彈塑性力學(xué)基本理論及應(yīng)用__第八章_能量原理及其應(yīng)用

1、第八章 能量原理及其應(yīng)用第八章 能量原理及其應(yīng)用 彈塑性力學(xué)問題實(shí)質(zhì)上是邊值問題，即求解滿足一定邊界條件的偏微分方程組。然而只有對(duì)一些特殊的結(jié)構(gòu)在特定加載條件下才能找到精確解，而對(duì)于一般的力學(xué)問題，如空間問題，泛定方程為含有15個(gè)未知量的6個(gè)偏微分方程，在給定邊界條件時(shí)求解是極其困難的，而且往往足小對(duì)能的。因此，為了解決具體的工程結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，目前都廣泛應(yīng)用數(shù)值方法，如有限元法、無限元法、邊界元法、無網(wǎng)格化法及樣條元法等等。這些解法的依據(jù)都是能量原理。本章將討論利用能量原理和極值原理求解彈塑性力學(xué)問題的近似解法。 本章共討論五個(gè)能量原理。首先是虛位移原理，由虛位移原理推導(dǎo)出最小勢(shì)能原理，其次介

2、紹虛應(yīng)力原理，和由虛應(yīng)力原理推導(dǎo)出最小余能原理。另外，還簡(jiǎn)單介紹最大耗散能原理。本章還講述了根據(jù)上述的能量原理建立的有關(guān)彈性力學(xué)問題的數(shù)值解法。8.1 基本概念1.1 物體變形的熱力學(xué)過程由第四章知，物體在外界因素影響下的變形過程，嚴(yán)格來說都是一個(gè)熱力學(xué)過程。因此研究物體的狀態(tài)，不僅要知道物體的變形狀態(tài)，而且還要知道物體中每一點(diǎn)的溫度。如果物體在變形過程中，各點(diǎn)的溫度與其周圍介質(zhì)的溫度保持平衡，則稱這一過程為等溫過程；若在變形過程中，物體的溫度沒有改變，即既沒有熱量損失也沒有熱量增加，則稱這一過程為絕熱過程。物體的瞬態(tài)高頻振動(dòng)，高速變形過程都可視為絕熱過程。令物體在變形過程中的動(dòng)能為E，應(yīng)變能

3、為U，則在微小的時(shí)間間隔內(nèi)，物體從一種狀態(tài)過渡到另一種狀態(tài)時(shí)，根據(jù)熱力學(xué)第一定律，總能量的變化為 (a)其中，為作用于物體上的體力和面力所完成的功；是物體由其周圍介質(zhì)所吸收(或向外發(fā)散)的熱量，并以等量的功度量。假定彈性變形過程是絕熱的，則對(duì)于靜力平衡問題有 (b)將式(b)代入式(a)，則有 (8.1-1)1.2 應(yīng)變能 由第四章的式(4.1-5b)知，在線彈性情況下，單位體積的應(yīng)變能為 (8.1-2) 對(duì)于一維應(yīng)力狀態(tài)，在平面內(nèi)，則實(shí)際上就是應(yīng)力應(yīng)變曲線與軸和所圍成的面積(圖8.1)，即 (8.1-3)其中是物體變形過程某一指定時(shí)刻的應(yīng)變，應(yīng) 圖8.1 應(yīng)變能與應(yīng)變余能變能表示物體在變形過

4、程中所儲(chǔ)存的能量。 1.3 應(yīng)變余能 在圖8.1中, 如果令表示應(yīng)力應(yīng)變曲線與軸和所圍成的面積，即 (8.1-4)式中是物體變形過程某一指定時(shí)刻的應(yīng)力。稱為單位體積的應(yīng)變余能，簡(jiǎn)稱余能，有時(shí)又稱其為應(yīng)力能。 由于和是物體變形過程中同一時(shí)刻的應(yīng)力和應(yīng)變，因此有由此可見，與互補(bǔ)或互余對(duì)方為矩形的面積。顯然，在線彈性情況下有，即余能與應(yīng)變能在數(shù)值上相等。 盡管應(yīng)變余能不像應(yīng)變能那樣具有明確的物理意義，但引入應(yīng)變余能這一概念后，使討論問題的范圍擴(kuò)大了。8.2 虛位移原理與最小勢(shì)能原理2.1 虛位移原理設(shè)有變形體在外力作用下處于平衡狀態(tài)。此處，外為包括體力分量，及一部分表面的面力分量，。假如有一組位移分

5、量，既能滿足用位移表示的平衡方程，又能滿足位移邊界條件以及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件?，F(xiàn)在設(shè)想在變形體幾何約束所允許的條件下，給它一個(gè)任意的微小變化，即所謂虛位移或位移變分，得到一組新的位移 (a)下面考察能量發(fā)生了什么變化。這時(shí)，外力在虛位移上所做的功(稱為虛功)為 (8.2-1a)或 (8.2-1b)式中，為變形體的全部體積，為變形體的全部表面積，其中給定外力的表面記為，給定位移的表面記為露。但面積分僅對(duì)給定面力的那一部分表面進(jìn)行，對(duì)于給定位移的那一部分表面，因無虛位移，故不必考慮。應(yīng)該指出，這里所說的虛位移般并不是由實(shí)際外力所引起的，而是由其他因素所引起，或者是為了分析問題而假想的。虛

6、位移發(fā)生時(shí)，約束反力是不作功的，這是因?yàn)樵诩s束力方向不可能產(chǎn)生位移。 物體產(chǎn)生虛位移的過程中，物體必然產(chǎn)生微小的虛變形，因此在變形體中就產(chǎn)生虛應(yīng)變能，即 (8.2-2a)或?qū)憺?(8.2-2b)假定變形體在虛位移的過程中，并沒有溫度和速度的改變，因而也就沒有熱能和動(dòng)能的改變。則按照能量守恒定律或熱力學(xué)第一定律，應(yīng)變能在虛位移上的增量，應(yīng)當(dāng)?shù)扔谕饬υ谔撐灰扑龅奶摴?，于是?(8.2-3)式(8.2-3)即為虛位移原理的位移變分方程，也稱為拉格朗日(Lagrange)變分方程，有時(shí)也稱為虛功方程。 因此，虛位移原理可敘述為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的可變形體，當(dāng)給予物體微小虛位移時(shí)，外力在虛位移

7、上所做虛功等于物體的虛應(yīng)變能。 現(xiàn)詳細(xì)證明如下： 若在虛位移原理的變分方程(8.2-3)中，因給定位移的部分表面上，而在給定面力的部分表面上，邊界條件成立。則式(8.2-3)中右邊對(duì)的積分可以寫為對(duì)整個(gè)物體表面的積分，即有 (8.2-4)運(yùn)用高斯散度定理，將上式對(duì)體積積分化為面積分，有 (8.2-5)其中為外邊界法線方向單位矢量的方向余弦，即， ， 注意到以及其余的類似，因此由以上兩式可得 (8.2-6) 式中。將式(8.2-6)代入式(8.2-4)，有 (b)當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，因?yàn)樗允?b)中笫一項(xiàng)積分為零。又因所以有于是由式(b)得將上式與式(8.2-2b)比較可知，有 以上證明說明

8、，當(dāng)給予系統(tǒng)微小虛位移時(shí)，外力所作虛功與物體的虛應(yīng)變能相等是物體處于平衡狀態(tài)的必要條件。 另外，由應(yīng)變位移關(guān)系以及先變分后微分與先微分后變分等價(jià)可知 (c)將式(c)代入(8.2-2a)，經(jīng)分部積分和利用格林公式，可得到如同下列形式的三個(gè)關(guān)系式 (d)以及下列形式的三個(gè)關(guān)系式 (e)將式(d)、(e) 所表示構(gòu)六個(gè)關(guān)系式代人(8.2-2)式，則得 (f) 將式(f)代入式(8.2-3)，并加以整理，得因?yàn)樘撐灰聘髯元?dú)立，而且是完全任意的，因此上列積分式中括弧內(nèi)的系數(shù)均等于零，這樣我們得到三個(gè)平衡方程和三個(gè)靜力邊界條件。因而證明是物體處于平衡狀態(tài)的充分條件。從以上討淪可知，虛位移原理變分方程(8

9、.2-3)式等價(jià)于平衡方程與應(yīng)力邊界條件。因此，滿足變分方得(8.2-3)式的解就一定滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件。所以，虛位移原理也可表述為：變形連續(xù)體平衡的必要與充分條件是，對(duì)于任意微小虛位移，外力所做虛功等于變形體所產(chǎn)生的虛變形能。應(yīng)當(dāng)指出，式(8.2-3)等號(hào)左邊表示，由于產(chǎn)生虛位移而引起物體內(nèi)產(chǎn)生了虛應(yīng)變能。這種虛位移實(shí)際上應(yīng)理解為真實(shí)位移的變分，而不是其他隨便種位移函數(shù)。也就是說。式(8.2-3)中的虛應(yīng)變不是別的什么虛應(yīng)變，而是由引起的，即它們之間滿足下列條件 (8.2-7)此外，位移在己知位移邊界上還應(yīng)滿足，因此在己知位移邊界上虛位移應(yīng)為零，即 (8.2-8)式(8.2-7)和(

10、8.2-8)為方程(8.2-3)式的附加條件。因此，在應(yīng)用虛位移方程式(8.2-3)時(shí)，所選取的解不必預(yù)先滿足平衡力程和應(yīng)力邊界條件，但要求所給虛位移能滿足附加條件(8.2-7)式和(8.2-8)式，即應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件和幾何邊界條件。 應(yīng)當(dāng)指出，由于虛位移原理的成立與材料本構(gòu)關(guān)系無關(guān)，因此，虛位移原理既適用于線彈性體、非線性彈性體，也適用于彈塑性體和理想塑料體等固體材料。例8.1 如圖8.2所示跨長(zhǎng)為，抗彎剛度為，受分布荷重作用的簡(jiǎn)支梁，試用虛位移原理寫出梁的撓曲線微分方程和邊界條件。 解: 梁在平衡狀態(tài)時(shí)，如果產(chǎn)生一虛 位移，由虛位移原理 (1)此處 (2) 由材料力學(xué)知，有 圖8.2 受

11、均布荷重簡(jiǎn)支梁 (3)根據(jù)變分法則知 (4)將式(3)、(4)代入式(2)并整理后，得對(duì)上式進(jìn)行兩次分布積分后，可化為 (5)外力所做虛功為 (6)將式(5)、(6)代入式(1)，則得 (7)由于在支座處的虛位移應(yīng)滿足簡(jiǎn)支條件要求，所以邊界條件為考慮的任意灶，于是要使式(7)成立，必有 (8)式(8)即為該梁的撓曲線微分方程。例8.2 如圖8.3所示受均布荷重的簡(jiǎn)支梁，抗彎剛度為，跨中由彈性支座支承，試寫出梁的邊界條件和撓曲線微分方程。 解 由例8.1知，變形能經(jīng)兩次分部積分后為 圖8.3 受均布荷重簡(jiǎn)支梁 令彈簧內(nèi)的反力為，則外力功為 (9)式中為梁在彈性支座處的撓度。因，因此可由以上兩式得

12、 (10)于是，由式(10)可知，根據(jù)簡(jiǎn)支條件和對(duì)稱條件，邊界條件應(yīng)為同時(shí)，考慮到除彈性支座處外，均為任意性，要使式(10)成立，必有撓曲函數(shù)必須滿足及。2.2 最小勢(shì)能原理 從位移變分方程(8.2-3)出發(fā)，可以導(dǎo)出虛功方程。假定物體從平衡位置有微小虛位移，物體的幾何尺寸的變化略去不計(jì)，則原來作用在物體上的體力和面力的大小與方向都保持不變。于是，按照變分原理，式(8.2-3)中變分的運(yùn)算與積分的運(yùn)算可以交換次序，故有 (g)由第四章的(4.1-5a)知，有在式(g)中左邊積分項(xiàng)中引入各向同性彈性體的廣義虎克定律，并注意到則有 (h)由第四章知，式中。 在式(h)中代入應(yīng)變位移關(guān)系，得 (8.

13、2-9) 當(dāng)存在應(yīng)變能時(shí)，式(g)可寫為于是有 (8.2-10a)也可寫為 (8.2-10b)其中 (8.2-10c)附加條件為 (在上) (8.2-10d)式中稱為總勢(shì)能，(=-)稱為外力勢(shì)能，稱為彈性變形體的應(yīng)變勢(shì)能。當(dāng)物體在不受外力作用的自然狀態(tài)下，應(yīng)變勢(shì)能與外力的勢(shì)能均為零。式(8.2-10)說明，在給走的外力作用下，實(shí)際的位移應(yīng)使總勢(shì)能的一階變分為零，即使總勢(shì)能取駐值。下面進(jìn)一步讓明有真實(shí)的位移總是使物體的總勢(shì)能取最小值。 對(duì)于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，物體偏離平衡狀態(tài)而有虛位移時(shí)，其總勢(shì)能的增量恒為正。實(shí)際上可以讓明，總勢(shì)能量的二階變分為正。為此，令為變形許可的位移場(chǎng)，為真實(shí)解的位移場(chǎng)，與之

14、相應(yīng)的應(yīng)變張量分別為和，于是當(dāng)物體有虛位移時(shí)，有將進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并忽略二階以上的高階微量，可得 (k)于是，變形許可狀態(tài)的總勢(shì)能與真實(shí)變形狀態(tài)總勢(shì)能之差為 (l)因?yàn)?(m)由式(8.2-9)知 (n)比較式(k)，(m)可得 (q)當(dāng)足夠小時(shí)，式(q)必為正，因?yàn)槿绻?，則，則式(k)可化為從而得由式(h)知，為正定，所以 (8.2-11)上式表明如下一個(gè)原理：在給定外力作用下而保持平衡的彈性體，在滿足位移邊界條件的位移場(chǎng)中，真實(shí)的位移場(chǎng)使總勢(shì)能取最小值。該原理稱為最小勢(shì)能原理。 物體在外力作用下所產(chǎn)生的位移場(chǎng)，除了滿足位移邊界條件外，還必須滿足以位移表示的平衡力程以及應(yīng)力邊界條件。最小

15、總勢(shì)能原理說明，真實(shí)的位移除滿足幾何邊界條件外，還要滿足最小勢(shì)能原理的變分方程。實(shí)際上以上已經(jīng)證明變分方程(8.2-3)完全等價(jià)于平衡力程與應(yīng)力邊界條件。同樣的結(jié)論也適用于式(8.2-9)。用最小勢(shì)能原理和用泛定方程求解邊值問題，只是形式上不同。以后將看到，這種解題手段的變更，在不少情況下將帶來很大的力便，同時(shí)也擴(kuò)大解題的范圍。由最小總勢(shì)能原理可導(dǎo)出熟知的卡氏(Castigliano)第一定理：當(dāng)應(yīng)變能用廣義位移表示為對(duì)，則廣義力=。 例8.3 試由最小勢(shì)能原理，弄略去剪應(yīng)力影響，導(dǎo)出圖8.2所示梁的撓曲線方程。 解:根據(jù)應(yīng)變能密度和虎克定律，梁的變形能為有 (1)由材料力學(xué)知，其中 (2)將

16、式(2)代入式(1)，經(jīng)整理后得 (3)外力功為根據(jù)最小勢(shì)能原理的變分量為，并注意到因而 (4)將上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)分部積分兩次，可得 (5)對(duì)于簡(jiǎn)支端，有邊界條件為 (6)將式(5)代入式(4)，并注意到(6)，得由于任意性，因此有上式即為梁的撓曲線方程。8.3 位移變分法的應(yīng)用基于虛位移原理的位移變分力程，提供了以位移作為基本未知數(shù)的彈塑性力學(xué)問題的近似解法。瑞利里茲(Rayleigh-Ritz)和伽遼金(Galerkin)提出了各自解法，現(xiàn)分別介紹如下：3.1 瑞利里茲法 當(dāng)給定面力和幾何約束條件時(shí)，可以利用位移變分方程求解。因此時(shí)應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件為已知，由虛位移原理或最小勢(shì)能

17、原理所導(dǎo)出的變分方程(8.2-3)和(8.2-10a)均等價(jià)于平衡方程和應(yīng)力邊界條件，所以采用式(8.2-3)和(8.2-10a)求解肘，所選取的位移函數(shù)不需要先滿足應(yīng)力邊界條件，只需滿足位移邊界條件。 設(shè)位移函數(shù)為 (8.3-1)式中，為未知的待定的常數(shù)，滿足邊界條件，即在已知位移邊界上，應(yīng)有而為坐標(biāo)線性獨(dú)立的識(shí)定函數(shù)，且在己知位移邊界上滿足這樣，無論如何取值，位移函數(shù)總是能滿足位移邊界條件。 由于是設(shè)定的已知函數(shù)，因此對(duì)位移進(jìn)行一階變分時(shí)，只需對(duì)系數(shù)取一階變分，即 (a)將式(8.3-1)代入虛位移原理變分方程(8.2-3)或最小勢(shì)能原理變分方程(8.2-9a)，由的任意性，可得確定全部系

18、數(shù)的線性代數(shù)方程組。例如，將式(8.3-1)代入式(8.2-10a)，可得式中系數(shù)的變分是完全任意的，彼此無關(guān)。于是，將上式整理后得 (8.3-2)由應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式(8.2-9)及位移分量表達(dá)式(8.3-1)可知，應(yīng)變能應(yīng)是待定系數(shù)的二次函數(shù)，因而式(8.3-2)將是各個(gè)待定系數(shù)的線性方程組，共有3個(gè)方程。從方程組(8.3-2)可解全部系數(shù)后，即可由式(8.3-1)求得位移分量。式(8.3-2)也可寫為 (8.3-3)這一方法稱為瑞利-里茲法，也稱為里茲法。 選擇合適的和，以及項(xiàng)數(shù)，可以獲得精確度較高的位移解。將求得的位移代入用位移表示的應(yīng)力表達(dá)式，在計(jì)算應(yīng)力分量時(shí)需對(duì)位移求導(dǎo)，通常近似解的

19、精度往往會(huì)因求導(dǎo)而降低，因此應(yīng)力近似解的精度一般都較差。這是因?yàn)閼?yīng)力分量并不精確地滿足平衡方程，只是滿足平衡方程與一個(gè)加權(quán)函數(shù)乘秋的積分為零的條件，即要提高精度，只有增加式(83.3-1)中位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)時(shí)，則其解將收斂于精確解。3.2 伽遼金法如果選擇的位移因數(shù)表達(dá)式(8.3-1)，不僅能滿足位移邊界條件，還能滿足應(yīng)力邊界條件，那么變分方程(8.2-3)或(8.2-10a)為或 (8.3-4)注意到所取位移函數(shù)滿足應(yīng)力邊界條件，因此由上式得即 (b)將式(b)展開為三個(gè)方程，則每個(gè)方程均含有個(gè)積分，并注意到變分關(guān)系式(a)和為任意值，所以耍使式(b)成立，則只能每個(gè)積分式均等于零，于

20、是可得 (8.3-5)對(duì)于各向同性彈性變形體，將以上三個(gè)方程中的應(yīng)力分量，通過廣義虎克定律方程(4.2-14b)、幾何方程(3.2-9)轉(zhuǎn)換用位移分量表示，可得 (8.3-6)式中。由式(8.3-1)可知，位移分量是系數(shù)的線性函數(shù)，所以式(8.3-5)和式(8.3-6)將是這些系數(shù)的線性方程組。求解此方程組，可解得個(gè)系數(shù)，從而由式(8.3-1)求得位移分量。這個(gè)方法稱為伽遼金法。比較以上兩種基于虛位移原理的近似計(jì)算方法可知，在位移函數(shù)的選擇上，伽遼金法比瑞利-里茲法更為嚴(yán)格，它不僅要滿足位移邊界條件，還必須滿足應(yīng)力邊界條件；但在應(yīng)用上伽遼金法比較方便，因?yàn)榭刹槐貙?dǎo)出泛函。僅根據(jù)熟知的平衡方程就

21、能列凼伽遼金方程。 例8.4 如圖8.4所示受均布荷重懸臂梁，梁跨長(zhǎng)為，抗彎剛度為，試根據(jù)初等理論，不計(jì)體力和用瑞利-里茲法和伽遼金法分別求梁的撓度和固端彎矩。 解：(1) 瑞利-里茲法求解 當(dāng)不計(jì)剪切對(duì)撓度的影響，現(xiàn)設(shè)撓曲線方程為 圖8.4 受均布荷重懸臂梁 (1)上式滿足固定端條件 由初等理論知，梁的彎矩為梁的變形能為 (2)對(duì)于本問題，應(yīng)用瑞利-里茲法，位移函數(shù)表達(dá)式(8.3-1)僅保留第三式，又因所選位移函數(shù)式(1)滿足邊界條件，所以相應(yīng)的線性方程組(8.3-2)也僅保留第三式。在不計(jì)體力的條件下，該式成為 (3)將式(2)代入式(3)后，并求解可得 (4)將式(4)代入式(1)，得梁

22、的撓曲線表達(dá)式為 (5)最大撓度發(fā)生在處，即這個(gè)結(jié)果與材料力學(xué)解解誤差僅為4.5%。 利用 可得與精確解相比，誤差達(dá)41%。 如果取撓曲線函數(shù)為此式也能滿足前述邊界條件。根據(jù)瑞利-里茲法解以上聯(lián)立方程，可得參數(shù)為故撓曲線為則最大撓度和最大彎矩分別為 由上式可見，無論撓度還是彎矩，其精度均有所提高，但彎矩提高不大明顯。如果將撓曲函數(shù)的項(xiàng)數(shù)增加，則隨項(xiàng)數(shù)的增大，無論是撓度值還是應(yīng)力值均會(huì)逐步接近精確值。 (2)伽遼金法解依據(jù)伽遼金法位移函數(shù)不僅要滿足位移邊界條件，而且還要滿足靜力邊界條件，因此設(shè)想取撓曲線函數(shù)為 (6)由梁固定端位移邊界條件，可知滿足位移邊界條件。同時(shí)滿足靜力力邊界條件。再由自由端

23、的靜力邊界條件，可解得因此，梁的撓曲線函數(shù)為 (7)由伽遼金方程(8.3-5)知，因在方向無外載荷，又由初等理論知，第一、二式自動(dòng)滿足，因此(8.3-5)式化為即式中系梁中的剪力,。再由材料力學(xué)知，所以上式化為 (8)將式(6)代入式(7)，并積分后得 將它代入式(6)，最后得撓曲線表達(dá)式、是大撓度和最大彎矩分別為這個(gè)結(jié)果與材料力學(xué)結(jié)果完全相同。8.4 虛應(yīng)力原理和最小余能原理虛位移原理是從位移變分出發(fā)可直接求出位移分量。但在工程實(shí)際問題中，往往感興趣的是直接得到表征結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的應(yīng)力分量。而位移變分法得到的位移分量，必須通過幾何方程和本構(gòu)方程求出烹形體內(nèi)的應(yīng)力分量，在計(jì)算過程中因需經(jīng)多次微分往往

24、會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。為此，真接以應(yīng)力分量為未知數(shù)求解變形體問題的應(yīng)力法便具有重要的價(jià)值。同時(shí)，對(duì)一些特殊的問題，例如，平面問題，柱體扭轉(zhuǎn)等，可以引進(jìn)應(yīng)力而數(shù)，此時(shí)應(yīng)力法更具有極大的方便。4.1 虛應(yīng)力原理對(duì)于處于平衡狀態(tài)的變形體應(yīng)用變分原理時(shí)，取虛位移，即對(duì)位移分量進(jìn)行變分，這些位移的變分必須是幾何上可能的。為此，引入虛應(yīng)力概念。所謂虛應(yīng)力是滿足平衡方程及指定的力邊界料的、任意的、微小的應(yīng)力。虛應(yīng)力記為，即對(duì)應(yīng)力分量進(jìn)行變分，這些應(yīng)力的變分必須是靜力上可能的，即經(jīng)變分后，新的應(yīng)力分量必須滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件。設(shè)為實(shí)際存在于變形體內(nèi)的應(yīng)力分量，則它應(yīng)該滿足平衡方程，應(yīng)力邊界條件和應(yīng)力協(xié)調(diào)條件

25、?，F(xiàn)讓這些應(yīng)力分量發(fā)生靜力許可的微小變化，得到新的應(yīng)力分量為 (a)它們必須滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，于是新的平衡方程為 (b)式中為給定的體力，設(shè)想沒有改變。將式(B)與發(fā)生應(yīng)力變分前的平衡方程相減，得 (8.4-1)變形體的表面分為兩帝分，即給定面力的部分表面和給定位移部分的表面。在表面力沒有給定的邊界上，由于應(yīng)力分量的變化，表面力也發(fā)生相應(yīng)的變化，即。新的表面力變成因此，新的應(yīng)力分量在此邊界面上應(yīng)滿足邊界條件，即 (c)將式(c)與原邊界條件式相減，得 (8.4-2)此外，對(duì)于表面力已給定的邊界上，表面力不能變化，即故應(yīng)力變分在該邊界上應(yīng)滿足的條件為 (8.4-3)因此，為了使應(yīng)力變分

26、是靜力許可的，它必須滿足式(8.4-1)、(8.4-2)和式(8.4-3)。于是，應(yīng)力余能的變分，參照(8.1-4)式或(8.2-2a)可寫為 (d)將幾何方程代入上式，得 (e)將上式內(nèi)各項(xiàng)進(jìn)行分部積分并利用格林公式，得如同下列形式的三個(gè)關(guān)系式 (f)和如同下列形式的另外三個(gè)關(guān)系式 (g)將式(f)、(g)代入式(d)，得(g)由式(8.4-1)知，上式中對(duì)體積的積分項(xiàng)為零；并注意在已知表面力的邊界上，應(yīng)滿足式(8.4-3)，而在已知位移的邊界上，因，且在該邊界因虛應(yīng)力產(chǎn)生的附加面力應(yīng)滿足式(8.4-2)。因此，由式(8.3-2)可知，上式可簡(jiǎn)化為 (f)該變分方程等式的右邊部分表示表面外力

27、的增量與實(shí)際位移所作的功,同時(shí)注意式(d)，因而式(f)可寫為 (8.4-4)式(8.4-4)表示虛應(yīng)力原理，又稱虛功原理，表述為：當(dāng)物體在已知體力和面力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，微小虛面力在實(shí)際位移所作的虛功，等于虛應(yīng)力在真實(shí)應(yīng)變所產(chǎn)生的虛應(yīng)變余能。顯然，式(8.4-4)成立的附加條件為式(8.4-1)和式(8.4-3)。該兩式可簡(jiǎn)寫為 由以上討論可以看出，虛應(yīng)力原理和虛位移原理在形式上是互補(bǔ)的。和虛位移原理一樣，虛應(yīng)力原理的成立也與材料的本構(gòu)關(guān)系無關(guān)。應(yīng)當(dāng)指出，在虛位移原理中包含了實(shí)際的外力和內(nèi)力，因而可理解為虛位移原理是對(duì)系統(tǒng)平衡的要求；而虛應(yīng)力原理則包含有實(shí)際的位移和應(yīng)變，所以可把虛應(yīng)力原

28、理看作是對(duì)物體變形協(xié)調(diào)的要求。實(shí)際上，由虛應(yīng)力原理的變分方程(8.4-4)不難導(dǎo)出變形協(xié)調(diào)方程，這就是說式(8.4-4)等價(jià)于應(yīng)變協(xié)調(diào)條件。于是，按式(8.4-4)解題時(shí)，對(duì)于所設(shè)解答，不必預(yù)先滿足變形協(xié)調(diào)條件，只須使虛應(yīng)力滿足物體的平衡方程和應(yīng)力邊界條件。4.2 最小余能原理由虛應(yīng)力原理可直接導(dǎo)出最小總余能原理。為避免混亂，今后把用應(yīng)變表示的彈性應(yīng)變能函數(shù)稱為應(yīng)變能函數(shù)，或應(yīng)變能；而把用應(yīng)力表示的應(yīng)變余能函數(shù)稱為余應(yīng)變能函數(shù)，或余變余能(或應(yīng)力能)，記為。如在虛應(yīng)力原理中引進(jìn)廣義虎克定律，并認(rèn)為應(yīng)變狀態(tài)是有勢(shì)的，應(yīng)變分量可由余應(yīng)變能函數(shù)導(dǎo)出，即而于是由上式可知，總的應(yīng)變余能的變分為因此，式(

29、8.4-4)可化為 (8.4-5a)如果存在虛應(yīng)力時(shí)，在邊界上，位移分量應(yīng)保持不變。于是可將上式中的變分符號(hào)置于積分號(hào)外，即 (8.4-5b)其中是在已知位移邊界由虛應(yīng)力引起偽附加表面面力。顯然，在此情況下附加條件為 (8.4-6)如果令變形體的余能為則有上式說明，在所有滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件的靜力許可的應(yīng)力場(chǎng)中，真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)使余能取極值。進(jìn)一步還可證明因此，最小余能原理可表述為：在所有滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件的靜力許可的應(yīng)力場(chǎng)中，真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)使余能取最小值。最小余能原理和最小勢(shì)能原理均適用于線性和非線性彈性體。由于真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)既滿足平衡方程，應(yīng)力邊界條件，又滿足變形協(xié)調(diào)條件?？梢姡钚?/p>

30、余能原理因真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)滿足平衡方程，應(yīng)力邊界條件，以及使余能取最小值的條件，所以最小余能原理與變形協(xié)調(diào)條件等價(jià)。 下面指出最小余能原理的特殊情形。當(dāng)物體全部表面力給定，則面力的變分為零，由式(8.4-5)得 (8.4-7)式(8.4-7)稱為最小功原理。該原理可表述為：若物體的面力給定，則在所有滿足平衡方程和邊界條件的應(yīng)力場(chǎng)中，真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)必使余應(yīng)變能取最小值。寸于線彈性體，因余應(yīng)變能與應(yīng)變能相等，因此又稱(8.4-7)式為最小應(yīng)變能原理。當(dāng)最小余應(yīng)變能原理用于線彈性力學(xué)問題則可導(dǎo)出熟知的卡氏第二定理。8.5 應(yīng)力變分法與應(yīng)用 基于與位移變分法類似的思想，通過應(yīng)力變分方程，以應(yīng)力分量作為基本未

31、知數(shù)，取得變形物體的近似解答。5.1應(yīng)力變分法應(yīng)力變分法是設(shè)定某一個(gè)應(yīng)力分量表達(dá)式，其中包含了若干待定常數(shù)，使其滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，然后通過應(yīng)力變分方程決定這些常數(shù)。 帕普考維奇(，.)建議取應(yīng)力分量為 (8.5-1)其中，是選定的滿足平衡方程和應(yīng)力邊條件的設(shè)定函數(shù)，而是選定的滿足體力為零的平衡方程和面力為零的應(yīng)力邊界條件的設(shè)定函數(shù)，是個(gè)獨(dú)立的待求系數(shù)。于是，不論常數(shù)取何值，式(8.5-1)中的應(yīng)力分量總能滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件。如前所述，像對(duì)位移的變分一樣，對(duì)式(8.5-1)應(yīng)力分量的變分也是通過對(duì)待定常數(shù)變分來實(shí)現(xiàn)。至于各個(gè)設(shè)定的函數(shù)，則僅是給定坐標(biāo)位置的函數(shù)，與應(yīng)力的變分無關(guān)

32、。因此，有 (8.5-2) 對(duì)于應(yīng)力變分方程(8.4-4)和(8.4-5)有兩種可能情況； (1) 當(dāng)給定面力或給定位移為零時(shí)，由最小功原理，有根據(jù)的任意性，可得 (8.5-3)式(8.5-3)即為確定待定常數(shù)的線性方程組。求得后，則可獲得問題的解。 (2) 當(dāng)給定位移不為零時(shí)，應(yīng)力變分方程為 (a)式中是已知的表面位移，上述積分只在這部分邊界進(jìn)行，而這部分邊界上，面力和應(yīng)力兩者的變分應(yīng)服從式(8.4-2)，即 (b)將式(8.5-2)代入上式，并計(jì)算式(a)的積分，可求得 (c)式中為常數(shù)，由下式計(jì)算 (d)另一方面，有 (e)將式(c)，式(e)代入式(a)，并考慮到的任意性，得 (8.5

33、-4)式(8.5-4)仍是待定常數(shù)的線性代數(shù)方程式。由以上分析可知，對(duì)于所選定的應(yīng)力分量同時(shí)滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件往往是十分難辦到的。但在巳經(jīng)討論過的問題中，如平面問題，柱體的扭轉(zhuǎn)，應(yīng)力分量是以應(yīng)力函數(shù)表示，此時(shí)，用應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)力分量已經(jīng)滿足了平衡方程，余下的問題就是應(yīng)力邊界條件了。對(duì)于這類問題，求解時(shí)困難就少了，從而擴(kuò)大了應(yīng)力變分原理的應(yīng)用范圍。5.2 應(yīng)力變分法在平面問題中的應(yīng)用 在平面問題中，應(yīng)力分量為，且各分量?jī)H僅是的函數(shù)，并不隨坐標(biāo)變化。對(duì)于平面應(yīng)力問題，如果在力向取單位長(zhǎng)度，則彈性體的應(yīng)變余能表達(dá)式為 (8.5-5)對(duì)于平面應(yīng)變問題，以代替，以代替，可得 (8.5-6) 如果

34、彈性體是單連體，體力為常數(shù)，且是應(yīng)力邊界問題，則應(yīng)力分布與材料的彈性常數(shù)無關(guān)。此時(shí)，為了計(jì)算方便，可在式(8.5-5)和(8.5-6)中取，于是對(duì)于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變兩種情況下的彈性體的應(yīng)變余能，可統(tǒng)一寫成 (f)當(dāng)體力為常數(shù)時(shí)，根據(jù)式(6.2-4)，應(yīng)力分量用應(yīng)力函數(shù)可表達(dá)為 (g)將式(g)代入式(f)，則有 (8.5-7)設(shè)應(yīng)力函數(shù)為 (8.5-8)式中：給出的應(yīng)力分量滿足實(shí)際的應(yīng)力邊界條件；給出的應(yīng)力分量滿足面力為零時(shí)的應(yīng)力邊界條件；為互相獨(dú)立的待定常數(shù)。 如用線性代數(shù)方程組(8.5-4)求解，則可將式(8.5-8)代入(8.5-7)后，對(duì)求偏導(dǎo)，并使其為零，即得 (8.5-9)解上述

35、方程，則可決定待定常數(shù)。例8.5 矩形薄板在的邊界上受到拋物線分布的拉力作用，其最大集度為，如圖8.5所示。不計(jì)體力，試用應(yīng)力變分法確定板內(nèi)的應(yīng)力分量。 解：邊界條件為 圖8.5 受拋物線分布拉力作用矩形薄板 (1)由式(8.5-8)和式(1)，并考慮到結(jié)構(gòu)與載荷的對(duì)稱性，選應(yīng)力函數(shù)為 (2a)顯然，滿足應(yīng)力邊界條件式(1)。 現(xiàn)進(jìn)行一次近似計(jì)算，即取應(yīng)力函數(shù)為 (2b) 注意到為的偶函數(shù)，于是式(8.5-9)化簡(jiǎn)為將(2b)式代入上式，積分并整理后得對(duì)于的矩形板，由上式得將代入式(2)，則應(yīng)力函數(shù)為相應(yīng)的應(yīng)力分量為在板小心處，得到應(yīng)力為如果所選應(yīng)力函數(shù)的項(xiàng)數(shù)適當(dāng)增加，則精度也會(huì)相應(yīng)提高。5.

36、3 應(yīng)力變分法在柱體扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)用 對(duì)于實(shí)心等截面直桿，在兩端受到等值反向的扭矩作用時(shí)，每一橫截面上將產(chǎn)生相同的剪應(yīng)力，而其他的應(yīng)力分量，故應(yīng)變余能的表達(dá)式可寫為 (8.5-10)由式(7.1-9)知，式中可用應(yīng)力函數(shù)表示為 (h)由于各個(gè)橫截面具有相同的剪應(yīng)力分量，令柱體長(zhǎng)度為，則上式的積分只須在橫截面內(nèi)進(jìn)行，因此應(yīng)變余能可改寫成 (i)于是，應(yīng)變余能的變分為 (j)對(duì)于虛面力在位移上所做的功，由于柱體的側(cè)面沒有面力作用，不存在面力的變分，因此只須計(jì)算端部虛面力所作的功。端部上的面力不管它們分布如何，只要其合成后等于扭矩，就滿足了圣維南原理的條件。因此，可以認(rèn)為它們不是給定的，可以允許變分。令柱體單位長(zhǎng)度的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為，則