常微分方程自學指導書共11文檔

1、常微分方程自學指導書一、課程編碼、適用專業(yè)及教材課程編碼：110621211總學時：90學時，其中面授學時：28學時，自學學時：62學時。適用專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)（函授本科）使用教材：王高雄等編，常微分方程，高等教育出版社（第二版），1983.9。二、課程性質常微分方程科程是高等院校數(shù)學專業(yè)在數(shù)學分析和高等代數(shù)基礎上繼 續(xù)深入和發(fā)展的一門專業(yè)基礎課，是對從實際應用中總結出來的微分方程 的簡單的處理方法和實際求解，特別是對于不能求解的微分方程的處理， 更是用現(xiàn)代數(shù)學思想解決實際問題的一個縮影。它是學習和應用現(xiàn)代數(shù)學 必不可少的基礎知識之一。三、本課程的地位和作用該課程通過簡單的介紹微分方程的

2、起源，微分方程的求解及對不可求 解的微分方程進行有效處理，從而了解微分方程的解的性質。本課程重在 討論微分方程解的基本理論，特別是解的存在唯一性、解對初值的連續(xù)依 賴性，解對初值和參數(shù)的可微性等，同時對一般的線性微分方程及微分方 程組的解法與性質作了較為詳細的論述。這就為進一步的學習和研究微分 方程及其應用打下必要的基礎。第1頁四、學習目的和要求常微分方程是一門集理論性計算性于一體，以理論研究為主的學科。 它主要應用數(shù)學分析和高等代數(shù)的一些基本知識，對微分方程的求解，線 性微分方程及方程組的基本理論進行詳細的討論。既能鍛煉學生的理論推 理，也鍛煉學生的計算。這就要求學生在學習本學科的同時不要忘

3、記和前 面學過的數(shù)學分析和高等代數(shù)相結合，掌握常微分方程的基本性質和求解 問題。五、本課程的學習方法本課程介紹的內容比較多，特別是各個章節(jié)之間有著一些相應的聯(lián) 系，有的內容課本上只是簡單的介紹，這就需要在學習這一部分的同時要 聯(lián)系考慮前面的知識用前面的方法進行改進處理，比如在高階微分方程及 微分方程組解的基本理論的時候只是簡單的代過，因為其方法和前面的一階微分方程的處理理論完全一樣，只是更加繁瑣，所以在 學習這一部分知識時要和一階微分方程的基本理論進行對照比較。再比如 用常數(shù)變易法求解微分方程和方程組時，它的思想和前面一階微分方程類 似，但是又有相應的改變，同樣對相應的解的性質方法又有各自的一

4、些特 點。所有這些都希望同學們能夠對照比較，深入分析，加強對方程解的理 解和掌握。止匕外，有一些內容會獨立處理，方法迥異的，這一部分如后面 的第六、七兩章要特別處理學習，掌握其實質，了解其背景。六、自學內容與指導第一章緒論（一）自學內容 1.1 分方程：某些物理過程的數(shù)學模型了解微分方程的產(chǎn)生及建模，從而對微分方程的物理意義及數(shù)學化有個大致的了解。 1.2 本概念理解常微分方程，偏微分方程的概念及其區(qū)別聯(lián)系，掌握并深刻理解微分 方程的階數(shù)，微分方程的解，微分方程的隱式解，積分曲線與方向場，方 程的通解和特解，線性微分方程與非線性微分方程，定解問題，初值問題 等概念。并能夠對于具體問題說明之。（

5、二）本章重點本章重點在第二小節(jié)的各種概念的理解，這也是本章的難點。特別是對于微分方程的解的各種表示方法的區(qū)別和統(tǒng)一，各種解和方程的關系，實際重要又難以掌握的內容。（三）學習指導通過具體例子進行說明，多做練習。第二章一階微分方程的初等解法（一）自學內容 2.1 量分離方程與變量變換掌握什么是變量分離方程，并會求變量分離方程的通解和特解，深刻掌握 變量分離方法，對可化為可分離變量的微分方程的類型及應用舉例能夠了 解。 2.2 性方程與常數(shù)變易法對于一階線性方程的判斷，轉化及求解要熟練掌握，對于伯努利方程的 化為一階線性微分方程的方法要掌握，并能夠用于計算。深刻掌握常數(shù)變 易法的思想。 2.3 當方

6、程和積分因子熟練掌握對于恰當方程的判斷和幾種求解方法，理解并掌握求積分因子的 方法，特別是用觀察發(fā)求積分因子要熟練掌握并會進行簡單的計算。 2.4 一階隱方程與參數(shù)表示掌握四種類型的一階隱式方程的求解方法，并會進行簡單的計算。（二）本章重點本章的重點是變量分離方程，一階線性微分方程及恰當方程的求 解，與常數(shù)變易法。（三）本章難點本章的難點是對于不是全微分方程的方程的積分因子的尋找以及一 階隱式方程的求解計算。（四）學習指導對于各種類型的方程的求解要做到會變形，使之成為前面已知的類 型，然后套用前面的具體方法進行計算。這就要做到對各種類型的方程的 形勢非常熟悉，學會往這些類型上靠。第三章 一階微

7、分方程的解的存在定理（一）自學內容 3.1 的存在唯一性定理與逐步逼近法對于解的存在唯一性定理，要掌握利普希茨條件及定理的內容含義，理解 各次逼近解的思想與計算，了解定理的證明方法和基本證明。了解近似計 算和誤差估計的基本內容。 3.2 的延拓理解局部與全局利普希茨條件之間的關系。理解什么是飽和解及飽和解的 特點。掌握解的延拓定理及其推論，并能夠用來處理簡單的飽和解的計算 問題。 3.3 對初值的連續(xù)性和可微性定理了解解對初值的連續(xù)依賴性定理和可微性定理的基本內容并明確其意義。了解初值也是一種參數(shù)的思想。 3.4 解：了解包絡和奇解的概念，知道克萊羅方程的包絡和奇解形式。（二）本章重點本章的重

8、點是解的存在唯一性定理與逐步逼近法，及解的延拓。（三）本章難點本章的難點是解對初值的連續(xù)性和可微性定理。（四）學習指導把解的存在唯一性定理的證明分成五個相應部分，找出他們的內在聯(lián) 系。把定理的思想含義搞清楚。第四章 高階微分方程（一）自學內容 4.1 性微分方程的一般理論理解齊次與非齊次線性微分方程的關系，齊次線性微分方程的解的性質與 結構，函數(shù)組的線性相關與線性無關及其與相應的伏朗斯基行列式的關 系。熟練準確的給出齊次與非齊次線性微分方程的通解的結構公式。熟悉對高階非線性方程的常數(shù)變易法的運用。 4.2 系數(shù)線性方程的解法理解復值函數(shù)與復值解的概念，復值函數(shù)的極限，連續(xù)，導數(shù)可微分等概 念。

9、對于各種類型的常系數(shù)齊線性方程要會求其特征方程與特解通解等， 對于非齊次線性方程至少掌握一種求解方法。對于質點振動簡單了解。 4.3 階方程的降階和募級數(shù)解法掌握可降階的一些方程的類型及降階方法，有精力的同學可以了解二階線 性方程的募級數(shù)解法和第二宇宙速度計算。（二）本章重點本章的重點是線性微分方程的解的結構和通解的表示，以及常系數(shù)線 性方程的解法。（三）本章難點本章的難點是二階線性方程的募級數(shù)解法和第二宇宙速度計算。（四）學習指導學習線性微分方程一般理論時，可以對照前面的一階線性微分方程所 具有的性質和方法，加以比較學習。常系數(shù)線性方程的解法可以進行分類 總結，找出規(guī)律加以記憶。第五章線性微

10、分方程組（一）自學內容 5.1 在唯一性定理方程組的表示，連續(xù)，可微分，方程組的解，初值問題等概念，高階方程 與方程組的關系及轉化，存在唯一性定理，范數(shù)的概念及函數(shù)組的收斂一 致收斂。 5.2 性微分方程組的一般理論齊次與非齊次線性方程組的概念，解的疊加原理，線性相關，線性無關， 伏朗斯及行列式，基本解組，解空間，解矩陣，基解矩陣等概念及其相互 關系。齊次與非齊次線性方程組的解和通解的表示及常數(shù)變易法思想。 5.3 系數(shù)線性方程組矩陣指數(shù)的定義及計算，基解矩陣與指數(shù)矩陣的關系，矩陣的特征值與特 征向量的計算，齊次常系數(shù)線性方程組的基解矩陣及對應的指數(shù)矩陣的求 法。（二）本章重點本章的重點是線性

11、微分方程組的解的結構和通解的表示，基本解組， 解空間，解矩陣，基解矩陣，以及常系數(shù)線性方程組的解法。（三）本章難點本章的難點是常系數(shù)線性方程組的解法。（四）學習指導學習線性微分方程組的一般理論時，可以對照前面的一階線性微分方 程和高階線性微分方程所具有的性質和方法，加以比較學習。常系數(shù)線性方程組的解法可以 根據(jù)基解矩陣與指數(shù)矩陣的關系，找出規(guī)律加以學習。第六章非線性微分方程和穩(wěn)定性（一）自學內容第7頁 6.1 言 微分方程零解的穩(wěn)定性，不穩(wěn)定性，漸近穩(wěn)定性，全局穩(wěn)定性，吸引域，穩(wěn)定域的概念及判斷方法 6.2 平面相平面，相空間，軌線，駐定方程組（自治方程組），奇點，線性自治方程組的分類。 6.

12、3 線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性特征方程無零根和零實部特征根條件下，自治方程組的穩(wěn)定性定理。 6.4 雅普諾夫第二方法正定，負定的概念，函數(shù)關于方程的全導數(shù)，函數(shù)穩(wěn)定性與李雅普諾夫函數(shù)的關系。 6.5 期解與極限圈（選學） 6.6 次型V函數(shù)的構造與控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性（選學）（二）本章重點本章的重點是微分方程零解的穩(wěn)定性，不穩(wěn)定性，漸近穩(wěn)定性，全局穩(wěn)定性，吸引域，穩(wěn)定域的概念及判斷方法。（三）本章難點本章的難點是相平面，相空間，軌線，駐定方程組（自治方程組）奇點，線性自治方程組的分類。（四）學習指導參考有關的書籍進行學習。第七章 一階線性偏微分方程（選學）七、自學進度與各章節(jié)學時安排自學周

13、數(shù)16周，每周4學時，總計62學時。在自學過程中，除了保證自學時間外，還要多做練習，獨立完成作業(yè)并分兩次寄回學校。最好將各章節(jié)后面的有關習題也多一下。注：以下是各個章節(jié)學時安排及作業(yè)（不包括作業(yè)學時）自學進度表周次學時內容學習要求作業(yè)14緒論弄清微分方程及解的基本概念P15. 1. 2 (2)(6)3. (1) (4)(6)4. 6.2-516一階微會解可分離變量的微分方程，一P30 1.2. 4. 5.分方程階線性方程，全微分方程（恰當7. 8. 10.的初等方程），能夠找出簡單的方程的11. 18.解法初等因子并求解P37. 1. 2. 4. 5.13. 14. 22.P49. 1.2.

14、4. 6.7.8.9.12. 13.P58 1. 2.第9頁6-812一階微 分方程 的解的 存在定 理掌握利普希茨條件及存在唯一 性定理的內容含義，理解各次逼 近解的思想與計算，了解定理的 證明方法和基本證明。P78 1.2. 4.（交第一次作業(yè)）9-1214高階微分方程理解齊次與非齊次線性微分方 程的關系，齊次線性微分方程的 解的性質與結構，函數(shù)組的線性 相關與線性無關及其與相應的 伏朗斯基行列式的關系。準確的 寫出齊次與非齊次線性微分方 程的通解的結構公式及常系數(shù) 線性方程的通解和特解。P113 1. 3. 4. 9.P145 2. 4. 5. 6.10. 11.12-1512線性微分方程組理解齊次、非齊次線性方程組、 解的疊加原理、線性相關、線性 無關、伏朗斯及行列式、基本解 組、基解矩陣等概念，會求常系 數(shù)線性方程組的基解矩陣及對 應的指數(shù)矩陣。P184 1.2.P201 1.6.P236 3. a) c) 4.a) b) c) 5. a)b) a)15164非線性微分方程和穩(wěn)了解微分方程零解的穩(wěn)定性，不 穩(wěn)定性，漸近穩(wěn)定性，全局穩(wěn)定 性，吸引域，穩(wěn)定域的概念及判自選（交第二次作第10頁定性斷方法，及函數(shù)關