第二型曲線積分

1、 2第二型曲線積分教學目的：掌握第二型曲線積分的定義，性質(zhì)和計算公式.教學要求：(1)掌握第二型曲線積分的定義和計算公式，了解第一、二型曲線積分的差別.(2) 了解兩類曲線積分的聯(lián)系教學建議：(1)要求學生必須掌握第二型曲線積分的定義和計算公式.(2)兩類曲線積分的聯(lián)系有一定的難度，可要求較好學生掌握，并布置這方面習題 教學程序：一. 第二型曲線積分的定義：1. 力場F(x,y)二P(x,y) , Q(x,y)沿平面曲線L從點A到點B所作的功：一質(zhì)點受變力F(x,y)的作用沿平面曲線C運動,當質(zhì)點從C之一端點A移動到另一端B 時，求力F(x,y)所做功W.大家知道，如果質(zhì)點受常力F的作用沿直線

2、運動，位移為s.那末這個常力所做功為W=|F|s|cos 二其中l(wèi)|F|.|s| 分別表示向量(矢量)的長度，二為F與S的夾角現(xiàn)在問題的難度是質(zhì)點所受的力隨處改變，而所走路線又是彎彎曲曲.怎么辦呢？還是用折線逼近曲線和局部一常代變的方法來解決它(微分分析法). 為此，我們對有向曲線C作分割T 二AoA,An，An,即在 AB 內(nèi)插入n-1個分點Mi,M2,.,Mn,與A=M,B二Mn 起把曲線分成n個有向小曲線段MiJLM蟲=1,2,n)以 Si記為小曲線段Mi jM i的弧長.生二max Si設力F(x,y)在x軸和y軸方向上的投影分別為P(x,y)與Q(x,y)即 F(x,y)=(P(x,

3、y),Q(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j由于 M i(Xi 4, yi).M i (Xi, yi),記 Xi =Xi - xyi = yi - yi從而力F(x,y)在小曲線段M i 4M i上所作的功Wi ： F( , i) Cmi丄=P( i, j) xi +Q ( i, j)勺ii其中(i, j )為小曲線段MyMi上任一點，于是力F沿C(AB)所作的功可近似nnnWi= Wi 八(P(Si, i) Xi Q(Si, i) yi 1i =1i 當 0時,右端積分和式的極限就是所求的功，這種類型和式極限計算上述形式的和式上極限 得W = abF(dx,dy), 即 w = jF

4、ds.2. 穩(wěn)流場通過曲線(從一側(cè)到另一側(cè))的流量：解釋穩(wěn)流場.(以磁場為例).設有流速場v(x,y)二P(x, y) , Q(x,y).求在單位時間內(nèi)通過曲線 AB從左側(cè)到 右側(cè)的流量E .通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為ABdE 二 ABP(x，y)dy-Q(x,y)dx.3. 第二型曲線積分的定義： 設P,Q為定義在光滑或分段光滑平面有向曲線C上的函數(shù)，對任一分割T,它把C分成n個小弧段M ,1=1,2,3,n;記皿心)，MidM i弧長為.，二 max Si，:人二 Xj - Xj ” y 二 yi,I=1,2,3,n.nn又設(j, j) M j jMj,若極限 lim p( i

5、, i). ：xi+lim Q( i, i). ：yii 4i=1存在且與分割T與界點(I, j)的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)P,Q有線段C上的第二類曲線積分,記為 Pds Qdy orPds QdycABorPdx 亠 i Qdy orPds 亠 j QdyccABAB注(1)若記 f(x,y)=(P(x,y),Q(x,y) ,ds=(dx,dy)則上述記號可寫成向量形式：fdsc倘若C為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲線，P,Q,R為定義在C上的函數(shù)，則可按上 述辦法定義沿有向曲線C的第二類曲線積分，并記為(fds= J P(x,y,z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y,

6、z)dzc按這一定義，有力場F(x,y)二P(x, y) , Q(x, y)沿平面曲線L從點A到點B所作的功為W Pdx Qdy.AB流速場v(x,y)二P(x,y) , Q(x, y)在單位時間內(nèi)通過曲線 AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E 為 E = ab Pdy - Qdx.第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性對二型曲線積分有二-,LAB;BA因此，定積分是第二型曲線積分中當曲線為X軸上的線段時的特例.可類似地考慮空間力場F(x, y, z) hP(x, y,z) , Q(x, y,z) , R(x,y,z)沿空間曲線AB所作的功.導出空間曲線上的第二型曲線積分ABP(x,y,z)dx Q(x

7、,y,z)dy R(x,y,z)d z.4. 第二型曲線積分的性質(zhì)：第二型曲線積分可概括地理解為向量值函數(shù)的積累問題.與我們以前討論過的積分相比，除多了一層方向性的考慮外，其余與以前的積累問題是一樣的，還是用Riemma的思想建立的 積分因此，第二型曲線積分具有(R)積分的共性，如線性、關(guān)于函數(shù)或積分曲線的可加 性.但第二型曲線積分一般不具有關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性，這是由于一方面向量值函數(shù)不能比較 大小，另一方面向量值函數(shù)在小弧段上的積分還與弧段方向與向量方向之間的夾角有關(guān)(1)線性性 設C為有向曲線,fds, Jgds存在,貝U= R,則 C(f + Bf)ds存在,且f 十 Bf )ds = a

8、 fds 十 B gds 可加性：設fds存在，C二C仁.C2,二fds,fds 存在,且 fds = j fds 亠 I fds心C2cA七2(1)平面上光滑閉曲線如何規(guī)定方向呢？此時無所謂”起點”終點”，若為封閉有向線段， 則記為，fdsc 設C-是 C的反向曲線(即C和C方向相反),貝U fds二fdsLcLc即是說第二類曲線積分與曲線的方向有關(guān)(注意第一類曲線積分表達示是函數(shù)f與弧長的乘機,它與曲線C的方向無關(guān)),這是兩種類型曲線積分的一個重要差別二.第二型曲線積分的計算：曲線的自然方向：設曲線L由參數(shù)式給出稱參數(shù)增大時曲線相應的方向為自然方向.設L為光滑或按段光滑曲線，L : x=(

9、t), y(t),.A, Bf)C)；函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)在L上連續(xù)，則沿L的自然方向(即從點A到點B的方向)有LP(x,y)dx Q(x,y)dyP (t)(t) : (t) Q ：(t)(t) (t) dt .(證略) 注：起點參數(shù)值作下限，終點參數(shù)值作上限.例1計算jxydx + (y-x)dy，其中L分別沿以下路線從點A(“ )到點B(2,3)Li) 直線ABii) 拋物線 acb : 2 x -1 21iii) 三角形周界ADBA 解i ) 直線ab : *X = 1 +t, r i t E 0,1 )=1 +2t,1故 xydx y -x dy= 11 t 1 2t 2t

10、 dt =25AB06ii) 拋物線 ACB : 2 x -1 21，仁 x 乞21Jxydx + (y-x )dy = j2(x T 丫 +12(x T j +1-x 4(x T 如二10ACB03iii) 三角形周界ADBA :Baxydx 亠y - x dy = xydx 亠y - x dy + xydx 亠y - x dy+ xydx y - x dyADBAADDB230=xdx+ y -2 dy+ 1.1 t 1 2t 2tdt=3025 = _8iii263注：這里沿不同路徑積分值不同，而沿封閉曲線的值不為0.例2計算.xdy ydx，這里L : i）沿拋物線從o到BLii）沿直

11、線段ob : y = 2x iii）沿圭寸閉曲線OABO 解1i )沿拋物線從 O 到 B : xdy ydx= & 4x 2x2 ldx=20ii)沿直線段o b : y = 2x ,1xdy ydx= 2x 2xdx=2Lo注：這里不同路徑積分值相同iii）沿封閉曲線OABO :xdy ydx= xdy ydx + xdy ydx+ xdy ydx= 2_ 2 ；= 0LOAAB注：由于這里不同路徑積分值相同, 空間曲線時有：BO設有空間光滑曲線造成沿封閉曲線的值為0“叮起點為x ,y終點為x ： ,y ： ,z ：則有:Pdx Qdy RzyLpv Pxt,yt,zt x t Qxt,y

12、t,zt y t R x t ,y t ,z t z t dt注：仍為起點參數(shù)作下限，終點參數(shù)作上限.例3計算第二型曲線積分.xydx y dy x2dz， L是螺旋線：x = acost， y = asin t，Lz = bt從t =0至V t =専上的一段2 JT解 xydx x y dy x dz= J a3 costs in21 a2 cos21 -a2 sin tcost a2bcos2t dtL 0_ 12= -a2 1 b 二2例4求力F（y,x,x+y+z ）作用下i）質(zhì)點由 a沿螺旋線 L1到b所做的功，其中L1 :x = a cost， y = a si nt， z = b

13、t， 0 _ t _ 2二，）質(zhì)點由解 i) W = ydx 一 xdy x y z dzL2 二=a2 sin2t - a2cos2t abcost absint b2t dt0=2二二b2 _a2ii) w= ydx-xdy x y z dzL2 二=a t dt=2b a b0注：這里不同路徑積分值不同.解法解法第二十章習題課1 1第一型曲線積分求(xy yz zx)ds，其中L是球面X2 y2 z2二a2與平面X y 0的交線L1(xy yz zx)ds 2(xy yz zx)dsL2 L12222=2 (x y z) -(x y z )dsL1-1/ 2 2 2 3 . 3(x y

14、- z )dsds -二a2 L2 L求曲線l的參數(shù)方程由x2亠y2亠z2 =a2， x亠y亠z = 0消去y，得 x2 +(x + z)2 + z2 = a2z 2 a 32(x )(12 z )a令 z = /asint，則(1 z2) = cost -2sint2 ( 2a226y =-(x+z) = + -cost -sint2V6于是得到兩組參數(shù)方程aax =cost -sin t 2v 6y = - cost -莘 si nt *at2%6z = Jasi n t勺3aax ：cost sin tV2J6y = -cost - - sin tV26z = jasin tV3我們可任

15、選一組，例如第一組顯然，被積函數(shù)和L都具有輪換對稱性，則(xy yz zx)ds = 3 zxdsLL2(t) y2(t) z2(t)dt 2:二1 二 3a2 sint (cost sint) .x 0(3_2兀12兀=(3a3 Jsint (cost -sin t)dt = -a3 Jsin2tdt =a3 0*30解法3作坐標旋轉(zhuǎn).就坐標是(x y)，新坐標是(X Y)，旋轉(zhuǎn)角為日，則旋轉(zhuǎn)變換的一般公式 為x = X cos)-Ysin J， y 二 X sin 二 Ycos因為平面x + y +z = 0的單位法矢為n = -1,1,1，則它與z軸的夾角余弦為cos =.下V3Ouvw

16、坐標系下的線積分；寫出參數(shù)方程套公式 -；計算定積分在新的坐標下，曲線有簡單的參數(shù)方程這個解法表明，可以適當?shù)剞D(zhuǎn)化問題，例如作 坐標旋轉(zhuǎn)，從而獲得簡單的參數(shù)方程.第二十章習題課2 2第二型曲線積分例1計算曲線積分 = (y2 _z2)dx (z2 _ x2)dy (x2 _ y2)dz，L(1) L是球面三角形x2 y2 z2 =1，x 0，y 0，z . 0的邊界線，從球的外側(cè)看去，L的 方向為逆時針方向；(2) L是球面x2 y2 z2= a2和柱面x2y2= ax(a0)的交線位于Oxy平面上方的部分，從x軸上(b,0,0)(ba)點看去，l是順時針方向解 (1)顯然，_具有輪換對稱性，

17、且被積表達式也具有輪換對稱性，將_分為三段L1:2 xy2=1， z=0( x 0，y 0)L2 :2yz2 = 1，x =0(y 0，z -0)L3 :x2z2 =1，y = 0(x 0，z -0)L2 2 2 2 2 2=3 (y z )dx (z x )dy (x y )dzLi0 1=3 y dx x dy =3(1 _ x2)dx - 3 (1 - y2)dy = _4- 1I = (y2L=3 (y2 -z2)dx =3( 1 亠廣 J(y2L- 2-z2)dx (z2 -x2)dy (x2 -y2)dz-z2)dxL1 L 2 L3- 2 0=3 y dx 3 -z dx =3(

18、1_x2)dx-3 (1 x2)dx=-4L1L310這里利用輪換對稱性使計算化簡，都是寫為某積分的3倍.它們的區(qū)別在于第一種方法：積分表達式不變，積分化為Lr上的積分的3倍.第二種方法：積分曲線L不變，積分化為表達式中第一項積分的3倍.1是否可化為既是L1上的積分的3倍，又是表達式中第一項積分的 3倍，即I = (y2 -z2)dx (z2 - x2)dy (x2 - y2)dz = 9 (y2 - z2)dxLL1(2)曲線關(guān)于Ozx平面對稱，且方向相反(y2 -z2)dx 二(y2 -z2)dx(y2-z2)dx=0LL,y_0L,y 衛(wèi)2 2 2(x -y )dz 二(x - y )dz 二(xL1 = (y2L面求曲線L的參數(shù)方程.方法1利用球面的參數(shù)方程x = a cos v sin ，y = asin sin ，z = a cos ， 代入柱面方程x2 y2二ax得sin，cos，于是得L的參數(shù)方程x=acos2 v， y = asin，cosv