第二章賦范線性空間黎永錦

1、第 2 章 賦范線性空間雖然不允許我們看透自然界本質(zhì)的秘密,從而認(rèn)識現(xiàn)象的真實(shí)原因, 但仍可能發(fā)生這樣的情形：一定的虛構(gòu)假設(shè)足以解釋許多現(xiàn)象.L. Eurler( 歐拉 )(1707-1783,瑞士數(shù)學(xué)家 )E. Schmidt 在1908 年討論由復(fù)數(shù)列組成的空間( zi ) :| zi |2 時(shí)引入記號i 1| z |( zi zi )1, | z |.F . Riesz1918來表示后來就稱為在2z 的范數(shù) 賦范空間的公理出現(xiàn)在i 1年關(guān)于 C a, b 上關(guān)于緊算子的工作中,但賦范空間的定義是在1920到 1922年間由S. Banach（ 18921945）、H . Hahn（187

2、9 1934）、E. Helly（ 1884 1943 ）和 N . Wiener（ 1894 1964）給出的 ,其中以 S. Banach 的工作最具影響 .2.1 賦范空間的基本概念線性空間是Giuseppe Peano 在1888 年出版的書Geometrical Calculus中引進(jìn)的 . S. Banach 在 1922 年的工作主要是建立具有范數(shù)的完備空間,以后為了紀(jì)念他稱之為Banach空間 .他定義的空間滿足三組公理,第一組公理定義了線性空間,第二組定義了范數(shù),第三組給出了空間的完備性.定義2.1.1 設(shè) K 是實(shí)數(shù)域R 或復(fù)數(shù)域 C , X 是數(shù)域 K 上的線性空間,若

3、| |是 X 到 R的映射 ,且滿足下列條件：(1)| x |0 且 | x |0 當(dāng)且僅當(dāng) x0 ;(2)|x | | | x |,對任意 xX 和任意K;(3)| xy | | x | y | ,對任意x, yX.則稱 | |為X 上的范數(shù),而 | x |稱為x 的范數(shù),這時(shí)稱(X, |) 為賦范線性空間.明顯地,若(X,|)為賦范線性空間,則對任意x, yX ,定義d( x, y)| xy |時(shí) , ( X , d ) 為 度 量 空 間 , 但 對 一 般 的 度 量 空 間 (X , d ) , 當(dāng) X 為 線 性 空 間 時(shí) , 若 定 義| x |d( x,0) ,則 | x |

4、不一定就是 X 上的范數(shù) .例 2.1.1 設(shè) s 數(shù)列全體 , 則明顯地 , s為線性空間 , 對任意的 x, ys , 定義d (x, y)| xiyi|i!(1| xiyi |)i1則d (x,0)| xi|i !(1 | xi|)i1但d (x,0)| xi| | d ( x,0)i !(1| | xi|)i 1取 x0(1, 0,0), 01, 則211d (0 x0 ,0)21312而|0 | d ( x0 ,0)111224因此d(0 x0 ,0)|0| d ( x0 ,0)所以 , d (x0 ,0)不是 s 上的范數(shù) .問題2.1.1 對于線性空間X 上的度量 d , 它滿足

5、什么條件時(shí), | x |d ( x,0) 才能成為范數(shù)？定理2.1.2設(shè)X是線性空間, d是X上的度量 在X上規(guī)定 | x |d (x,0),則X成為賦,范線性空間的條件是：(1)d ( x, y)d ( xy,0) ,對任意 x, yX；(2)d ( x,0)| d( x,0) ,對任意 xX 和任意K .下面舉出賦范線性空間的一些例子.例 2.1.3對于 l1( xi ) | xiK , | xi| , | x | xi |是 l1 的范數(shù) , 即 (l1 ,| |)i 1i 1是賦范線性空間 .例 2.1.4對于 1p, l p( xi ) | xiK ,| xi |p 在范數(shù)i 11|

6、 x | (| xi | p ) pi 1下是賦范線性空間.例 2.1.5l( xi ) | xiK , sup | xi | 在范數(shù) | x |sup | xi | 下是賦范線性空間.例 2.1.6c0 ( xi ) | xiK , lim xi0 在范數(shù) | x | sup | xi | 下是賦范線性空間 .i例 2.1.7C a, b x(t) | x(t)為 a,b 上的連續(xù)函數(shù) , 在范數(shù) | x | sup | x(t) | 下是賦范線性空間 .由于賦范線性空間在度量d ( x, y)| x y | 下是度量空間 ,因此 ,在度量所引入的序列收斂 ,開 (閉 )集、稠密和緊集等概念

7、都可以在賦范線性空間中使用.定義 2.1.2 設(shè)X 是賦范空間 xn X , x0X , 若 xn 依度量 d (x, y)| x y |收斂于 x0 , 即 lim | xnx0| 0 ,則稱 xn 依范數(shù) | |收斂于 x0,記為nxn|x0在賦范線性空間中,仍然用 U ( x0 , r ) xX | xx0 | r 記以 x0 為球心 , r 為半徑的開球 ,用 B( x0 , r ) x X | | x x0 |r 記以 x0 為球心 , r 為半徑的閉球. 為了方便 ,用SX x X | | x |1記以 0為球心 ,1 為半徑的閉單位球面 . 用 BX xX | x | 1 記以

8、0 為球心 ,1 為半徑的閉單位球. 用UX xX | | x | 1 記以 0 為球心 ,1 為半徑的開單位球.例 2.1.8 在 Euclid 空間 R2中 ,對于 x( x1 , x2 ) 可以定義幾種不同的范數(shù):| x |1 | x1 | x2 |1| x |2(| x1 |2| x2 |2 ) 2| x |3max| x1 |, | x2 |則對 x0(0, 0), r1, 閉球 B(x0 , 1) 在不同范數(shù)下的形狀為：B1 x | | x |11B2 x | x |21B3 x | | x |31思考題2.1.1設(shè) ( X , | |) 是賦范線性空間, 問開球 U (x0 ,

9、r ) 的閉包是否一定是閉B( x0 , r ) ?思考題2.1.2 設(shè) (X, |) 是線性空間 ,問閉球 B(x0 , r ) 內(nèi)部是否一定是開球U (x0 , r ) ?在賦范線性空間中,加法與范數(shù)都是連續(xù)的 .定理 2.1.8 若 ( X ,|) 是賦范空間 xnx0 , yny0 ,則 xnynx0y0 .證明 由 | ( xnyn )(x0y0 ) | | xnx0 | yny0 | 可知定理成立 .定理2.1.9 若 (X ,|) 是賦范空間 , xnx0 , 則 | xn | x0 | .證明由 | xn| xnx0| | x0| 和 | x0 | | xn x0 | xn |

10、,可知| | xn | x0 | | | xnx0| ,因此 | xn | x0 |.定義 2.1.3 設(shè) (X ,|) 是賦范線性空間 ,若 xn X , | xmxn |0(m, n) 時(shí),必有 xX ,使 | xnx |0, 則稱 (X,|) 為完備的賦范線性空間 .根據(jù) M. Frechet Espaces abstraits, GauthierVillars , Paris , 1928 的建議 , 完備的賦范線性空間稱為Banach空間 .不難證明 , Rn , co , l p (1p), l 都是 Banach 空間 .在數(shù)學(xué)分析中,曾討論過數(shù)項(xiàng)級數(shù),函數(shù)項(xiàng)級數(shù) ,類似地 ,在

11、賦范線性空間中,也可定義無窮級數(shù) .定義2.1.4設(shè)(X,|) 是賦范線性空間, 若序列 Sn x1x2xn 收斂于某個(gè) xX 時(shí) ,則稱級數(shù)xn 收斂 ,記為 xxn .n 1n 1定義2.1.5設(shè)(X,|) 是賦范線性空間 ,若數(shù)列 | x1 | x2| xn | 收斂時(shí) ,則稱級數(shù)xn 絕對收斂 .n 1在數(shù)學(xué)分析中絕對收斂的級數(shù)一定是收斂的,但在賦范空間上卻不一定成立,先來看看下面一個(gè)定理 .定理2.1.10 設(shè) ( X , | |) 是賦范線性空間 ,則 ( X , | |) 是 Banach 空間的充要條件為X的每一絕對收斂級數(shù)都收斂 .證明設(shè) ( X , | |) 是 Banac

12、h 空間 ,且xn 絕對收斂 ,則由 | xn |可知 ,n 1n 1對于 Snx1 x2xn ,有| Sn pSn | | xn 1xn p | | xn 1 | xn p |0 (n) ,因 此 Sn是 X 的 Cauchy 列 , 由 ( X , | |) 的 完 備 性 可 知 , 存 在 xX 使 lim Snx , 即nxnxn 1反之 ,設(shè) X 的每一個(gè)絕對收斂級數(shù)都收斂,則對于 X 的 Cauchy 列 xn ,對 k12k , 有n1 n2nk nk 1, 使得| xn k 1 xn k |1k (k 1, 2, )2因而| xnk 1 xnk |.n 1由假設(shè)可知( xnk

13、 1xn )收斂于某個(gè) xX ,即 xn 收斂 x ,所以 xn 必收斂于kkn 1x ,從而 (X ,| |)完備 .事實(shí)上 ,在實(shí)數(shù)空間R 中 ,正是由于 R 的完備性才保證了絕對收斂級數(shù)一定是收斂的.定義2.1.6 設(shè) (X , |) 是賦范線性空間,若 MX是X的線性子空間,則稱(M ,|)為(X,|)的子空間,若 M還是(X,|) 的閉集,則稱(M ,|) 為 ( X , | |) 的閉子空間.明 顯 地 , 若 ( X , | |) 是 Banach 空 間 , M 為 ( X , | |) 的 閉 子 空 間 , 則 (M , | |) 是Banach空間 ,反之亦然 .定 理2

14、.1.11 設(shè) ( X , | |) 是 Banach 空間 , M 為 ( X , | |) 的子空間, 則 ( M , | |) 是Banach空間當(dāng)且僅當(dāng)M 是 X的閉集.證明設(shè) ( X, | |)是Banach空間 ,當(dāng)xnM,且xnx 時(shí) ,則 xn 為 M的 Cauchy 列 ,因而 xn 收斂于M上的一點(diǎn),故 xM ,即MM,所以M是閉集.反之,設(shè) xn M 為 Cauchy 列 , 則 xn 為(X , | |)的Cauchy 列 ,由于 ( X , | |) 是Banach空間 ,因此 xn 是收斂列, 即存在xX使xnx ,又由于M 是(X,| |)的閉子空間 ,因此 xM

15、 ,即 xn 在 M 中收斂于 x ,所以 (M , | |) 是 Banach 空間 .定義 2.1.7 設(shè) X 是線性空間 , p 為 X 上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),且滿足：（ 1） p(0) 0；（ 2）p( xy)p(x) p( y) ,對任意 x, y X；（ 3）p( x)| p( x) ,對任意 x X ,任意K .則稱 p 為 X 上的半范數(shù) .明顯地 , X 上的范數(shù)一定是半范數(shù) ,但對 X 上的半范數(shù)p ,由于 p(x)0時(shí)不一定有 x 0,因此半范數(shù)不一定是范數(shù) .例 2.1.9在 l中 ,定義 p1( x)| x1 |,易證 p1 (x) 是 l 中的半范數(shù) ,但對于x (0,

16、 x2 , xn ,) , 都有 p1 (x)0,因此 p 不是 l 的范數(shù) .有什么辦法能使( X , p) 中的問題轉(zhuǎn)化為賦范空間中來解決呢？定義2.1.8 設(shè) X 是線性空間 , M 是 X 的線性子空間,若 x1x2M ,則稱 x1 與 x2 關(guān)于M 等價(jià) ,記為 x1 x2 (M )易知 ,等價(jià)具有下面的三個(gè)性質(zhì)（ 1）x x （反射性）；（ 2）x y 推出 y x （對稱性）；（ 3）x y , y z 推出 x z （傳遞性） . y | y x( M ), y M ,明顯地 ,若 M 是線性空間X 的線性子空間 ,記 x則 x 的全體在加法 xyx y 和數(shù)乘xx 下是線性空

17、間 ,稱為 X 對模 M 的商空間 ,記為 X / M .X/M 中,對0在商空間X , 0M ,即 0是 X/M 的零元 ,而對 X /M 的每一元素 x , x 都是唯一確定的 ,并且對于加法和數(shù)乘都是唯一確定的 .例 2.1.10對于(i) | sup |i | 取i1ilxx, M( x ) | x0, sup | x| ,則 M 為 l 的子空間 ,對 x, yl/ M,當(dāng) xy 時(shí)有 xy M ,即 x1y1 0 ,這時(shí) l/ M R當(dāng) (X,|) 為賦范線性空間, M 為 X 的閉線性子空間時(shí),在 X / M 商空間中還可以定義范數(shù) ,使 X / M 成為賦范線性空間 .定理 2

18、.1.14設(shè)(X,|) 是賦范線性空間, M 為 X 的閉線性子空間 ,在 X / M 上定義范數(shù)| inf| 則是賦范線性空間|xyy(X /M,|).x ,利用上面的技巧不難證明,當(dāng) p( x) 為X上的一個(gè)半范數(shù)時(shí)取,M x | p(x)0, | x | inf| y | | yx ,p( x) .則(X /M ,|) 是一個(gè)賦范線性空間,且對任意 xX 有 , | x |當(dāng) X 是空備賦范線性空間, M 為 X 的閉子空間的, X / M 還具有完備性 .定理 2.1.15 設(shè) X 是 Banach空間 , M 為 X 的閉子空間 ,則 X / M 是 Banach 空間 .2.2范數(shù)

19、的等價(jià)性與有限維賦范空間在同一線性空間上,可以定義幾種不同的范數(shù),使之成為不同的賦泛線性空間,但有時(shí) X上的幾種不同范數(shù)誘導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g是一樣的,有時(shí)卻很不相同,這主要是X 上的序列依范數(shù)收斂的不同引起的.定義 2.2.1設(shè) X 是線性空間 , |1 和 | | |2 是 X 上的兩個(gè)不同范數(shù),若對 X 中的序列 xn ,當(dāng) | xnx0 |10 時(shí) ,必有 | xnx0|20 ,則稱范數(shù) |1 比范數(shù) | |2 強(qiáng) ,亦稱 |2比 | |1 弱.若對 X 中的序列 xn , | xn x0 |10當(dāng)且僅當(dāng)| xnx0 |20則稱范數(shù) | |1與| |2 等價(jià) .定理 2.2.1設(shè) |1 和

20、|2 是線性空間 X 上的兩個(gè)不同范數(shù),則范數(shù) |1 比 | |2 強(qiáng)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) C 0 ,使得對任意 xX 都有 | x |2C| x |1 .證明 若存在 C0 ,使 | x |2 C | x |1 ,則明顯地 | xnx |10時(shí),有| xn x |2 C | xnx |10 ,因而 | |1 比 |2 強(qiáng).反過來 ,若范數(shù) |1 比 | |2 強(qiáng) ,則必有 C0 ,使 | x |2C | x |1 .若不然 ,則對任意自然數(shù) n ,存在 xnX,使 | xn|2n | xn |1 .xn,則令 yn| xn |2| yn |1| xn|11|2n| xn故 | yn 0 |10

21、,因而 | yn0 |20 , 但這與 | yn| xn|21 矛盾 , 所以必存在0 |2|2| xnC 0 ,使 | x |2C | x |1 ,對任意 xX成立.推論2.2.2設(shè) |1 與 | |2是線性空間 X 上的兩個(gè)不同范數(shù),則范數(shù) | |1 與 | |2 等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) C10, C 2 0 ,使得對任意 xX ,有C1 | x |1 | x |2C 2 | x |1推論2.2.3設(shè) |1 與 | |2是線性空間 X 上的兩個(gè)等價(jià)范數(shù),則 ( X , | |1 ) 是 Banach 空間當(dāng)且僅當(dāng)( X , | |2 ) 是 Banach 空間 .思考題 2.2.1 若 |

22、|1與 | |2是線性空間 X 上的兩個(gè)不同范數(shù),且 (X,| |1) 和 ( X , | |2 ) 都是 Banach 空間 ,是否就一定有 | |1 與 | |2 等價(jià)呢？定義 2.2.2 設(shè) X 是 n 維線性空間 , | | 是 X 上的范數(shù) ,則稱( X , | |) 為 n 維賦范線性空間.有限維賦范線性空間是Minkowski 在1896年引入的,因此有限維賦范線性空間也稱為Minkowski 空間 .若 ( X , | |) 為 n 維線性空間 ,e1 , e2 , en 為 X 的一組線性無關(guān)組 , 則稱 e1, e2 , en 為 ( X , | |)的 Hamel 基 ,

23、此時(shí)對任意 xX , x 都可以唯一n地表示成 xiein1定理 2.2.4設(shè)(X,|) 是 n 維線性空間 e1 , e2 , en 是 X 的 Hamel 基 ,則存在常數(shù) C1及 C 20使得n1n1C1 (| i |2 ) 2| x | C2 ( | i |2 ) 2i1i 1n對任意 xi ei 都成立 .n 1證明 對于任意(i )K n,定義函數(shù)nf ()|i ei|n1則對任意(i ) K n,(i )K n, 有nn| f ( )f ( ) | | |i ei |iei |n1i1nn|i eii ei|i1i1n| ii| | ei|i 1n1n1(| ii |2 ) 2

24、(| ei |2 ) 2i1i1n1M (| ii |2 ) 2i 1n1, 因此 f 是 K n 到 R 的連續(xù)函數(shù) .這里M (| ei|2 )2n 1n1由于 K n的單位球面 S(i )K n| (|i |2 ) 21 是緊集 , 因此 f 在 S 上達(dá)到上i1下確界 ,即存在0(i(0 ) ),0(i( 0) )S ,使得f (0 )inff () |SC1f (0 )sup f () |SC 2因此對任( i )K n ,有| |K nn1S|2(i | ) 2i1故C1f () C 2|K n即n1n1C1 (| i |2 ) 2| 1e1n en | C2 (| i |2 )

25、2i1i1下面證明 C10 ,容易知道 C 20的證法是類似的 .n( 0)假設(shè) C10 ,則有 f ( 0 ) |iei | 0 ,故n 1ni ( 0) ei0n 1(0)0,從而 00 ,但這與 0S矛盾 .由 ei 是 X 的 Hamel 基可知 , i定理2.2.5設(shè) X 是有限維線性空間,| |1 與 |2 是 X 上的兩個(gè)范數(shù), 則存在常數(shù)C1 0,C 20 使得C1 | x |1| x |2 C 2| x |1定理2.2.6 有限維的賦范線性空間一定是Banach 空間 .證明若 xm 為 n 維賦范線性空間(X,|) 的 Cauchy 列 , 則對于 X 的 Hamel 基n

26、e1 , e2 , , en 有 xmi ( m) ei ,由i 1n1n1C1 (| i |2 ) 2| x | C2 (| i |2 ) 2i 1i 1可知 i ( m) 亦為 Cauchy 列 ,故存在iR ,使得i ( m)i ,因而有(i ) ,使得n( m)1(|2) 20iii1n令 xi ei ,則 | xmx |0 ,因此 xm 是收斂序列 ,所以 X 是完備的 .i 1在 Rn 中 , M 是列緊的當(dāng)且僅當(dāng) M 是有界閉集 ,在有限維賦范空間中是否成立呢？下面就來討論有限維賦范線性空間 ( X , | |) 中緊集與有界閉集的關(guān)系 .定理2.2.7設(shè)(X,|) 是有限維的賦

27、范線性空間,則 MX是緊的當(dāng)且僅當(dāng)M是有界閉集 .n證明 設(shè) e1 , e2 , en 為(X,|) 的Hamel 基 ,則對任意xX,有xieii1定義 K n 到 X 的算子 T :nT ()i eii1則存在 C10, C20 ,使得n1n1C1 (|i |2 ) 2|T(i ) | C2 (|i|2 ) 2i1i 1從而 T 是 K n 到 X 的連續(xù)算子 ,且是一一對應(yīng)的 .n1由 C1 (|i|2 ) 2|T () |可知 T 1 是 X 到 K n 的連續(xù)算子 , 因此 T 是 K n 到 X 的i 1拓?fù)渫瑯?gòu) .所以 M 的緊集當(dāng)且僅當(dāng)T 1 (M ) 為 K n 的緊集 ,從

28、而 M 是 X 的緊集當(dāng)且僅當(dāng)M是有界閉集 .問題 2.2.1 若賦范線性空間( X , | |) 的每個(gè)有界閉集都是緊集,則 X 是否一定為有限維的賦范線性空間？為了回答上面的問題,先來討論 Riesz引理 ,這是 F . Riesz 在 1918 年得到的一個(gè)很漂亮的結(jié)果 .引理2.2.8 （ Riesz引理）設(shè) M 是賦范線性空間( X , | |) 的閉真子空間,則對任意01 ,存在 x X , x1,使得xx對任意 xM 成立.證明 由于 M 是 X 的閉真子空間 ,因此 XM,故存在 y0X M,令dd ( y0 , M )inf|y0x | | x M ,則 d 0 .對任意 0

29、1 ,由 d 的定義可知 ,存在 x0M ,使得d | y0x0| dy0x0,則 | x| 1,且對任意xM ,有令 x| y0x0 | xy0x0|1| y0 ( x0 | y0 x0 | x) |x | | xx0|x0| y0| y0|由 x0 M , xM 和 M 是線性子空間,可知x0| y0 x0 | xM因此| y0( x0| y0x0| x) | d故| xx |dd| y0x0|d由 Riesz引理 ,容易得到有限維賦范線性空間特征的刻畫.定理 2.2.9 賦范線性空間(X,| |)是有限維的當(dāng)且僅當(dāng) X 的閉單位球BX x | x |1 是緊的 .證明 明顯地 ,只須證明

30、 BX 是緊的時(shí)候 , X 一定是有限維的 .反證法 ,假設(shè) BX 是緊的 , 但 X 不是有限維賦范線性空間,對于任意固定的x1X ,| x1 | 1,令 M 1span x1 x1 |K ,則 M 1 是一維閉真子空間,取1,由 Riesz引理2可知 ,存在 x2X , | x2 | 1且 | x21M 1 成立 , 從而 | x2 x1|1x |對任意 x.22同樣地 ,令 M2span x1 , x2 ,則 M 2 是二維閉真空子空間,因而存在 x3X , | x3 |1,1對任意 x M 2 成立 , 從而 | x3 x1 |1 且 | x31使 | x3 x |x2|.222利用歸

31、納法 ,可得一個(gè)序列 xnBX ,對任意 mn , 有| xm xn |12因而 xn 不存在任何收斂子序列,但這與 BX 是緊集矛盾 ,由反證法原理可知X 是有限維賦范線性空間 .推論 2.2.10 賦范線性空間X 是有限維當(dāng)且僅當(dāng)X 的每個(gè)有界閉集是緊的.對于無窮維賦范線性空間X的緊集的刻畫,就比較困難.在C0,1中 ,容易看出A f (x) | | f (x) |1C 0,1是C0,1的有界閉集, 但不是緊集. 為了討論C0,1子集的緊性,需要等度連續(xù)的概念定義 2.2.3 設(shè)A, 它是由 Ascoli 和 ArzelC0,1 , 若對任意的à同時(shí)引入的0, 都存在.0 , 使得對任意的fA,任意的x,