《圓錐曲線(1)：橢圓》導學案(復習版)

1、圓錐曲線（1）：橢圓導學案（復習版）一知識全解（一）概念1.知識：1）概念：平面內到兩定點、的距離 等于常數(shù)（ |）的點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫做橢圓的 ，兩焦點的距離叫做橢圓的 ，一般用 表示。定義式 。2）要素：橢圓是個軸對稱圖形，有兩條互相垂直的對稱軸，以其建立坐標系，則：1）焦點與焦距;橢圓定義中的兩個定點叫焦點，焦點的距離叫 ，一般用 表示，焦點的坐標為（ ，0）和（ ，0）（焦點在軸），或（0， ）和（0， ）（焦點在軸）。2）頂點與長、短軸；橢圓與其對稱軸交點叫頂點，同一對稱軸上交點的距離，較長的叫 ，較短的叫 ，分別用 和 表示，其四個頂點的坐標依次是（ ，0）、（ ，0）、

2、（0， ）、（0， ）（焦點在軸），或（0， ）、（0， ）、（ ，0）、（ ，0）（焦點在軸）3）“半長軸”、“半短軸”、“半焦距”的關系： 。2.全解：1）平面內到兩定點、的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡，當這個常數(shù)等于|）時，存在嗎，若存在，是什么？若不存在，說明理由。2）平面內到兩定點、的距離的和等于常數(shù)點的軌跡，當這個常數(shù)小于于|）時，存在嗎，若存在，是什么？若不存在，說明理由。3）判斷下列點的軌跡是不是橢圓，若是，寫出的值，及以其對稱軸為坐標軸時的焦點和頂點的坐標。（1）平面內兩定點的距離為6，一動點到兩定的距離之和為6，則動點的軌跡。（2）平面內兩定點的距離為8，一動點到兩定的距離之

3、和為6，則動點的軌跡。（3）平面內兩定點的距離為6，一動點到兩定的距離之和為8，則動點的軌跡。(二)標準方程1.知識：1）標準方程：（1）焦點在軸： （2）焦點在軸： （3）統(tǒng)一方程： 。2）參數(shù)意義：1）是 （“半長軸”或“半短軸”或“半焦距”）2）是 （“半長軸”或“半短軸” 或“半焦距”）3）是 （“半長軸”或“半短軸” 或“半焦距”）3）軌跡法求動點軌跡的一般步驟（1）建： （2）設： （3）列： （4）表： （5）化： 。2.全解：1）知道橢圓的標準方程，如何判定其焦點的位置？2）什么情況下選擇統(tǒng)一方程？3）根據(jù)下列橢圓的方程，畫出橢圓的草圖（1）；（2）4）根據(jù)下列條件，直接寫出橢

4、圓的標準方程（1）焦點坐標為（0，-4）和（0，4），。（2）焦點坐標為（-4，0）和（4，0），（3）。（三）簡單性質1.知識：1）對稱性：橢圓既是 圖形，又是 圖形，由標準方程所確定的橢圓其對稱軸是 ，對稱中心是 。2）范圍：橢圓上所有的點都位于直線 和 所圍成的矩形內，所以橢圓上點的縱橫坐標分別滿足 ， 。 3）離心率：（1）定義：橢圓的 與 的比叫做橢圓的離心率，用 表示，即 。（2）范圍：取值范圍是 。（2）意義：描述橢圓 程度的代數(shù)量。越大，橢圓 ，越小，橢圓 。2.全解：1）判斷;（1）橢圓的對稱軸是兩個坐標軸，對稱中心是原點。（2）離心率越大橢圓越圓，離心率越小橢圓越扁。（3）

5、若焦點在軸上，則。2）說明離心率的取值范圍是如何確定的？3）求下列情況下，橢圓的離心率（1）；（2）。4）根據(jù)下列條件，直接寫出橢圓的標準方程（1），離心率為；（2），。二技能全解1.利用橢圓的軌跡定義判斷動點的軌跡是不是橢圓例1：已知是兩個定點，,且的周長是22，則動點的軌跡是不是橢圓，若是，指出常數(shù)和焦距的值。變式：中，的坐標分別為，且三邊成等差數(shù)列，則動點的軌跡是不是橢圓，若是，指出常數(shù)和焦距的值。2.根據(jù)橢圓的標準方程求出橢圓的相關要素，并畫出橢圓的草圖例2：根據(jù)下列橢圓的標準方程，求出橢圓頂點坐標、焦點坐標及長軸、短軸、焦距，并畫出橢圓的的草圖。變式：根據(jù)下列橢圓的標準方程，求出橢圓

6、頂點坐標、焦點坐標及長軸、短軸、焦距，并畫出橢圓的的草圖。3利用軌跡法求橢圓的標準方程例3：已知是兩個定點，,且的周長是22，求動點的軌跡。變式：中，的坐標分別為，且三邊成等差數(shù)列，求動點的軌跡。4利用定義法求橢圓的標準方程例4：已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓標準方程變式：已知橢圓的焦點是F1(0，1)、F2(0,1)，P是橢圓上一點，并且PF1PF22F1F2，求橢圓的標準方程。5利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程例5：若橢圓經(jīng)過點和,求橢圓的標準方程。變式：橢圓過點和，求橢圓的標準方程。6利用離心率的定義求離心

7、率例6：求橢圓的離心率。變式：求橢圓的離心率。三題型全解 1求橢圓的標準方程例1：中，的坐標分別為，且邊所在的直線的斜率之積等于，求動點的軌跡。變式：若ABC頂點B, C的坐標分別為(8, 0), (8, 0)，AC, AB邊上的中線長之和為30，求ABC的重心G的軌跡。例2：已知橢圓的兩焦點坐標分別是，并且經(jīng)過點，求橢圓的標準方程。變式：求過點，且與橢圓的焦點相同的橢圓的標準方程。2.求橢圓的離心率例3：已知矩形，則以為焦點，且過兩點的橢圓的離心率為 。變式：若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為,則橢圓的離心率為 。例4：橢圓的一個焦點將長軸分成3：2兩部分線段，求離心率變式：P是橢圓+=1（ab0）上

8、一點，是橢圓的左右焦點，已知 橢圓的離心率為 例5：橢圓(ab0)的半焦距為c，若直線y=2x與橢圓的一個交點的橫坐標為c求離心率 。變式：橢圓的焦距，短軸，長軸成等差數(shù)列，求其離心率。4.求橢圓離心率的范圍例6：設橢圓的左、右焦點分別為，如果橢圓上存在點P，使，求離心率的取值范圍。變式：知是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且，求離心率的取值范圍。四針對演練1. 已知動點到定點的距離之和不小于的常數(shù)，則動點的軌跡是 橢圓 線段 橢圓或線段 不存在 2若方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是( )A.(-16，25)B.( ，25)C.(-16，)D.( ，+)3.橢圓的焦點坐標是

9、（ ） A(7, 0) B(0, 7) C(,0) D(0, )4點P為橢圓上一點，以點P以及焦點F1, F2為頂點的三角形的面積為1，則點P的坐標是（ ）A(, 1) B(, 1) C(, 1) D(, 1)5已知橢圓的兩個焦點為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且2a10，則橢圓的標準方程是_。6過點(3,2)且與橢圓1有相同焦點的橢圓的標準方程是_。7.橢圓過A(6,0)，B(0,8) ，則其標準方程 。8.橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點距離分別是10和4，則其標準方程為 。9若ABC的兩個頂點坐標A(4,0)，B(4,0)，ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為_10. 已知橢圓的標準

10、方程是1(a5)，它的兩焦點分別是F1，F(xiàn)2，且F1F28，弦AB過點F1，則ABF2的周長為_11已知橢圓1的左、右焦點分別為F1、F2，P是橢圓上的一點，Q是PF1的中點，若OQ1，則PF1_.12設F1、F2是橢圓1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且PF1PF221，則PF1F2的面積等于_13已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于 14.已知則當mn取最小值時，橢圓的的離心率為 。15若橢圓短軸端點為滿足，則離心率為 。16設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 17已知F1為橢圓的左焦點，A、B分別

11、為橢圓的右頂點和上頂點，P為橢圓上的點，當PF1F1A，POAB（O為橢圓中心）時，其離心率 。18已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍 。19設橢圓（ab0）的兩焦點為F1、F2，若橢圓上存在一點Q，使F1QF2=120，橢圓離心率e的取值范圍為 20已知橢圓x22y2a2(a0)的左焦點F1到直線yx2的距離為2，求橢圓的標準方程21已知圓C：(x3)2y2100及點A(3,0)，P是圓C上任意一點，線段PA的垂直平分線l與PC相交于點Q，求點Q的軌跡方程22已知定點和，定圓的圓心為，且半徑為，動圓過定點，且與定圓相切。若，試求動圓圓心的軌跡。23已知F1、

12、F2是橢圓1的兩個焦點，P是橢圓上任意一點1)若F1PF2，求F1PF2的面積；2)求PF1PF2的最大值答案與解析：二技能全解：例1：答案：是橢圓但除去與橫軸的兩個交點，；考點：橢圓的第一定義。變式：答案：是橢圓但除去與橫軸的兩個交點，；考點：橢圓的第一定義。例2：略變式：略。例3：答案：；考點：軌跡法、定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標準方程。變式：答案：；考點：軌跡法、定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標準方程。例4：答案：或；考點：定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標準方程。變式：答案：1；考點：定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標準方程。例5：答案：；考點：待定系數(shù)法、橢圓的標準方程。變式：答案：；考點：待定系數(shù)

13、法、橢圓的標準方程。例6：答案：；考點：橢圓的標準方程，參數(shù)的關系，離心率的定義。變式：答案：；考點：橢圓的標準方程，參數(shù)的關系，離心率的定義。三題型全解：例1：答案：；考點：軌跡法、橢圓的標準方程。變式：答案：；考點：軌跡法或定義法、橢圓的標準方程。例2：答案：；考點：定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標準方程。變式：答案：；考點：定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標準方程。例3：答案：；考點：離心率的定義、橢圓參數(shù)的幾何意義。變式：答案：；考點：離心率的定義、橢圓參數(shù)的幾何意義。例4：答案：；考點：整體和方程思想（一元一次方程）、離心率的定義。變式： 答案：；考點：整體和方程思想（一元一次方程）、離心率的

14、定義。例5：答案：；考點：整體和方程思想（一元二次方程）、離心率的定義。變式： 答案：；考點：整體和方程思想（一元二次方程）、離心率的定義。例6：答案：；考點：離心率的定義和范圍、均值不等式（或橢圓的范圍、數(shù)形結合法）變式：答案：；考點：離心率的定義和范圍、余弦定理、均值不等式（或橢圓的范圍、數(shù)形結合法）四針對演練1.答案：C；考點：橢圓的第一定義。2.答案：B；考點：橢圓參數(shù)的關系。3.答案：D；考點：橢圓標準方程及參數(shù)的關系。4.答案：D；考點：橢圓標準方程及參數(shù)的關系，橢圓的對稱性，數(shù)形結合。5.答案：1；考點：橢圓標準方程及其參數(shù)關系，待定系數(shù)法。6.答案：1；考點：橢圓標準方程及其參

15、數(shù)關系，待定系數(shù)法或定義法。7.答案：；考點：橢圓標準方程、頂點坐標，待定系數(shù)法。8.答案：或；考點：橢圓標準方程、幾何要素，待定系數(shù)法。9.答案：1(y0)）；考點：橢圓的定義、標準方程、軌跡法或定義法。10.答案：4；考點：橢圓的第一定義。11.答案：6；考點：橢圓的第一定義。12.答案：4；考點：橢圓的定義、標準方程。13.答案：；考點：離心率的定義，整體和方程思想。14.答案：；考點：離心率的定義，整體和方程思想。15.答案：；考點：離心率的定義，參數(shù)的幾何意義，整體。16.答案：；考點：離心率的定義，參數(shù)的幾何意義，整體。17.答案：；考點：離心率的定義，整體和方程思想。18.答案：；考點：離心率的定義和范圍，參數(shù)關系，整體思想。19.答案：；考點：離心率的定義和范圍，參數(shù)關系，余弦定理，均值不等式整體思想。20.答案：1.；考點：橢圓的標準方程、待定系數(shù)法、點到直線的距離公式。21.答案：1；考點：橢圓的標準方程、定義法、線段中垂線的性質。22.答案：；考點：圓內、外切的充要條件，橢圓的定義、標準方