第六章方差分析與正交試驗設計

1、第六章第六章 方差分析與正交試驗設計方差分析與正交試驗設計6.1 一個因素的方差分析一個因素的方差分析方差分析：方差分析： 研究自變量（因素）與因變量（隨機變量）研究自變量（因素）與因變量（隨機變量）的相關關系，只是要求辯明某個因素對因的相關關系，只是要求辯明某個因素對因變量是不是有顯著性的影響。變量是不是有顯著性的影響。 方差分析和回歸分析所研究的本質是相同的，但方差分析和回歸分析所研究的本質是相同的，但二者在研究的側重點是不同的。二者在研究的側重點是不同的。回歸分析：回歸分析：主要是要求確定因變量依賴于自變量的主要是要求確定因變量依賴于自變量的定量結論，要辦到這一點需要做較多的定量結論，要

2、辦到這一點需要做較多的試驗，而且因素（自變量）是數(shù)量性的。試驗，而且因素（自變量）是數(shù)量性的。方差分析：方差分析：可按照預定計劃只作很少的試驗，而且可按照預定計劃只作很少的試驗，而且因素也不一定是數(shù)量性的，可以是屬性因素也不一定是數(shù)量性的，可以是屬性因素。分為一元和多元兩類。因素。分為一元和多元兩類。一一、一元方差分析模型一元方差分析模型下面我們來介紹方差分析的幾個基本概念：下面我們來介紹方差分析的幾個基本概念：3 例。例。為考察用來處理水稻種子的為考察用來處理水稻種子的4 4種不種不同藥劑同藥劑對水稻生長的影響，選擇一塊各對水稻生長的影響，選擇一塊各種條件種條件( (如土質、氣候、管理如土質

3、、氣候、管理) )基本均勻基本均勻的土地，將其分成的土地，將其分成1616塊塊. .在每在每4 4塊試驗地塊試驗地里種下里種下用同一種藥劑處理過的水稻種子用同一種藥劑處理過的水稻種子. .試驗結果試驗結果苗高由苗高由表表1 1給出：給出：4 表表1 1：不同藥劑處理的苗高不同藥劑處理的苗高總和總和平均平均iTiX25182417T=336100729668222527262018191521242625201916131234苗高苗高x 藥劑藥劑A 重復重復1A2A3A4A21X 5試驗目的：試驗目的：通過試驗所得數(shù)據(jù)來考察不同藥劑對平通過試驗所得數(shù)據(jù)來考察不同藥劑對平 均苗高是否有顯著的影響

4、均苗高是否有顯著的影響一個因素：一個因素：藥劑藥劑 A 四個水平：四個水平：四種不同的藥劑處理稱為四種不同的藥劑處理稱為A 取四個不同的水平，記為取四個不同的水平，記為1234,AAAA因素因素: :在試驗中在試驗中, ,影響試驗結果的原因影響試驗結果的原因( (條件條件) )很多，稱影響試很多，稱影響試驗結果的原因驗結果的原因( (條件條件) )為因素為因素. .用大寫字母用大寫字母A, ,B, ,C,表示表示 因素可以是定量的也可以是定性的因素可以是定量的也可以是定性的. .因素對試驗結果的影響主因素對試驗結果的影響主要表現(xiàn)在要表現(xiàn)在因素所處水平的狀態(tài)發(fā)生變化時因素所處水平的狀態(tài)發(fā)生變化時

5、，試驗結果也隨之，試驗結果也隨之發(fā)生變化發(fā)生變化. .水平水平：試驗中因素所處的不同狀態(tài)稱為水平試驗中因素所處的不同狀態(tài)稱為水平. .6 表表1 1中的中的4 4組數(shù)據(jù)可看成是分別來自組數(shù)據(jù)可看成是分別來自4 4個不個不同總體，記作同總體，記作1234,XXXX每個試驗結果記為每個試驗結果記為, ,1,2,3,4.ijXi j 1234各個總體的均值記為 ， ， ， ，按照試驗目的，考慮檢驗假設01234:H；11234:,H 不全相等進一步假設各個總體服從正態(tài)分布，且方差進一步假設各個總體服從正態(tài)分布，且方差相等，但是參數(shù)均未知相等，但是參數(shù)均未知.方差分析就是檢驗方差分析就是檢驗同方差的多

6、個正態(tài)總體同方差的多個正態(tài)總體均均值是否相等的一種統(tǒng)計方法值是否相等的一種統(tǒng)計方法. 因素（因子）：因素（因子）：試驗中需要考察的，可以控制的條試驗中需要考察的，可以控制的條件件自變量自變量試驗設計：試驗設計：為了考察某一個因素對試驗指標為了考察某一個因素對試驗指標 的影響，往往把影響試驗指標的其它因素固定，的影響，往往把影響試驗指標的其它因素固定， 而把要考察的那個因素嚴格控制在幾個不同的而把要考察的那個因素嚴格控制在幾個不同的 狀態(tài)或等級（稱為水平）上進行試驗。狀態(tài)或等級（稱為水平）上進行試驗。 試驗目的：試驗目的：某個因素的不同水平對試驗結果有無影響某個因素的不同水平對試驗結果有無影響一

7、個因素的方差分析（單因素方差分析）：一個因素的方差分析（單因素方差分析）：處理一個因素試驗的統(tǒng)計推斷問題。處理一個因素試驗的統(tǒng)計推斷問題。用用A,B,C等來表示等來表示一般的一元方差分析如下一般的一元方差分析如下：因素的水平：因素的水平：因素的每一個狀態(tài)或等級因素的每一個狀態(tài)或等級個不同水平。個不同水平。的的表示因素表示因素用用rAAAr,1自變量的不同取值自變量的不同取值隨隨機機變變量量一一個個下下進進行行試試驗驗，得得到到的的是是，在在水水平平個個不不同同水水平平取取素素假假定定某某一一項項試試驗驗中中，因因irAAArA,1riNXii,),(212 相相互互獨獨立立。并并且且假假定定n

8、XX,1個試驗結果個試驗結果次試驗，獲得次試驗，獲得下做了下做了現(xiàn)在，在水平現(xiàn)在，在水平iiinnAriXXXiinii,2121 由樣本的定義可知由樣本的定義可知iiijnjNX,),(212 令令riXiijij,1 相相互互獨獨立立。，且且也也是是隨隨機機變變量量，有有則則ijijijN ),(20隨機誤差隨機誤差可表示為可表示為ijXrinjXiijiij,2121 要檢驗的假設為要檢驗的假設為rH 210:為方便，記為方便，記 iiriiiriinnnn111: 理論總均值。理論總均值。:i 對試驗結果的效應。對試驗結果的效應。個水平個水平的第的第因素因素iAiA易驗證易驗證01 i

9、riin 表示為效應分解形式表示為效應分解形式ijXrinjXiijiij,2121 綜上所述，綜上所述，0:0:), 0(, 2 , 1, 2 , 10121021irijiijriiiijiijHHNrinjnX至少有一個。同分布的隨機變量，且為相互獨立，一個因素的一個因素的方差分析統(tǒng)方差分析統(tǒng)計模型計模型二、統(tǒng)計分析二、統(tǒng)計分析1. 假設檢驗假設檢驗用用的的統(tǒng)統(tǒng)計計量量。構構造造檢檢驗驗假假設設0210 rH :波動的原因：波動的原因：引起引起ijX（1）隨機誤差引起的；隨機誤差引起的；的波動由重復試驗中的的波動由重復試驗中的為真時，為真時，當假設當假設ijXH0（2）的波動。的波動。取

10、值取值的數(shù)學期望不同引起的數(shù)學期望不同引起不成立時，不成立時，ijijXXH0令令 injijiiXnX11 injiijiiXXnS1221)(riXXnSinjiijii,)(*2111122 第第i個總體的個總體的樣本均值和樣本均值和樣本方差樣本方差令令 rinjijriiirinjijiiXXnSXnnXnX1122111111)(全體樣本的均值和方全體樣本的均值和方差差記記 rinjijrinjijTiiXnXXXnSS11221122)(:TS的的波波動動程程度度的的大大小小。據(jù)據(jù)和和），反反映映了了全全部部數(shù)數(shù)總總偏偏差差平平方方和和（總總平平方方ijX riiiriiirinj

11、iijeSnSnXXSi12121121*)()(:eS試驗誤差平方和或組內誤差平方和（組內平方和）試驗誤差平方和或組內誤差平方和（組內平方和）反映了由于隨機誤差的作用而在數(shù)據(jù)反映了由于隨機誤差的作用而在數(shù)據(jù) 中引起的中引起的波動，它的大小反映了重復試驗中隨機誤差的大波動，它的大小反映了重復試驗中隨機誤差的大小。小。ijX21212112XnXnXXnXXSriiiriiirinjiAi )()(:AS因素因素A的偏差平方和或組間偏差平方和（組間平方的偏差平方和或組間偏差平方和（組間平方和），反映了由于因素和），反映了由于因素A的各個水平的不同作用在的各個水平的不同作用在數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) 中引起的波動

12、，中引起的波動， 的大小主要反映了由于因的大小主要反映了由于因素素A的各個水平所對應的總體均值的各個水平所對應的總體均值 之間的差異程之間的差異程度。度。ijXASi 定理定理1：在一個因素方差分析模型中，平方和有如下在一個因素方差分析模型中，平方和有如下恒等式恒等式AeTSSS 證明：證明：221111()()()iinnrrTijijiiijijSXXXXXX22111111()()2()()iiinnnrrrijiiijiiijijijXXXXXXXX112()()inreAijiiijSSXXXX01111 rinjiijirinjiiijiiXXXXXXXX)()()(AeTSSS

13、簡化計算公式：簡化計算公式：rinjriiiijATeriririiiriiinjijnjijiArinjrinjrinjriiiijijijTiiiiiiXnXSSSXnnXnXnXnSXnnXXnXS11122112112211211111112222)(1)(1)(1)(1)(1定理定理2：在一個因素的方差分析模型中，有在一個因素的方差分析模型中，有2212()(1)()()rAiiieE SrnE Snr證明：證明：相相互互獨獨立立，則則，由由模模型型知知，rinjNXiiij,),(21212 ),(,),(nNXrinNXiii2221 又又21212XnXnXXnSriiirii

14、iA )()()()(212XnEXEnSEriiiA )()(22122 nnnnriiii riiinr1221 )( riiirinjijeXnXESEi12112)( riiirinjijXEnXEi12112)()()()(2121122iriiirinjinni 2 )(rn 證畢。證畢。由定理由定理2可知，可知，的無偏估計。的無偏估計。是是22 rnSe 定理定理3：在一個因素的方差分析模型中，有在一個因素的方差分析模型中，有).(rnSe 22 證明：證明：),(2 iijNX)()(112122 injiijnXXi 相互獨立性，相互獨立性，又由又由rinjXiij,11 )

15、.() )()(rnnXXSriirinjiijei 2121122211 注：注：。，可可得得都都是是正正確確的的，又又由由是是否否成成立立，定定理理不不論論2203 )()(rnESnnEHe 定理定理4：則則有有成成立立時時，模模型型中中，當當假假設設在在一一個個因因素素的的方方差差分分析析0H)()(1122 rSA 。相相互互獨獨立立，因因而而與與),()()()(rnrFrnSrSFSSeAAe 112下下，檢檢驗驗假假設設在在給給定定顯顯著著性性水水平平 rrHH 2102100:或或；對對試試驗驗結結果果的的影影響響顯顯著著，即即認認為為因因素素，則則拒拒絕絕若若AHrnrFF

16、011),( 著著。對對試試驗驗結結果果的的影影響響不不顯顯，即即認認為為因因素素，則則接接受受若若AHrnrFF011),( 對未知參數(shù)作點估計對未知參數(shù)作點估計定理定理5：在一個因素的方差分析模型中，在一個因素的方差分析模型中，的無偏估計；的無偏估計；是是 X 的的無無偏偏估估計計；是是iiiX 的無偏估計；的無偏估計；是是iiiXX .的的無無偏偏估估計計是是22 rnSe 2. 參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)的區(qū)間估計優(yōu)優(yōu)水水平平）。為為出出效效應應最最大大的的水水平平（稱稱有有顯顯著著差差異異，從從而而要要選選之之間間平平效效應應被被否否定定，則則因因素素的的各各水水若若原原假假設設iH 0)(

17、),(rnSnSNnXriiieiii 21222110 ),()()()(rnFrnSXnrnSnXeiiieiii 1222 ，有，有對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平 ,),()()( 1112rnFrnSXnPeiii置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的由由此此得得 1i.),()( rnFnrnSXiei11 置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的，易易得得從從 1222)(rnSe.)(,)( rnSrnSee22221 下面來求兩個水平所對應的總體下面來求兩個水平所對應的總體),(),(22 llkkNXNX的區(qū)間估計問題的區(qū)間估計問題的均值差的均值差lklk )( ,(211 lklklknnNX

18、X 則則),()()()()()(rntnnrnSXXrnSnnXXtlkelklkelklklk 11112 的的區(qū)區(qū)間間估估計計為為的的由由此此易易得得 1lk.)()( lkelknnrnSrntXX1121 3. 多重比較多重比較。至至少少有有一一對對假假設設的的對對立立，因因為為，著著接接受受，并并不不意意味味方方差差分分析析中中否否定定了了lklkrHHrlklkH :,:1021021 選擇最優(yōu)水平的需要，往往需要知道哪些水平的選擇最優(yōu)水平的需要，往往需要知道哪些水平的均值差異顯著，哪些不顯著。均值差異顯著，哪些不顯著。介紹介紹Scheffe的方法，簡稱的方法，簡稱S法法.個個常

19、常數(shù)數(shù)，滿滿足足任任一一組組是是模模型型中中，設設在在一一個個因因素素的的方方差差分分析析rcccr,2101 riic，檢檢驗驗假假設設給給定定顯顯著著性性水水平平 001110 riiiriiicHcH :的的s方法方法為為；，則拒絕，則拒絕若若011211HdsrnFncrnSXcriiieriii ),( 。，則接受，則接受若若011211HdsrnFncrnSXcriiieriii ),( 特別地，對任意特別地，對任意r個常數(shù)，取個常數(shù)，取likiricccilk ,1011，檢檢驗驗假假設設則則給給定定顯顯著著水水平平 lklkHH :10的的S方法為方法為。，則接受，則接受若若；

20、，則拒絕，則拒絕若若00HdsdXXHdsdXXklkllkklkllk |4. 方差齊性的檢驗方差齊性的檢驗 對一個具體問題進行方差分析，要求滿足方差對一個具體問題進行方差分析，要求滿足方差模型的三個條件模型的三個條件（1）被檢驗的各個總體都服從正態(tài)分布）被檢驗的各個總體都服從正態(tài)分布（2）各個總體的方差相等（方差齊性）各個總體的方差相等（方差齊性）（3）各次試驗是獨立的）各次試驗是獨立的 下面給出一種檢驗多個正態(tài)總體是否具有方差齊下面給出一種檢驗多個正態(tài)總體是否具有方差齊性的檢驗方法。性的檢驗方法。檢檢驗驗假假設設，給給定定顯顯著著水水平平且且未未知知，其其中中的的一一個個樣樣本本，為為的

21、的容容量量為為，設設總總體體 3212212 rrinXXXXNXiiiiiniiiiii,),(222210rH :記記 riiipSnnS12211*)(其中其中 iinjijiinjiijiiXnXXXnS1122111)(*組合樣本方差的組合樣本方差的 估計量估計量記記 riiriiipnnrhSnSnQ112211113111)(ln)(ln*構造統(tǒng)計量構造統(tǒng)計量hQB 。近近似似服服從從時時，統(tǒng)統(tǒng)計計量量，證證明明：當當)(,12152 rBrinBartletti 。，則接受，則接受若若；，則拒絕，則拒絕若若021021HrnBHrnB)()( 35 例例. .在農作物品種試驗中

22、，參加試驗在農作物品種試驗中，參加試驗的有甲、乙、丙三個品種的有甲、乙、丙三個品種. .各個品種所各個品種所試種的試種的小區(qū)個數(shù)不相等小區(qū)個數(shù)不相等. .試驗結果如表試驗結果如表5 5所示，試作方差分析所示，試作方差分析. .36 表5: 三種農作物品種的產量三種農作物品種的產量甲甲乙乙丙丙24913579T=46341.5027.0019.75654n=15產量產量 品種品種 小區(qū)號小區(qū)號123456514043483532252326303118132226總和總和iT平均平均iX重復數(shù)重復數(shù)in30.87X3722111655.73inrTijijSXnX2211247.48rAiiiS

23、n XnX408.25eTASSS0 .0 500 .0 5 ,1 8 .3 3( 2 ,1 2 )3 .8 9.FFH給 定查分 布 表 知故 拒 絕/(1)/()18.33AeSrSn rF 解解: :1233,6,5,4,15rnnnn方差分析表明，三個品種間的產量差異顯著方差分析表明，三個品種間的產量差異顯著. .386.2 6.2 雙因素方差分析雙因素方差分析2(,)ijijXN假定相互獨立且服從正態(tài)分布因素因素 A：A1，A2，Ar 因素因素 B：B1，B2， ，Bs 兩因素兩因素rs個不同水平組合個不同水平組合AiBj，在在AiBj下做下做試驗，得試驗，得Xij ,i=1,2,r

24、, j=1,2,s一一 數(shù)學模型數(shù)學模型(1,2, ;1,2, ;1,2, )ijijkA BtXir js kt假定下做了 次獨立重復試驗，每次試驗結果用表示392(0,)1,2, ;1,2, ;1,2,獨立同分布，且ijkijijkijkijkXNir js kt(1,2, ;1,2, ;1,2, ).ijkijXir js ktXt看作是從總體中抽取的容量為 的樣本試驗結果見表試驗結果見表640令令1111111sriijjijjirsijijsrrs 因素因素A的第的第 i 個水平個水平Ai 對試驗結果的對試驗結果的效應效應.ii 因素因素B的第的第 j 個水平個水平Bj 對試驗結果的

25、對試驗結果的效應效應.jj 總平均總平均110,0rsijij41()ijijij稱為稱為Ai 與與 Bj的的交互效應交互效應，滿足，滿足101,2,rijijs， 各個因素不同水平搭配對試驗指標產生新各個因素不同水平搭配對試驗指標產生新 的影響稱為的影響稱為交互作用交互作用，否則稱為，否則稱為無交互作用無交互作用. .() () ()ijijijijijij101,2,sijjir，421.1.無交互作用的雙因素方差分析無交互作用的雙因素方差分析0 (1,2, ;1,2, )ijir js 211(0,)0,01,2, ;1,2,ijijijijijrsijijXNir js獨立同分布，且模

26、模型型43檢驗檢驗0112:0rH0212:0sH記記111,rsijijXXrs11,siijjXXs11rjijiXXr等價于等價于0:1,2, ;1,2,ijHir js全相等，44211()rsTijijSXX211()()()rsijijijijXXXXXXXX2221111()()()rsrsijijijijijXXXXsXXrXX平方和分解平方和分解eABSSS45其中所有交叉項均為其中所有交叉項均為0，事實上，事實上11111()()()0rsijijiijrssiijijijjXXXXXXXXXsXXsX 461111()()()()0rsijijrsijijXXXXXXXX

27、 11111()()()0rsijijjijsrrjijijjiiXXXXXXXXXXrXrX 47TeABSSSS其中其中211()rseijijijSXXXX21()rAiiSsXX21()sBjjSrXX 因素因素A的變差平方和的變差平方和 因素因素B的變差平方和的變差平方和 誤差平方和誤差平方和480102211222(1),()(1)成立時，有 rsijijTHHXXSrs下面的定理給出了各變差平方和的分布下面的定理給出了各變差平方和的分布.定理定理2: 在無交互作用方差分析模型中在無交互作用方差分析模型中22(2)(1)(1) eSrs490122122(3)()(1)成立時，有

28、且與相互獨立riiAAeHsXXSrSS0221222(4)(1)成立時，有 且與相互獨立sjjBBeHrXXSsSS50當當 時，拒絕時，拒絕H011, (1)(1)AFFrrs011,(1)(1)(1)HAAeSFF rrsSs021,(1)(1)(1)HBBeSFF srsSr當當 時，拒絕時，拒絕H021, (1)(1)BFFsrs給定顯著性水平給定顯著性水平，檢驗法則為檢驗法則為根據(jù)定理根據(jù)定理2構造統(tǒng)計量構造統(tǒng)計量51表表7: 無交互作用兩因素方差分析表無交互作用兩因素方差分析表21rAiiSsXX rs-1總和總和(r-1)(s-1)誤差誤差Es-1因素因素Br-1因素因素AF均

29、方和均方和自由度自由度平方和平方和方差方差來源來源21sBjjSrXX112()rseijiijjSXXXX TABeSSSS1BBSSs11eeSSrsAAeSFSBBeSFS1AASSr52 在兩個因素的試驗中，不僅每個因素在兩個因素的試驗中，不僅每個因素單獨對試驗結果起作用，往往兩個因素單獨對試驗結果起作用，往往兩個因素聯(lián)合起來起作用聯(lián)合起來起作用. 實際中，這種作用就實際中，這種作用就稱為兩個因素的交互作用稱為兩個因素的交互作用. 例如，農業(yè)中只施氮肥增產例如，農業(yè)中只施氮肥增產10公斤，只公斤，只施磷肥增產施磷肥增產5公斤，但是同時施氮肥磷公斤，但是同時施氮肥磷肥增產肥增產40公斤，

30、大大超過了單獨施氮肥公斤，大大超過了單獨施氮肥和磷肥之和和磷肥之和15公斤，這表明兩種肥料同公斤，這表明兩種肥料同時使用產生了交互作用使得產量增加時使用產生了交互作用使得產量增加.532.2.有交互作用的兩因素方差分析有交互作用的兩因素方差分析 為研究交互效應對結果的影響，需對為研究交互效應對結果的影響，需對Ai與與Bj的每一種組合進行多次重復試驗的每一種組合進行多次重復試驗. 為此，假定對為此，假定對每一種組合均作每一種組合均作 t 次次(可以可以不同不同)重復試驗重復試驗，試驗結果記為，試驗結果記為 Xijk5421111(0,)0,0,01,2, ;1,2, ;1,2,ijkijijij

31、kijkijkrsrsijijijijijXNir js kt獨立同分布，且 模型模型550112:0rH0:1,2, ;1,2,ijHir js全相等，等價于檢驗假設等價于檢驗假設 要判斷因素要判斷因素A、因素因素B和交互作用和交互作用AB的的影響是否顯著，分別等價于檢驗假設影響是否顯著，分別等價于檢驗假設0212:0sH03:0,1,2, ;1,2,ijHirjs56記記1111rstijkijkXXrst11tijijkkXXt111stiijkjkXXst111rtjijkikXXrt572111()rstTijkijkSXX2111() () () ()rstijkijijijiji

32、jkXXXXXXXXXX22111122111rstrijkijiijkisrsjijijjijXXstXXrtXXtXXXX 平方和分解平方和分解eABA BSSSS其中所有交叉項均為其中所有交叉項均為0582111() ,.rstTijkijkSXX稱為總變差平方和，反映了全部數(shù)據(jù)的波動程度2111,.rsteijkijijkSXX稱為誤差平方和，反映了隨機誤差引起數(shù)據(jù)的波動程度5921,rAiiSstXXA稱為因素 的變差平方和 主要反映了因素主要反映了因素A取各個不同水平引起取各個不同水平引起數(shù)據(jù)的波動數(shù)據(jù)的波動21,sBjjSrtXXB稱為因素 的變差平方和 主要反映了因素主要反映了

33、因素B取各個不同水平引起取各個不同水平引起數(shù)據(jù)的波動數(shù)據(jù)的波動60211rsA BijijijStXXXXA B 稱為交互作用的變差平方和 主要反映了因素主要反映了因素A與因素與因素B交互作交互作用引起數(shù)據(jù)的波動用引起數(shù)據(jù)的波動.61下面的定理給出了各變差平方和的分布下面的定理給出了各變差平方和的分布.定理定理3: 在有交互作用方差分析模型中在有交互作用方差分析模型中22(1)(1) eSrs t0122(2)(1)成立時，有 且與相互獨立,則AAeHSrSS01(1)1,(1)(1)HAAeSrFF rrs tSrs t620222(3)(1)成立時，有 且與相互獨立，則BBeHSsSS03

34、22(4)(1)(1)成立時，有 且與相互獨立，則A BBeHSrsSS02(1)1,(1)(1)HBBeSsFF srs tSrs t03(1)(1)(1)(1),(1)(1)HA BA BeSrsFFrsrs tSrs t6301(1)1,(1)(1)HAAeSrFF rrs tSrs t 構造統(tǒng)計量構造統(tǒng)計量02(1)1,(1)(1)HBBeSsFF srs tSrs t03(1)(1)(1)(1),(1)(1)HA BA BeSrsFF rsrs tS rs t64其中其中為給定的顯著性水平為給定的顯著性水平當當FAF(r-1,rs(t-1)時拒絕時拒絕 H01, 否則接受否則接受H0

35、1當當FBF(s-1,rs(t-1)時拒絕時拒絕 H02 否則接受否則接受H02當當FABF(r-1)(s-1),rs(t-1)時拒絕時拒絕 H03 否則接受否則接受H0365表表8: 有交互作用兩因素方差分析表有交互作用兩因素方差分析表方差方差來源來源平方和平方和自由度自由度均方和均方和F因素因素Ar-1因素因素Bs-1(r-1)(s-1)誤差誤差Ers(t-1)總和總和rst-1ASBSeSA BA BSTeABA BSSSSS1AASSr1BBSSs1EeSSrs t(1)(1)A BA BSSrsAAeSFSBBeSFSA BA BeFSS 666.3 6.3 正交試驗設計正交試驗設計

36、數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計如何有效地獲得數(shù)據(jù)，如何有效地獲得數(shù)據(jù)，即即試驗的設計和研究；試驗的設計和研究；如何利用一定資料對所如何利用一定資料對所關心的問題做出精確可關心的問題做出精確可靠的結論，即靠的結論，即統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷. .67數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)原因原因主動主動被動被動獲取獲取推斷推斷 有效地獲取信息（數(shù)據(jù)），并有效有效地獲取信息（數(shù)據(jù)），并有效地進行分析的一種統(tǒng)計方法地進行分析的一種統(tǒng)計方法68它主要利用現(xiàn)成的規(guī)范化的表它主要利用現(xiàn)成的規(guī)范化的表正交表正交表來科學的挑選試驗條件，合理的安排試驗來科學的挑選試驗條件，合理的安排試驗.最常用的試驗設計是最常用的試驗設計是正交試驗設計正交試驗設計. .優(yōu)點優(yōu)點

37、是在很多試驗方案是在很多試驗方案(試驗條件試驗條件)中挑中挑選出選出代表性很強的代表性很強的少數(shù)少數(shù)試驗方案試驗方案, 并通并通過對少數(shù)試驗方案試驗結果的分析，過對少數(shù)試驗方案試驗結果的分析，推推斷出斷出最優(yōu)最優(yōu)方案方案.69 因素與水平因素與水平水平：因素所處的狀態(tài)，水平：因素所處的狀態(tài)， 用用A1, A2, , B1, B2, 表示表示因素：影響試驗結果的原因，因素：影響試驗結果的原因， 用用A, B, C, 表示表示70正交試驗：正交試驗：如何合理、有效地安排多因如何合理、有效地安排多因 素的試驗，素的試驗，設計各因素所處水平的合設計各因素所處水平的合 理搭配使得理搭配使得試驗次數(shù)盡可能

38、減少試驗次數(shù)盡可能減少，又便，又便 于分析試驗結果于分析試驗結果. .方差分析：方差分析：根據(jù)試驗結果來判定各因根據(jù)試驗結果來判定各因 素對試驗結果的素對試驗結果的影響是否顯著影響是否顯著71例例1 1 提高某化工產品轉化率的試驗提高某化工產品轉化率的試驗反應溫度反應溫度 A反應時間反應時間 B某兩種原料之配比某兩種原料之配比 C真空度真空度 D轉化率轉化率影響影響 尋找最優(yōu)的生產條件，以提高該化工產尋找最優(yōu)的生產條件，以提高該化工產品轉化率品轉化率. .假設每種因素只需考慮三個水平假設每種因素只需考慮三個水平72因素因素 水平水平123A：反應溫度反應溫度（oC）607080B：反應時間反應

39、時間（小時小時）2.53.03.5C：原料配比原料配比1.1:1 1.15:1 1.2:1D：真空度真空度(毫米汞柱毫米汞柱)500550600表表 1 1幻燈片 9473設計試驗：設計試驗：選選81種搭配的一部分，種搭配的一部分，每個每個因素的每個水平都出現(xiàn)因素的每個水平都出現(xiàn)，且能，且能反映出交反映出交互作用互作用，以獲得最佳或較好的試驗條件，以獲得最佳或較好的試驗條件.理想的做法：理想的做法：各種因素所有水平搭配各種因素所有水平搭配下下都做試驗都做試驗，做做 3333=81次試驗次試驗.不現(xiàn)實不現(xiàn)實, , 耗時耗時, , 耗經費耗經費. .74一一 正交表正交表正交表：正交表：用于安排試

40、驗的水平搭配表用于安排試驗的水平搭配表. . 用符號用符號Lp(nm)表示表示, 其中其中p：試驗次數(shù)，表中行數(shù)試驗次數(shù)，表中行數(shù); ;n：水平數(shù)水平數(shù); ;m：最多可安排的因素個數(shù)，表中列數(shù)最多可安排的因素個數(shù)，表中列數(shù). .L：正交表正交表75p-1：總變差平方和的自由度總變差平方和的自由度m 、n 、p 滿足滿足 m(n-1)=p-1n-1：一個因素的變差平方和的自由度一個因素的變差平方和的自由度m(n-1)：所有因素的變差平方和的自由所有因素的變差平方和的自由 度之和度之和76表表2 2 最小的正交表最小的正交表 L4 (23)1224212322121111321列號列號水平水平試驗

41、號試驗號77(2)任何兩列中，每一任何兩列中，每一水平搭配對水平搭配對 (1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2) 都出現(xiàn)，都出現(xiàn)， 且出現(xiàn)次數(shù)且出現(xiàn)次數(shù)(1(1次次) )相同相同. .特點特點(1)任何一列中每個水平都出現(xiàn)，且任何一列中每個水平都出現(xiàn)，且 出現(xiàn)的次數(shù)相同出現(xiàn)的次數(shù)相同; ; L4(23)：L是正交表的符號是正交表的符號；4表示試驗次數(shù)表示試驗次數(shù)；2表示水平數(shù)表示水平數(shù)；3表示最多可安排因素個數(shù)表示最多可安排因素個數(shù).78表表3 L8(27)211212281221122712122126212121251122221422112213222211121111111176

42、54321列列 水平水平試驗試驗79 (2) (2) 任何兩列中，每一個任何兩列中，每一個水平搭配對水平搭配對 (1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2) 都出現(xiàn)，都出現(xiàn)， 且出現(xiàn)的次數(shù)且出現(xiàn)的次數(shù)(2(2次次) )相同相同. .特點特點(1)任何一列中，每個水平任何一列中，每個水平(1,2)(1,2) 都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)(4(4次次) )相同相同; ;80表表4 L9(34)列列 水平水平試驗試驗123411111212223133342123522316231273132832139332181 (2) (2) 任何兩列中，每一個水平搭配對任何兩列中，每一個水平搭

43、配對 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), (3,1), (3,2), (3,3) (3,1), (3,2), (3,3) 都出現(xiàn)，且出現(xiàn)都出現(xiàn)，且出現(xiàn) 的次數(shù)的次數(shù)(1(1次次) )相同相同. .特點特點(1)(1)任何一列中，每個水平任何一列中，每個水平(1,2,3)(1,2,3) 都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)(3(3次次) )相同相同; ; 82 若選用正交表若選用正交表Lp(nm)，則只需有選擇則只需有選擇 的做的做 p 次次: p=m(n-1)+1. 對于一個有對于

44、一個有m個因素，每個因素各有個因素，每個因素各有 n個水平，如果要做全面搭配試驗，應個水平，如果要做全面搭配試驗，應 做做 nm 次次. .83混合正交表混合正交表5 5：各個因素的：各個因素的水平水平不完全相同不完全相同(L8(4124)21124812214712123621213511222422112322221211111154321列號列號水平水平試驗號試驗號84(2)(2)任何兩列，各種水平搭配任何兩列，各種水平搭配 對都出現(xiàn)，且出現(xiàn)次數(shù)相同對都出現(xiàn)，且出現(xiàn)次數(shù)相同. .特點：特點：(1)(1)任何一列，對應的因素水任何一列，對應的因素水 平都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)相同平都出現(xiàn)，且出

45、現(xiàn)的次數(shù)相同; ;這就是正交表的這就是正交表的均衡性均衡性. .85正交表具有下列的性質：正交表具有下列的性質： (1) 正交表中正交表中任意兩行互換位置，任意兩行互換位置， 均衡性不變；均衡性不變； (2) 正交表中正交表中任意兩列互換位置，任意兩列互換位置， 均衡性不變；均衡性不變；(3) 正交表正交表任意一列里兩字碼做對換，任意一列里兩字碼做對換， 均衡性不變均衡性不變.86二二 正交試驗設計正交試驗設計1.1.安排試驗安排試驗 (1).確定試驗目的確定試驗目的一般的，指在什么條件下？結果最好一般的，指在什么條件下？結果最好結果：用一個指標刻畫，若有多個結果：用一個指標刻畫，若有多個 指

46、標，綜合考慮指標，綜合考慮條件：影響因素條件：影響因素(2). 定因素定因素確定哪些因素影響結果指標，可控確定哪些因素影響結果指標，可控87注意注意 因為對正交試驗來說增加一個因素，因為對正交試驗來說增加一個因素，不會像全面搭配試驗那樣增加很多工作不會像全面搭配試驗那樣增加很多工作量。相反，若少考慮一個有影響的因素，量。相反，若少考慮一個有影響的因素，等發(fā)現(xiàn)后再補救還得重做一批試驗。等發(fā)現(xiàn)后再補救還得重做一批試驗。 有的因素一時看不清它對試驗指標有的因素一時看不清它對試驗指標的作用，不妨將其列上的作用，不妨將其列上883 3個水平個水平4 4個因素全面搭配試驗需要個因素全面搭配試驗需要做做34

47、81次試驗，按照正交表需要次試驗，按照正交表需要做做9次試驗次試驗3 3個水平個水平5 5個因素全面搭配試驗需要個因素全面搭配試驗需要做做35243次試驗，按照正交表需要次試驗，按照正交表需要做做11次試驗次試驗89(3). 選水平選水平 根據(jù)水平數(shù)根據(jù)水平數(shù) n 和因素數(shù)選，若水平和因素數(shù)選，若水平 數(shù)是數(shù)是 n 可選可選 Lp(nm), 最好是最好是: m試驗要試驗要 求的因素數(shù)求的因素數(shù). . 每個因素選擇每個因素選擇 n 個水平個水平, , 水平數(shù)可水平數(shù)可相等，也可不相等相等，也可不相等. .(4). 選正交表選正交表90 這些空列可以作為這些空列可以作為交互列或者交互列或者誤差列誤

48、差列來安排來安排(5).表頭設計表頭設計 選定正交表以后，若不考慮交互選定正交表以后，若不考慮交互作用，可將因素放在任意列上，并作用，可將因素放在任意列上，并標上因素的記號標上因素的記號, , 可能出現(xiàn)可能出現(xiàn)空列空列. .91 把表頭上各因素的水平任意給一把表頭上各因素的水平任意給一 個水平號，并將各因素的諸水平所表個水平號，并將各因素的諸水平所表 示的實際狀態(tài)或條件填入正交表中示的實際狀態(tài)或條件填入正交表中. . 正交表的每一行就代表一個試驗方正交表的每一行就代表一個試驗方 案，于是就得到了案，于是就得到了9 9個試驗方案，如個試驗方案，如 表表6 6所示所示. .(6).明確試驗方案明確

49、試驗方案92表表6 L9(34) 幻燈片70列列 水平水平試驗試驗A1B2C3D411(60)1(2.5)1(1.1:1)1(500)212(3.0)2(1.15:1)2(550)313(3.5)3(1.2:1)3(600)42(70)123522316231273(80)132832139332193 按正交試驗表安排試驗，并記錄按正交試驗表安排試驗，并記錄 下各次試驗的結果，試驗結果依次下各次試驗的結果，試驗結果依次 記于試驗方案右側記于試驗方案右側. . 因素和水平可以任意排，但一經因素和水平可以任意排，但一經 排定，試驗條件也就完全確定了排定，試驗條件也就完全確定了. .(7). 試驗

50、實施試驗實施94表表5-7 L9(34) 幻燈片100列列 水平水平試驗試驗A1B2C3D4試驗結試驗結果果()11(60)1(2.5)1(1.1:1)1(500)38212(3.0)2(1.15:1) 2(550)37313(3.5)3(1.2:1)3(600)7642(70)123515223150623128273(80)132448321355933218695 (2) (2) 任何兩個因素的各種不同水任何兩個因素的各種不同水 平搭配是均衡的平搭配是均衡的 由正交表所具有的均衡性由正交表所具有的均衡性, , 確定的試驗方案必有以下特點確定的試驗方案必有以下特點(1) (1) 任何一個因

51、素，其所含水平任何一個因素，其所含水平 在各次試驗中出現(xiàn)次數(shù)相同在各次試驗中出現(xiàn)次數(shù)相同96 按正交試驗表安排的試驗比較全按正交試驗表安排的試驗比較全面反應各因素各水平對試驗結果的面反應各因素各水平對試驗結果的影響，因而可影響，因而可大大減少試驗次數(shù)大大減少試驗次數(shù). . 例例5.15.1中，如果全面搭配試驗中，如果全面搭配試驗, ,則則應做應做3 34 48181次試驗，利用正交表次試驗，利用正交表 L9(34)只要做只要做9 9次試驗次試驗. 實際實施試驗時不一定要按照試實際實施試驗時不一定要按照試驗號次序做，可根據(jù)實際情況靈活驗號次序做，可根據(jù)實際情況靈活變動先后順序。變動先后順序。 9

52、72.2.直觀分析直觀分析幻燈片幻燈片9797 直觀分析直觀分析（極差分析）法：通過極差分析各（極差分析）法：通過極差分析各因素各水平對試驗結果指標的影響大小，對其因素各水平對試驗結果指標的影響大小，對其綜合比較，確定最優(yōu)試驗方案綜合比較，確定最優(yōu)試驗方案ijiTT所有試驗結果之和所有試驗結果之和(1).極差計算極差計算 Tij：因素因素j(第第 j 列列)中中水平水平 i 對應的試對應的試 驗結果之和驗結果之和 因素因素 j (第第 j 列列) 的極差的極差ijiijijTTRminmax98表表5-8 L9(34)幻燈片 104列列 水平水平試驗試驗A1B2C3D4試驗結試驗結果果()11

53、(60)1(2.5)1(1.1:1)1(500)38212(3.0)2(1.15:1)2(550)37313(3.5)3(1.2:1)3(600)7642(70)123515223150623128273(80)1324483213559332186T1j151133175174T=519T2j183142174163T3j185244170182Rj341115198699 T11的值是由因素的值是由因素A取取“1”水平，因素水平，因素B、C、 D分別取分別取“1”、“2”、“3”各一次的第各一次的第1、2、3號試驗結果相加而成號試驗結果相加而成.由于因素由于因素B、C、D的三個水平均衡的各

54、取了一次的三個水平均衡的各取了一次. 因此因此, T11大致反映了大致反映了A1的影響的影響. T21大致反映了大致反映了A2的影響；的影響；T31大致反映了大致反映了A3的影響；的影響；100 Rj 反映了第反映了第 j 列上的因素對指標影響的列上的因素對指標影響的 大小大小，Rj越大越大，反映第反映第 j 列上因素影響越大列上因素影響越大. T12, T22 和和 T32大致反映了大致反映了B1, B2 和和 B3的影響的影響； T13, T23 和和 T33大致反映了大致反映了C1, C2 和和 C3的影響；的影響； T14, T24 和和 T34大致反映了大致反映了D1, D2 和和

55、D3的影響的影響.101(2). 極差分析極差分析 一般的說，各個列上極差不相等，說明各個因一般的說，各個列上極差不相等，說明各個因素的水平改變對試驗結果的影響不同，極差越大素的水平改變對試驗結果的影響不同，極差越大說明第說明第j列上因素水平的改變對試驗結果的影響也列上因素水平的改變對試驗結果的影響也越大，極差最大的那一列因素就是因素的水平改越大，極差最大的那一列因素就是因素的水平改變對試驗結果影響最大的因素，也就是最主要的變對試驗結果影響最大的因素，也就是最主要的因素，因此根據(jù)極差大小排列出因素的主次順序：因素，因此根據(jù)極差大小排列出因素的主次順序：因素對指標的影響因素對指標的影響例例1 1

56、 的試驗結果幻燈片的試驗結果幻燈片101101 主主 次次B , A, D , C102最優(yōu)的因素水平搭配最優(yōu)的因素水平搭配182175244185432134133231TTTT較好的水平搭配：較好的水平搭配：A3B3C1D3 最優(yōu)的因素水平搭配與最優(yōu)的因素水平搭配與指標要求指標要求有關有關. . 如例如例1,1,指標要求指標要求( (轉化率轉化率) )大好大好在每一因素在每一因素 j 中選使中選使 Tij 最大的最大的 i103 表中沒有這個試驗方案表中沒有這個試驗方案A3B3C1D3， 實際生產時，較好的因素水平搭配實際生產時，較好的因素水平搭配不等于真實實際生產時的最好條件，還不等于真

57、實實際生產時的最好條件，還得考慮經濟效益等實際情況加以綜合以得考慮經濟效益等實際情況加以綜合以得到最好的生產條件得到最好的生產條件. . 所以，在這個試驗方案下，試驗結果所以，在這個試驗方案下，試驗結果可能比可能比A3B3C2D1下的下的 86% 還高還高104水平變化使指標變化（趨勢）水平變化使指標變化（趨勢）橫坐標：水平橫坐標：水平i； 縱坐標縱坐標:Tij1053.3.方差分析方差分析利用正交表對試驗結果進行方差分析的基利用正交表對試驗結果進行方差分析的基本思想與雙因素方差分析的想法類似：首本思想與雙因素方差分析的想法類似：首先將數(shù)據(jù)的總變差平方和分解為各個因素先將數(shù)據(jù)的總變差平方和分解

58、為各個因素平方和與誤差平方和的和，然后給出檢驗平方和與誤差平方和的和，然后給出檢驗統(tǒng)計量：統(tǒng)計量：F統(tǒng)計量，計算出統(tǒng)計量，計算出F值，最后作出值，最后作出判斷判斷. 設有一試驗，使用正交表設有一試驗，使用正交表Lp(nm)， 試驗的試驗的 p 個結果為個結果為 y1, y2, , yp(1).方差分析計算公式方差分析計算公式106總變差平方和總變差平方和21()pTkkSyy 第第 j 列的水平列的水平 i 的試驗結果有的試驗結果有r=p/n個個，這這 r 個數(shù)據(jù)之和個數(shù)據(jù)之和=Tij，i=1, 2, , n, TTniij1pTypyyTpiipii111,記記221pkkTyp221pkk

59、ypy107第第 j 列的變差平方和列的變差平方和niijjpTrTrS12mjpTrTnniij, 2, 1,112211njijiTSTrp108 總變差平方和等于各列變差平方和之和總變差平方和等于各列變差平方和之和.恒等式恒等式mjjTSS1 ST 的自由度為的自由度為 p-1; Sj 的自由度為的自由度為 n-1則有則有p-1=m(n-1)109 對于對于2水平的正交表水平的正交表Lp(2m) ,由由 T1j+T2j=T 及及|T1j-T2j|=Rj， p=2r ，有有2212ijijTTrrSr2212112jjijiTTTr212()2jjTTr2jRp 因此，對于因此，對于2水平

60、的正交表，極差計算水平的正交表，極差計算 后再計算變差平方和很方便后再計算變差平方和很方便.110A1B23C4D56E7試驗結果試驗結果1111111114211122221331221122174122221117521212128621221211072211221118221211215T1jT2j6144456053525055564954515253T105Rj171515731Sj36.125 28.125 0.125 3.125 6.125 1.125 0.125 ST=74.875例例2 2續(xù)續(xù)表表10(表表9 9續(xù)續(xù)）幻燈片109111eEDCBASSSSSSSSSSSSS