梅涅勞斯定理及其應(yīng)用【內(nèi)容充實】

1、參考資料-頁眉頁腳可刪除梅涅勞斯定理及其應(yīng)用（姓名）摘要：使用梅涅勞斯定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還是 可以用來解決三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué) 中的一項基本定理，具有重要的作用。本文簡單介紹了梅捏勞斯定理及其應(yīng)用。關(guān)鍵詞：共線、共點、應(yīng)用梅涅勞斯定理1 ,定理 設(shè)X,Y,Z分別是AABC的BC,CA,AB邊或其延長線上的點，且有奇數(shù)個BX CY AZ點在邊的延長線上，則X,Y,Z三點共線的充要條件是XC YA ZB2.定理的證明證明1:不妨設(shè)X,Y,Z中的一點Y在邊AC的延長線上（如圖所示）。若X,Y,Z三點共線，過C引CD/YZ交AB于

2、D ,則BX BZXC 一 ZD , CY DZ YA ZA，生 BX CY AZ BZ DZ AZ 彳故 =1. XC YA ZB ZD ZA ZB一 .BX CY AZ反之，若 C=1成立，設(shè)直線ZX與AC的延長線交于Y ,即X , Y , Z三點XC YA ZB共線，則由上面的證明有感,空幽=1與段CY,絲=1比較, XC YA ZB XC YA ZB可得竺="即Y與Y重合，故X,Y,Z三點共線Y A YA若X,Y,Z三點均在邊的延長線上，上面的證明仍然適用注:X,Y,Z三點中有奇數(shù)個點在邊的延長線上”這一條件十分必要，否則梅捏勞斯定資料本參考資料-頁眉頁腳可刪除理不成立證明2

3、:（正弦定理）如圖，令 ZAEF =a , /AFE = P , /BDE=¥,在AAEF中，由正弦定理知:AF AEsin 工 sin :'同理 _BL _ BD _ BD CD _ CEsin sin（180 一 ：） sin ： ' sin sinAFsin 二 BD sin ; CE sinAE - sin 一： ' BF - sin ' CD - sin 二AF BD CE 彳 Rn AF BD CE 彳 =1 ,即=1 .AE BF CDFB DC EA3、梅涅勞斯定理的逆定理梅涅勞斯定理的逆定理也成立， 即如果有三點F、D、E分別在AAB

4、C的三邊AB、AF BD CE BC、CA或其延長線上，且滿足=1,那么F、D、E三點共線。FB DC EA注：利用梅涅勞斯定理的逆定理可判定三點共線資料本參考資料-頁眉頁腳可刪除二、 梅涅勞斯定理的應(yīng)用梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 1若AABC的/A的外角平分線交邊 BC延長線于P, /B的平分線交邊AC于Q, /C的平分線交邊AB于R,則P、Q、R三點共線。證明：由三角形內(nèi)、外角平分線定理知，BPBACQBCARCA= ， = ， = ，PCCAQAABRBCB則空空 CQ = CA BA BC =1RB PC QA CB CA AB '故P、Q、R三點共線。BCP切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點證明：: CR是。的切線， ARACs ARCB,.RA RC AC一 = = ,RC RB CB則M=股型生2RB RC RB CB同理：BP.(AB)2出嗎2CP ACQA BA.AR BP CQ /CA、2 /BA、2 /BC、2 d,' ( ),( ) ( ) 1 ?RB PC QA CB CA AB故P、Q、R三點共線。P、Q、R,則P、Q、R三點共線 號梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 2過任意AABC的三