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1、vii117103193目錄前言1 應用與方法概述1.1 什么是偏微分方程11.2 求解并解釋偏微分方程72傅里葉級數(shù)1.1 周期函數(shù)181.2 傅里葉級數(shù) 261.3 以任意數(shù)為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)381.4 半幅展開:余弦級數(shù)和正弦級數(shù)501.5 均方逼近和帕塞瓦爾恒等式531.6 傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式601.7 受迫振動69收斂性的補充內(nèi)容1.8 傅里葉級數(shù)表示定理的證明771.9 一致收斂性和傅里葉級數(shù)851.10 狄利克雷判別法和傅里葉級數(shù)的收斂性943 直角坐標中的偏微分方程3.1 物理和工程中的偏微分方程1043.2 建模2弦振動和波動方程1093.3 一維波動方程的求解：分離

2、變量法1143.4 達朗貝爾方法1263.5 一維熱傳導方程1353.6 棒中的熱傳導：各種邊界條件1463.7 二維波動方程和熱傳導方程1553.8 直角坐標中的拉普拉斯方程1633.9 泊松方程:特征函數(shù)展開法1703.10 諾伊曼條件和羅賓條件1803.11 最大值原理1874 極坐標與柱面坐標中的偏微分方程4.1 各個坐標系中的拉普拉斯算子1944.2 圓膜的振動：對稱情況1984.3 圓膜的振動：一般情況 2074.4 圓域中的拉普拉斯方程 2164.5 圓柱體中的拉普拉斯方程 2284.6 亥姆霍茲方程和泊松方程 231關于貝塞爾函數(shù)的補充內(nèi)容4.7 貝塞爾方程和貝塞爾函數(shù) 237

3、4.8 貝塞爾級數(shù)展開 2484.9 貝塞爾函數(shù)的積分公式和漸近式 2615球面坐標中的偏微分方程2695.1 問題和方法概述 2705.2 對稱狄利克雷問題 2745.3 球面調(diào)和函數(shù)和一般狄利克雷問題2815.4 亥姆霍茲方程及其在泊松方程、熱傳導方程和波動方程中的應用291關于貝塞爾函數(shù)的補充內(nèi)容5.5 勒讓德微分方程3005.6 勒讓德多項式和勒讓德級數(shù)展開 3085.7 連帶勒讓德函數(shù)和連帶勒讓德級數(shù)展開3196 施圖姆-劉維爾理論及其在工程中的應用3256.1 正交函數(shù)3266.2 施圖姆-劉維爾理論3336.3 懸鏈 3466.4 四階施圖姆-劉維爾理論3536.5 梁的彈性振動

4、和屈曲3606.6 雙調(diào)和算子3716.7 圓板的振動3777傅里葉變換及其應用3897.1 傅里葉積分表示3907.2 傅里葉變換 3987.3 傅里葉變換法 4117.4 熱傳導方程和高斯核 4207.5 狄利克雷問題和泊松積分公式 4297.6 傅里葉余弦變換和正弦變換 4337.7 半無限區(qū)間上的問題 4407.8 廣義函數(shù) 4457.9 非齊次熱傳導方程4617.10 杜阿梅爾原理 4718拉普拉斯變換和漢克爾變換及其應用4798.1 拉普拉斯變換4808.2 拉普拉斯變換的進一步性質(zhì)4918.3 拉普拉斯變換法5028.4 漢克爾變換及其應用5089有限差分數(shù)值方法5159.1 熱

5、傳導方程的有限差分法 5169.2 波動方程的有限差分法5259.3 拉普拉斯方程的有限差分法5339.4 拉普拉斯方程的迭代法54110抽樣和離散傅里葉分析及其在偏微分方程中的應用54610.1 抽樣定理54710.2 偏微分方程與抽樣定理55510.3 離散傅里葉變換與快速傅里葉變換55910.4 傅里葉變換與離散傅里葉變換56711量子力學引論57311.1 薛定鄂方程57311.2 氫原子 57411.3 海森伯格不定性原理581關于正交多項式的補充內(nèi)容11.4 埃爾米特多項式和拉蓋爾多項式59012 格林函數(shù)和保角映射61112.1 格林定理和恒等式 61212.2 調(diào)和函數(shù)和格林恒

6、等式 62212.3 格林函數(shù) 62912.4 圓域和上半平面的格林函數(shù) 63812.5 解析函數(shù)64512.6 利用保角映射求解狄利克雷問題66312.7 格林函數(shù)與保角映射67412.8 諾伊曼函數(shù)和諾伊曼問題的解684附錄A 常微分方程：概念和方法回顧A.1線性常微分方程A2A.2常系數(shù)線性常微分方程A10A.3變系數(shù)線性常微分方程 A21A.4幕級數(shù)法，部分I A28A.5幕級數(shù)法，部分II A40A.6弗羅貝尼烏斯法A51B 變換表8.1 傅里葉變換表 A668.2 傅里葉余弦變換表A688.3 傅里葉正弦變換表 A698.4 拉普拉斯變換表A70參考文獻部分習題答案索引A1A65A

7、73A75A99刖百自本書第1版出版以來，我很高興地收到了來自讀者的積極回應。 這一版采 納了他們的許多建議，包含了更多的源自工程和物理的應用、 更多的數(shù)學證明與 理論。為保持原版的組織結構，大部分變化體現(xiàn)在各章后面的新增小節(jié)里。與第 一版一樣，本書旨在作為偏微分方程和邊值問題（包括傅里葉級數(shù)）的現(xiàn)代基礎教 材，供學完常微分方程基礎課程的學生使用。本書內(nèi)容與安排本書是為了讀者較好地從常微分方程基礎課程過渡到偏微分方程基礎課程 而設計的。雖然本書面向那些強調(diào)應用的工程、 數(shù)學和物理等專業(yè)的學生，但本 版新增內(nèi)容為教師提供了多種選擇：以理論為主的偏微分方程課程，或者強調(diào)邊 值問題和傅里葉級數(shù)的偏微

8、分課程。除了偏微分方程基礎課程的核心內(nèi)容（參見下面的“教學安排”）外，本書還包含許多特別專題，教師可以根據(jù)需要講授， 或者作為專題研究的題目。這些基于核心內(nèi)容的高級專題基本上是相互獨立的。預修要求在附錄A中，匯總了一些線性常微分方程的基本理論，包括級數(shù)法。教師可以根據(jù)需要將這些內(nèi)容仔細講授或完全省略，這是為了方便學生回顧與查閱.特別的，A.4A.6節(jié)包含了對幕級數(shù)方法和弗羅貝尼烏斯方法的詳細討論，適合 于那些第一次接觸這些內(nèi)容的學生閱讀。 考慮到現(xiàn)在在常微分方程基礎課程中省 略級數(shù)方法這一趨勢，我認為有必要對這些內(nèi)容作較為詳細的討論。習題和計算機輔助教學每一節(jié)的習題都以一組基礎題目開始， 這些

9、基礎題目是為了加深學生對該節(jié) 基本概念的理解而設計的；接著是難度較大的提高題，引導讀者對概念進行更深 入的理解。這些提高題通常都給出了詳細的提示，以使絕大多數(shù)學生都可以完成。 有些節(jié)包含了專題問題，專題問題是一些較長的習題，其結果有一定價值或涉及 相關的應用。專題問題可以由學生獨自完成，或由小組共同完成，或由教師作進 一步的講解。雖然本書是從傳統(tǒng)觀點來編寫的，無需計算機輔助教學，但還是包含了一些 需要利用計算機的例題和習題。需要使用計算機的習題都標上了計算機標記，這些問題都是要求學生利用計算機輔助作圖功能研究一些問題（例如傅里葉展開、 貝塞爾展開、勒讓德展開以及其他特殊函數(shù)的展開式的部分和序列

10、的收斂性），以及計算那些不易手算得到的數(shù)值數(shù)據(jù)（例如，廣義傅里葉級數(shù)的系數(shù)和超越方 程的根）。本版新增內(nèi)容本版顯著的變動如下：? 2.2節(jié)增加了一些傅里葉級數(shù)的例題和習題， 這些例題和習題建立在圖形基礎 上，用于增強學生閱讀和理解傅里葉級數(shù)圖形表示的能力。? 2.7節(jié)是新的，該節(jié)包含了應用傅里葉級數(shù)求解機械或電子系統(tǒng)的受迫振動。我們的討論超越了該領域的典型步驟， 通過對傅里葉級數(shù)解的分析，討論了一種 抑制系統(tǒng)高振蕩的方法。? 2.8節(jié)以及2. 9節(jié)的大部分內(nèi)容是新的。第2章最后三節(jié)較完整地討論了傅里 葉級數(shù)的逐點收斂以及一致收斂問題，包括分段光滑函數(shù)的傅里葉級數(shù)表示定理 的完整證明。這些內(nèi)容的

11、巧妙安排使之更適合于課堂教學。? 3.4節(jié)做了擴充，包含了特征線法、平行四邊形法等，以及達朗貝爾解的依賴 區(qū)間。? 3. 10節(jié)是新的，它研究了在矩形區(qū)域上帶有羅賓邊界條件或諾伊曼邊界條件 的邊值問題。? 4.4節(jié)做了擴充，以包含平面中的圓盤、鍥形和扇形區(qū)域上具帶羅賓邊界條件 或諾伊曼邊界條件的邊值問題。? 4.9節(jié)是新的，討論了貝塞爾函數(shù)的一些重要的高級性質(zhì)，如積分表示和漸近 公式。本節(jié)還對工程師、物理學家和應用數(shù)學家非常感興趣的定常相方法做了介 紹。? 6.6節(jié)和6.7節(jié)是新的，這兩節(jié)介紹了雙調(diào)和方程和板振動理論。這兩節(jié)綜合運用了前面幾節(jié)中的許多重要方法（貝塞爾函數(shù)的漸近公式、特征函數(shù)展開

12、法和 廣義傅里葉級數(shù)等）。? 7.2節(jié)增加了一些關于卷積的新例子，討論了卷積在求解邊值問題時的作用。? 7.8節(jié)是新的，討論了廣義函數(shù)、分段光滑函數(shù)的導數(shù)、卷積及其在計算分段 光滑函數(shù)的傅里葉變換中的應用。? 7.9節(jié)和7.10節(jié)是新的，這兩節(jié)包括杜阿梅爾原理及其在非齊次熱傳導方程 和波動方程中的應用，還引入了偏微分方程的基本解和弱解等概念。雖然這些內(nèi) 容看起來是純理論性的，但這兩節(jié)包含了很多有趣的應用和習題，以激發(fā)第一次 接觸它們的學生的學習興趣。第12章關于格林函數(shù)和共形映射的內(nèi)容是新的，這是一個關于格林函數(shù)和共 形映射的自封式的處理。和本書其他部分一樣，這一章也是按照便于閱讀的方式 編寫

13、的，該章包含了許多有趣的習題和應用。12.1節(jié)從線積分的基本性質(zhì)開始， 證明了格林定理，導出格林公式，最后證明了調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)；在 12.2節(jié) 和12.3節(jié)中，證明了調(diào)和函數(shù)的高斯平均值性質(zhì)和最大模原理，導出了格林函 數(shù)，討論了它們的理論和物理意義；12.3節(jié)還討論了求解格林函數(shù)的特征函數(shù) 法；在12.4節(jié)中，運用電像法推導出格林函數(shù)；12.5節(jié)從多方面介紹解析函數(shù) 及其在偏微分方程中的應用，該節(jié)包含柯西一黎曼方程以及許多有關解析函數(shù)在 求解狄利克雷問題中的相關應用；12. 6節(jié)介紹了保角映射及其在邊值問題中的 應用；在12. 7節(jié)和12.8節(jié)中，運用保角映射推導出格林函數(shù)和諾伊曼函數(shù)。附

14、錄A. 4是新的，綜述了幕級數(shù)知識，為其后幾節(jié)有關幕級數(shù)方法的討論做 了鋪墊。教學安排偏微分方程基礎課程。該課程包含如下核心內(nèi)容： 一第1章； 2.12. 4節(jié)，2.6 節(jié)；一第3章（3. 93. 11節(jié)為可選內(nèi)容）；4.1節(jié)，4.2節(jié)，4.4節(jié)（根據(jù)需要可選講4. 7節(jié)和4.8節(jié)）；5.1節(jié)，5.2節(jié)（根據(jù)需要可選講5.5節(jié)和5.6節(jié)）;6.1 節(jié)，6.2 節(jié)；7. 17. 7節(jié)；-8. 3節(jié)（根據(jù)需要可選講8.1節(jié)和8.2節(jié)）。強調(diào)工程應用的課程。將第5章的內(nèi)容替換為2.7節(jié)，6.3節(jié)，6.5節(jié)，6.6 節(jié)和6.7節(jié)中任何一節(jié)即可。強調(diào)物理應用的課程。將第7、8章的各節(jié)替換為第5、11的各

15、節(jié)。強調(diào)數(shù)學證明的課程。包含2.82. 10節(jié)。第12章關于格林函數(shù)的內(nèi)容以及 4.9節(jié)、6.6節(jié)、6.7節(jié)和7. 87. 10節(jié)，更 適合給低年級研究生或高年級本科生講授。相關網(wǎng)站作者的Mathematica文件和一本學生解題手冊以及其他有關本書的補充材 料，可以從作者的網(wǎng)站 http:/ math. missouri. edu/nakhle上下載。想得到教師解 題手冊的教師可以直接通過電子郵件nakhle math. missouri. edu與作者聯(lián)系.止匕外，希望擴充12.5節(jié)中的復變量內(nèi)容的教師可以參考 N.亞斯馬（N. Asmar）教授的另外一本書應用復分析和偏微分方程（在G .瓊

16、斯（G. Jones幫助下完成），由普倫蒂斯霍爾出版社（Prentice Hall）于2019年出版。在教師 的要求下，征得了該書編輯同意，書中的材料可以提供給學生。致謝Stephen Montgomery-Smith教授（密蘇里大學）向我提出了許多關于本書新版 的建議，在此向他表示感謝。我也非常感謝下面幾位審稿人 Grant W. Hart教授（楊 百翰大學物理系）、Robert B. Israel教授（英國哥倫比亞大學數(shù)學系 卜David G. Retzloff （密蘇里大學化學工程系卜Jun Yi（佛蒙特大學數(shù)學與統(tǒng)計系），他們慷 慨地與我分享了關于本書新版的很多想法。我也很高興地感謝D

17、arryl Yong教授（哈維瑪?shù)聦W院數(shù)學系）和Mark Lammers教授（北卡羅來納大學威爾明頓分校數(shù) 學系）。對Ghazi Asmar教授（圣母瑪利亞大學黎巴嫩分校機械工程系）在2.7節(jié)、6.4 節(jié)、6.6節(jié)和6.7節(jié)中提供的幫助表示衷心的感謝。同樣感謝下面幾位數(shù)學家 Mark W. Coffey（科羅拉多大學丹佛分校卜Richard Ford （加州州立大學奇科分校 卜 Stephen J. Greenfield（拉特格大學卜 Mark Kon （波士頓大學）、William G. Margulies 和Saleem Watson加州州立大學長灘分校），他們是本書第1版的審稿人。感謝

18、Richard Winkel在計算機技術上提供的幫助。本書的編輯一Prentice Hall出版社的George Lobell向我提供了許多支持、建 議和鼓勵，在此向他表示感謝.同時感謝Prentice Hall出版社的制作編輯Barbara Mack的幫助和建議。我特別感謝家人對我的支持.我很榮幸地將此書獻給我的妻子 Gracla、我們 的孩子Julia和Thomas,以及我的雙親 Habib和Moumra。Nakhl eH. Asmar nakhlemath. missouri. Edu 來自讀者的評價1 .總體來說，我覺得這本書是一本非常優(yōu)秀的偏微分方程導論教材。作者不僅 能夠以如此深度囊括這門學科的關鍵，同時只要求讀者熟悉微積分、三角函 數(shù)和線性代數(shù)的一些基本知識，這點給人留下很深刻的印象。我們應該向作第7頁者表示祝賀。新增的關于格林函數(shù)的