2019-2020年高中數(shù)學(xué)4.1.2用二分法求方程的近似解教案北師大必修1

1、2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 用二分法求方程的近似解教案北師大必修 1一、 教學(xué)目標(biāo)1、 知識與技能：(1)解二分法求解方程的近似解的思想方法，會用二分法求解具體方程的近似解；(2)體會程序化解決問題的思想，為算法的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。2、 過程與方法：(1)讓學(xué)生在求解方程近似解的實例中感知二分發(fā)思想；(2)讓學(xué)生歸納整 理本節(jié)所學(xué)的知識。3、 情感、態(tài)度與價值觀：體會二分法的程序化解決問題的思想，認(rèn)識二分法的價值所在，使學(xué)生更加熱愛數(shù)學(xué)；培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì)。二、教學(xué)重點、難點重點：用二分法求解函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟。難點：為何由丨a-b| 便可判斷零點的近似值

2、為a(或b)?三、學(xué)法與教法1、想想。2、教法：探究交流，講練結(jié)合。四、 教學(xué)過程(一) 、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題提出問題：(1)一元二次方程可以用公式求根，但是沒有公式可以用來求解放程In x+2x6=0的根； 聯(lián)系函數(shù)的零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系，能否利用函數(shù)的有關(guān)知識來求她的根呢？(2)通過前面一節(jié)課的學(xué)習(xí)，函數(shù)f(x)= In x+2x6在區(qū)間內(nèi)有零點；進(jìn)一步的問題是，女口 何找到這個零點呢？(二) 、研討新知一個直觀的想法是：如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量的縮小，那么在一定的精確度的要 求下，我們可以得到零點的近似值；為了方便，我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所 在的范圍。取區(qū)間(2,3)

3、的中點2.5，用計算器算得f(2.5)0.084,因為f(2.5)*f(3)0,所以零點在區(qū)間(2.5,3)內(nèi)；再取區(qū)間(2.5,3)的中點2.75，用計算器算得f(2.75)沁0.512,因為f(2.75)*f(2.5) a4=- 6(7n+9),而不是7n-3v6(7n+9).他的結(jié)論 不對吧！師：那你的結(jié)論是什么呢？(動員大家思考，糾正)生：我的結(jié)論是：當(dāng)n=1,2,3,4,5時，7v6(7n+9);當(dāng)n=6,7,8,時，76(7n+9).師：由以上的研究過程，我們應(yīng)該總結(jié)什么經(jīng)驗?zāi)?？首先要仔?xì)地占有準(zhǔn)確的材料，不能隨便算幾個數(shù)，就作推測.請把你們計 算結(jié)果填入下表內(nèi)：矜？犬小關(guān)系 5

4、形)11=114996n=2171381ISO722249306珈師： 依據(jù)數(shù)據(jù)作推測， 決不是亂猜.要注意對數(shù)據(jù)作出謹(jǐn)慎地分析.由上表 可看到， 當(dāng)n依1,2,3,4,變動時，相應(yīng)的7n-3的值以后一個是前一個的7倍 的速度在增加，而6( 7n+9)相應(yīng)值的增長速度還不到2倍.完全有理由確認(rèn)，當(dāng)n取較大值時，7n-36(7n+9)會成立的.師：對問題3推測有誤的同學(xué)完全不必過于自責(zé)，接受教訓(xùn)就可以了其實 在數(shù)學(xué)史上，一些世界級的數(shù)學(xué)大師在運(yùn)用歸納法時，也曾有過失誤資料1(事先準(zhǔn)備好，由學(xué)生閱讀)費(fèi)馬(Fermat)是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一， 是對微積分的創(chuàng)立作出貢

5、獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也 有許多貢獻(xiàn)但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)nN時，22n+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n=0, 1,2,3,4作了驗證后得到的18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉(Euler)卻證明了225+仁4 294 967 297=6 700 417X641,從而否定了費(fèi)馬的推測.師：有的同學(xué)說， 費(fèi)馬為什么不再多算一個數(shù)呢？今天我們是無法回答的 但 是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個上！再請看數(shù)學(xué)史上的另一個資料(仍由學(xué)生閱讀)：資料2f(n)=n2+n+41,當(dāng)nN時，f(n)是否都為質(zhì)數(shù)？f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61

6、，f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，f(10)=151,f(39)=1 601.但是f(40)=1 681=412是合數(shù)師：算了39個數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個資料，不是說世 界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是 要找出運(yùn)用歸納法出錯的原因，并研究出對策來.師：歸納法為什么會出錯呢？生：完全歸納法不會出錯.師：對！但運(yùn)用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會出錯呢？生：由于用不完全歸納法時，一般結(jié)論的得出帶有猜測的成份.師：完全同意.那么怎么辦呢？生：應(yīng)該予以證明師：大家同意吧？對于生活、生產(chǎn)中的實

7、際問題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng) 接受實踐的檢驗，因為實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)對于數(shù)學(xué)問題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué) 證明（四）歸納與證明（板書）師：怎么證明呢？請結(jié)合以上問題1思考生：問題1共12個球，都看了，它的正確性不用證明了師：也可以換個角度看，12個球，一一驗看了，這一一驗看就可以看作證明 數(shù) 學(xué)上稱這種證法為窮舉法它體現(xiàn)了分類討論的思想師：如果這里不是12個球，而是無數(shù)個球，我們用不完全歸納法得到，這袋 球全是白球，那么怎么證明呢？（稍作醞釀，使學(xué)生把注意力更集中起來）師：這類問題的證明確不是一個容易的課題，在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞 釀第一個正式研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科他運(yùn)用遞推的思想

8、予以 證明結(jié)合問題1來說，他首先確定第一次拿出來的是白球然后再構(gòu)造一個命題予以證明 命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來的是白球” ， 結(jié)論是“下一次拿出來的也是白球”這個命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而 是研究若某一次是白球這個條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢？生：是第一次拿出的是白球已確認(rèn)，反復(fù)運(yùn)用上述構(gòu)造的命題，可得第二 次、第三次、第四次、拿出的都是白球.師：對它使一個原來無法作出一一驗證的命題，用一個推一個的遞推思想 得到了證明生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎？生：一排排放很近的自行

9、車，只要碰倒一輛，就會倒下一排生：再例如多米諾骨牌游戲（有條件可放一段此種游戲的錄相）師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒.用這種思想設(shè)計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證 明方法就是數(shù)學(xué)歸納法.（五）數(shù)學(xué)歸納法（板書）師：用數(shù)學(xué)歸納法證明以上問題2推測而得的命題，應(yīng)該證明什么呢？生：先證n=1時，公式成立（第一步）；再證明：若對某個自然數(shù)（n=k）公式成立，則對下一個自然數(shù)（n=k+1）公 式也成立（第二步）.師：這兩步的證明自己會進(jìn)行嗎？請先證明第一步.生當(dāng)n = l時，左式二泊=1,右式=y

10、= k此時公式成立（應(yīng)追問各步計算推理的依據(jù)）師：再證明第二步.先明確要證明什么？生恥冊公式蚊即廿&幀為條件來證明嚴(yán)+1時，公式也成立，即a1+1-也成立.師：應(yīng)注慝這里是證明遞推關(guān)系成立，證明殆廣芮成立時,必須胸廿詳個條件”師：于是由上述兩步，命題得到了證明這就是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的基 本要求師：請小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟生：共兩步(學(xué)生說，教師板書)：(1)n=1時，命題成立；(2)設(shè)n=k時命題成立，則當(dāng)n=k+1時，命題也成立師：其實第一步一般來說，是證明開頭者命題成立例如，對于問題3推測得的命題：當(dāng)n=6,7,8,時，7n-36(7n+9).第一步應(yīng)證明n=

11、6時，不等式 成立(若有時間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無時間可布置學(xué)生課下思 考)(六)小結(jié)師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下：(1)本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法.(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法.分完全歸納法和不完全歸納法 二種.(3)由于不完全歸納法中推測所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證 明可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行.(4)數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它 的操作步驟必須是二步.數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開始學(xué)習(xí).生依已知條件，補(bǔ)佳=(七)課外作業(yè)(1)閱讀課本P112P115的內(nèi)容.(2)書面作業(yè)P115練習(xí)：1,3.課堂教學(xué)設(shè)計

12、說明1數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法.它 的操作步驟簡單、明確,教學(xué)重點應(yīng)該是方法的應(yīng)用.但是我們認(rèn)為不能把教學(xué) 過程當(dāng)作方法的灌輸, 技能的操練.對方法作簡單的灌輸, 學(xué)生必然疑慮重重. 為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說明二步缺一不可你怎么知道n=k時命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法 的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時但想不起來的問題，等等為此，我們設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸 納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把 數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù) 學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一

13、開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而 且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重 要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī).數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認(rèn)識開始，到對 不完全歸納法的認(rèn)識，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識，直到怎么辦結(jié)束第二 階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認(rèn)識遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到 歸納出二個步驟結(jié)束.把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對理解數(shù)學(xué)歸納法的實 質(zhì)帶來指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思 想的一種嘗試.2在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、 探索的方法.目 的是在于加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與程度.為了使這種參與有一定的智能度，教 師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點撥.學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快 提出適當(dāng)?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入到思維活動中來，是十分重 要的.這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯栴}， 把課題的研究內(nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法予 以解決，并獲得新的發(fā)展.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計也想在這方面作些研究.3.理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時必須用到