解答】解：連接0C,過點A作AE_Ly軸于點E,由直線AB與反比例函數(shù)）=旨的對稱性可知A、

19、又AC=3C, ：.CO±AB.V ZAOE+ZAOF=90 NAOF+NCOF=90。，NAOE=NCOF,又NAEO=90c, ZCro=90%: AOEsXCOF,，膽=毆=坦，CF OF COVtanZCAB=2, ；.CF=2AE, OF=2OE.0x又AEOE=旦，CFS=l/d, ：.k=±6.2.,點C在第二象限，.“=-6,二關(guān)于x的方程x2 - 5x+k=0可化為x2 - 5x- 6=0,過點C作CFJ_y軸于點F,如圖所示, 8點關(guān)于。點對稱，AO=3O.解得 Xl= - 1, X2 = 6.故答案為：Xl= - 1, X2 = 6.例題7.如圖，A

20、(-1,1) , 8 (-1,4) , C (-5,4)，點尸是 ABC邊上一動點，連接。尸，以。尸為 斜邊在OP的右上方作等腰直角。尸Q,當(dāng)點尸在ABC邊上運動一周時，點。的軌跡形成的封 閉圖形而積為.【分析】根據(jù)aOP。是等腰直角三角形可得：。點運動軌跡與P點軌跡形狀相同，根據(jù)。尸:0。=應(yīng):1,可得P點軌跡圖形。0點軌跡圖形相似比為點:1,故面積比為2:1, aABC面枳為172x3x4=6,故Q點軌跡形成的封閉圖形而積為3.【小結(jié)】根據(jù)瓜豆原理，類似這種求從動點軌跡長或者軌跡圖形而積，根據(jù)主動點軌跡推導(dǎo)即可, 甚至無需作圖.變式練習(xí)>7. （2017春工業(yè)園區(qū)期末）如圖， ABC

21、的而積為9,點P在的邊上運動.作點尸關(guān)于原點。的 對稱點。，再以P。為邊作等邊 PQM.當(dāng)點P在 A8C的邊上運動一周時，點M隨之運動所形成的圖C. 27D.【解答】解：如圖， 點尸從點A出發(fā)，沿的邊從A-B-C-A運動一周，且點。關(guān)于原點O與點尸對稱. 點。隨點尸運動所形成的圖形是 ABC關(guān)于O的中心對稱圖形，以P0為邊作等邊P0M,時點對應(yīng)的A, B, C的點分別為Me 點是等邊三角形，:MQ=0OB, 同理 m（o=43oc9.坨=型=6，BO CO / NCO8+/3OM, =90。，計 N8OM,=90。:/COB=/MQMb,：.AMdACOB,同理，MnM=V34C>MaM

22、bMcsAABC, KMM 的面積=9x（V3）27,即點M隨點P運動所形成的圖形的面積為27.故選：C.E B例題8.如圖所示，AB=4, AC=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD,連接A。并延長 至點尸，使AO=P。，則P8的取值范圍為.A. 572【解答】解:C. 213如圖，連接。，以。為邊向下作等邊。從【分析】固定A8不變，AC=2,則C點軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓，以8c為斜邊作等腰直角三角形BCD,則。點軌跡是以點時為圓心、點為半徑的網(wǎng)考慮到AP="。，故P點軌跡是以N為圓心，2為半徑的圓，即可求出的取值范惘.答案為4-2點尸8<4 + 2點變式練習(xí)

23、»8. (2018秋新吳區(qū)期末)如圖已知：正方形OCA8, A (2, 2) , Q (5, 7) , A8_Ly軸，AC_Lx軸，OA, BC交于點、P,若正方形0cA8以。為位似中心在第一象限內(nèi)放大，點尸隨正方形一起運動，當(dāng)尸。達 到最小值時停止運動.以PQ的長為邊長，向尸Q的右側(cè)作等邊 P0Q，求在這個位似變化過程中，D 點運動的路徑長()連接。作Q£LLQ4交OA的延長線于£ .OQH, 尸都是等邊三角形，:，QO=QH, QP=QD, NOQH=NPQD=60。, ；/OQP=/HQD,OQPgAHQD (SAS),：OP=DH,.點D的運動路徑的長=點

24、P的運動路徑的長， ,直線 QA 的解析式為y=x, Q (5, 7) , QELOA.，直線EQ使得解析式為y=-x+12,由（kx,解得，石通，6）,uy=-x+12 y=6VP （L 1） , :.PE=5后,根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點尸與點E重合時，尸。的長最短， 點P的運動路徑的長為5«， 點D的運動路徑的長為5®,故選：A.例題9.（2019秋廝口區(qū)期中）如圖，一副含30。和45。角的三角板ABC和EDF拼合在一個平面上，邊AC 與七廠重合，BC=4m.當(dāng)點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點尸同時從點。出發(fā)沿射線方向 滑動，當(dāng)點上從點A滑動到點C時，點。運動的路徑長

25、為 （24 726）7，ZA = 30°, ZDEF=45°,：.AC=f3BC=2cm, AB=2BC=3im, ED = DF-退AC=,2當(dāng)點E沿AC方向下滑時，得 EDF,過點。作OTVLAC于點M作于點M,如圖所示:A Z;WDW=90°,且 尸=90。，NED'N=NFD'M.4，D' N=5 D' H在£)'*和DMF1 中，ZDy NE' =ZDy MF' =90" .Ey D' =D" F，DWE-DMF (AAS), ：.DN=DM,且 O'A

26、LLAC. DW±GW,，CD 平分/ACM,即點七沿AC方向下滑時，點。在射線。上移動，二當(dāng)EDD時,。值最大，最大值=血£。- CD= （12 - 6>/2）叫. "EE從點4滑動到點C時，點O運動的路徑長=2x （12-6V2）=（24- 12>/2）即 故答案為：（24- 126）.變式練習(xí)>>>9. （2018金華模擬）如圖，R3ABC中,9c=4, 9c=8, RS ABC的斜邊在x軸的正半軸上1點A與原點重合，隨著頂點A由。點出發(fā)沿y軸的正半軸方向滑動，點5也沿著x軸向點O滑動，直到與點。 重分時運動結(jié)束.在這個運動過程

27、中.（1） A8中點P經(jīng)過的路徑長_運.（2）點。運動的路徑長是碼5-12圖3【解答】解：（1）如圖1, V ZA0B=9Q尸為AB的中點，0P=工B,2AB=W0，。尸=24£，AB中點產(chǎn)運動的軌跡是以。為圓心，以op為半價的可弧,4即AB中點P經(jīng)過的路徑長=42x2肩=詆兀：4（2）當(dāng)A從。到現(xiàn)在的點A處時，如圖2,此時CA_Ly軸， 點。運動的路徑長是CC的長，AC=0C=8.: AC "OB, 工/ACOSB,：.cosZACO=cosZCOB=1,，-4=>=, OB 0Cy W5 0Cy，OC=4遮 ACC=4V5- 8：當(dāng)A再繼續(xù)向上移動，直到點8與。重

28、合時，如圖3,此時點C運動的路徑是從C到C，長是CC, CC=0C-BC=m-4, 上所述，點C運動的路徑長是：475-8+475-4=875- 12：故答案為：（1）心： （2） 85/5- 12.達標(biāo)檢測 領(lǐng)悟提升強化落實1. （2018秋黃岡期中）在 ABC中，N84C=90。，A5=AC=2c】，線段BC上一動點尸從C點開始運動,到8點停止，以AP為邊在AC的右側(cè)作等邊 ”Q,則。點運動的路徑為【解答】解：如圖，。點運動的路徑為。的長,:叢CQ和仆AB。，是等邊三角形，NCA0=N3AQ'=6O。，AQ=AC=AQ,=2cm,VZBAC=90°,，/。4。'=

29、90。，由勾股定理得：QQ，=dKq2+aq '_+2 2=2a/.。點運動的路徑為26(方：故答案為：272.2 .如圖，在矩形A8CQ中，AB=49 NOCA = 30。，點尸是對角線AC上的一個動點，連接。F,以DF為斜邊作NO正=30。的直角三角形OEE,使點E和點A位于。尸兩側(cè)，點廠從點A到點。的運動過程中, 點七的運動路徑長是我.NAO£=6(T,在 RtaAOE中，AD=, NOA£=30。, 3，。£=2/1_, ZCDF=30°, 3當(dāng)F與。重合時，Z£DC= 60%A ZEDF=90°, ZDEF=30&#

30、176;,在中，EE=&S；故答案為2迤.333 . (2019銅山區(qū)二模)如圖，已知點M (0, 4) , N (4, 0),開始時，ABC的三個頂點A、B、C分 別與點M、N、。重合，點A在y軸上從點時開始向點O滑動，到達點。結(jié)束運動，同時點8沿著x 軸向右滑動，則在此運動過程中，點C的運動路徑長4.【解答】解：過點C作CO_Lr軸，CE_L)，軸二點 M (0, 4) , N (4, 0),：OM=ON,丁 NCA'C+45o=NE48+NA，GB=45°+NMGB,：.ZEAC=ZB,GB.丁 NB，GB+NGB，B=45。, NGBB+NDBC=45。,，N

31、E4C=NO 9 C,又A'C=BC,ARtA AVERtA BCD (HL),：.EC=DC.C在第四象限的角平分線上，.C的運動軌跡是線段AC,工。的運動路徑長為4； 故答案為4：動過程中，點M的運動路徑長是_返.3. （2018寶應(yīng)縣三模）在RSA8C中，ZC=90°, AC=2 BC=2,若P是以A8為直徑所作半圓上 由A沿著半圓向8運動的一點，連接CP,過戶向下作PA/J_CP,且有PM=0.5CP,如圖示，求點P運【解答】解：如圖，丁點P的運動軌跡是半圓標(biāo)，PMA.CP,且有PM=0.5CP,可見點M的運動軌跡是半圓而.當(dāng)PC是直徑時，CM也是而的直徑，PC=AB

32、=4 時，PM=2, ：.CM=22+42=2的長=兀詆:煦， 故答案為代4. 如圖，已知線段AB=8,。為A5的中點，P是平面內(nèi)的一個動點，在運動過程中保持。尸=2不變，連 結(jié)BP,將PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。到PC,連結(jié)BC、AC,則線段AC長的最大值是，叵_.【解答】答案為：6x/25. （2017江陰市二模）如圖，線段A8為。O的直徑，點C在48的延長線上，AB=4. 8c=2,點尸是 。上一動點，連接CP，以。尸為斜邊在PC的上方作Rt2 PC。，且使NOC尸=60。，連接。，則。長的最大值為，退也【解答】解：如圖，作COE,使得NCEO=90。，NECO=60。, 貝|JCO=2C

33、E, OE=2病,ZOCP=ZECD,VZCDP=90°, NOCP=60。，：.CP=2CD.，四=空=2, : COPsfED, /.PL=£L=2,即 EO=Zp=1 （定長），CE CDED CD2:點E是定點,DE是定長，點。在半徑為1的。E上，；ODsOE+DE=2®, ：.OD 的最大值為 2芯+1,故答案為2«+L連接PQ，6. （2018建湖縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A （4, 0） . B （0, -3）,以點8為圓心、2為半 徑的。8上有一動點P.連接AP,若點。為AP的中點，連接。C,則OC的最小值為L5.丁。是從產(chǎn)的中點

34、，。是A。的中點，：,OC是 AP。的中位線，：.OC=PD,2連接BD交。8于E,0。=4, 08=3,30=5,當(dāng)點P與點E重合時，P。最小為5-2=3,故0C的最小值為1.5：解法二：當(dāng)點P運動到A3的延長線上時，即如圖中點。是APi的中點, 當(dāng)點P在線段A8上時，C?是中點，取GC2的中點為0,點。的運動路徑是以。為圓心，以O(shè)G為半徑的圓，當(dāng)0、C、。共線時，0C的長最小,設(shè)線段A8交。8于。，RtZkAOB 中，。4=4, 0B=3,.,08的半徑為2：.BP=2, AP =5+2=7, 。是AP的中點，AG=3.5, AQ=5-2=3,是AQ的中點，：.AC2=C2Q=1.5,Ci

35、C2=3.5 - 1.5=2,即。的半徑為 1, * AD = 1.5+1 =2.5 =AB,2 0。=工 B=2.5,2，OC=2.5- 1 = 1.5,故答案為：157. （2016江岸區(qū)校級模擬）如圖，線段AB=2, C是A3上一動點，以AC、8c為邊在A8同側(cè)作正 ACE、正 BCF,連EG點尸為EE的中點.當(dāng)點C從A運動到8時，P點運動路徑長為1【解答】解：如圖，分別延長AE、BF交于點、H.V ZA = ZFCB=60q9 ：.AH/CF,9： ZB=ZECA=60 ：.CE/BH.四邊形ECFH為平行四邊形，與C互相平分.尸為C的中點，P正好為EE中點，即在P的運動過程中，P始終為C的中點, 所以P的運行軌跡為三角形HAB的中位線MN.AB = 2, .MN=1,即尸的移動路徑長為1,故答案為：18. （2019秋江岸區(qū)校級月考）如圖，正aABC中，AB=2, AO_L8C于D, P,。分別是月8, BC上的動 點，且PQ=A。，點M在尸。的右上方且PM=QM, /M=