高中數(shù)學(xué)競賽講義 數(shù)學(xué)歸納法 新人教A版

1、§13數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性的一種嚴格的推理方法在數(shù)學(xué)競賽中占有很重要的地位1數(shù)學(xué)歸納法的基本形式（1）第一數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果當(dāng)（）時，成立；假設(shè)成立，由此推得時，也成立，那么，根據(jù)對一切正整數(shù)時，成立（2）第二數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果當(dāng)（）時，成立；假設(shè)成立，由此推得時，也成立，那么，根據(jù)對一切正整數(shù)時，成立2數(shù)學(xué)歸納法的其他形式（1）跳躍數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時，成立，假設(shè)時成立，由此推得時，也成立，那么，根據(jù)對一切正整數(shù)時，成立（2）反向數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果對無限多個正整數(shù)成立；假設(shè)時，

2、命題成立，則當(dāng)時命題也成立，那么根據(jù)對一切正整數(shù)時，成立3應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧（1）起點前移：有些命題對一切大于等于1的正整數(shù)正整數(shù)都成立，但命題本身對也成立，而且驗證起來比驗證時容易，因此用驗證成立代替驗證，同理，其他起點也可以前移，只要前移的起點成立且容易驗證就可以因而為了便于起步，有意前移起點（2）起點增多：有些命題在由向跨進時，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時往往需要補充驗證某些特殊情形，因此需要適當(dāng)增多起點（3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當(dāng)可以改變跨度，但注意起點也應(yīng)相應(yīng)增多（4）選擇合適的假設(shè)方式：歸納假設(shè)為一定要拘泥于“假設(shè)時命題成立”不可，需要根據(jù)題意采取第一、

3、第二、跳躍、反向數(shù)學(xué)歸納法中的某一形式，靈活選擇使用（5）變換命題：有些命題在用數(shù)學(xué)歸納證明時，需要引進一個輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強命題才能滿足歸納的需要，才能順利進行證明5歸納、猜想和證明在數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過特例或根據(jù)一部分對象得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的，這種不嚴格的推理方法稱為不完全歸納法不完全歸納法得出的結(jié)論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進一步檢驗或證明，經(jīng)常采用數(shù)學(xué)歸納法證明不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題極好的方法例題講解1用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）2已知對任意，且，求證：3如果正整數(shù)不是6的倍數(shù)，則不是7的倍數(shù)4設(shè)都是正數(shù)，證明5已知函數(shù)的定義

4、域為，對于區(qū)間內(nèi)的任意兩數(shù)均有求證：對于任意，均有6試證：對一切大于等于1的自然數(shù)都有7試證：對一切自然數(shù)（）都有8證明：任一正方形可以剖分成任意個數(shù)多于5個的正方形9設(shè)，求證：對一切均有10已知，求證：對一切，都是整數(shù)11設(shè)，是否存在關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)使等式對于的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論12設(shè)整數(shù)數(shù)列滿足，且證明：任意正整數(shù)，是一個整數(shù)的平方課后練習(xí)1證明時，能被31整除2設(shè)不小于6的自然數(shù)，證明：可以將一個正三角形分成個較小的正三角形3用數(shù)學(xué)歸納法證明：4設(shè)為自然數(shù)，求證：5對于自然數(shù)（），求證：6已知，求證：對于一切，是整數(shù)7設(shè)有個球分成了許多堆，我們可以任意選甲、乙兩堆來按照以下規(guī)則挪動：若甲戴盆望天的球數(shù)不小于乙堆的球數(shù)，則