2019-2020年高中數(shù)學(xué)4.1.2用二分法求方程的近似解教案北師大必修1

1、2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 用二分法求方程的近似解教案北師大必修 1一、 教學(xué)目標(biāo)1、 知識(shí)與技能：(1)解二分法求解方程的近似解的思想方法，會(huì)用二分法求解具體方程的近似解；(2)體會(huì)程序化解決問題的思想，為算法的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。2、 過程與方法：(1)讓學(xué)生在求解方程近似解的實(shí)例中感知二分發(fā)思想；(2)讓學(xué)生歸納整 理本節(jié)所學(xué)的知識(shí)。3、 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：體會(huì)二分法的程序化解決問題的思想，認(rèn)識(shí)二分法的價(jià)值所在，使學(xué)生更加熱愛數(shù)學(xué)；培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì)。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：用二分法求解函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟。難點(diǎn)：為何由丨a-b| 便可判斷零點(diǎn)的近似值

2、為a(或b)?三、學(xué)法與教法1、想想。2、教法：探究交流，講練結(jié)合。四、 教學(xué)過程(一) 、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題提出問題：(1)一元二次方程可以用公式求根，但是沒有公式可以用來求解放程In x+2x6=0的根； 聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，能否利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來求她的根呢？(2)通過前面一節(jié)課的學(xué)習(xí)，函數(shù)f(x)= In x+2x6在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；進(jìn)一步的問題是，女口 何找到這個(gè)零點(diǎn)呢？(二) 、研討新知一個(gè)直觀的想法是：如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量的縮小，那么在一定的精確度的要 求下，我們可以得到零點(diǎn)的近似值；為了方便，我們通過“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所 在的范圍。取區(qū)間(2,3)

3、的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算器算得f(2.5)0.084,因?yàn)閒(2.5)*f(3)0,所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5,3)內(nèi)；再取區(qū)間(2.5,3)的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器算得f(2.75)沁0.512,因?yàn)閒(2.75)*f(2.5) a4=- 6(7n+9),而不是7n-3v6(7n+9).他的結(jié)論 不對(duì)吧！師：那你的結(jié)論是什么呢？(動(dòng)員大家思考，糾正)生：我的結(jié)論是：當(dāng)n=1,2,3,4,5時(shí)，7v6(7n+9);當(dāng)n=6,7,8,時(shí)，76(7n+9).師：由以上的研究過程，我們應(yīng)該總結(jié)什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？首先要仔?xì)地占有準(zhǔn)確的材料，不能隨便算幾個(gè)數(shù)，就作推測.請(qǐng)把你們計(jì) 算結(jié)果填入下表內(nèi)：矜？犬小關(guān)系 5

4、形)11=114996n=2171381ISO722249306珈師： 依據(jù)數(shù)據(jù)作推測， 決不是亂猜.要注意對(duì)數(shù)據(jù)作出謹(jǐn)慎地分析.由上表 可看到， 當(dāng)n依1,2,3,4,變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的7n-3的值以后一個(gè)是前一個(gè)的7倍 的速度在增加，而6( 7n+9)相應(yīng)值的增長速度還不到2倍.完全有理由確認(rèn)，當(dāng)n取較大值時(shí)，7n-36(7n+9)會(huì)成立的.師：對(duì)問題3推測有誤的同學(xué)完全不必過于自責(zé)，接受教訓(xùn)就可以了其實(shí) 在數(shù)學(xué)史上，一些世界級(jí)的數(shù)學(xué)大師在運(yùn)用歸納法時(shí)，也曾有過失誤資料1(事先準(zhǔn)備好，由學(xué)生閱讀)費(fèi)馬(Fermat)是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一， 是對(duì)微積分的創(chuàng)立作出貢

5、獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也 有許多貢獻(xiàn)但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)nN時(shí)，22n+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n=0, 1,2,3,4作了驗(yàn)證后得到的18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉(Euler)卻證明了225+仁4 294 967 297=6 700 417X641,從而否定了費(fèi)馬的推測.師：有的同學(xué)說， 費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢？今天我們是無法回答的 但 是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)上！再請(qǐng)看數(shù)學(xué)史上的另一個(gè)資料(仍由學(xué)生閱讀)：資料2f(n)=n2+n+41,當(dāng)nN時(shí)，f(n)是否都為質(zhì)數(shù)？f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61

6、，f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，f(10)=151,f(39)=1 601.但是f(40)=1 681=412是合數(shù)師：算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說世 界級(jí)大師還出錯(cuò)，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是 要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對(duì)策來.師：歸納法為什么會(huì)出錯(cuò)呢？生：完全歸納法不會(huì)出錯(cuò).師：對(duì)！但運(yùn)用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會(huì)出錯(cuò)呢？生：由于用不完全歸納法時(shí)，一般結(jié)論的得出帶有猜測的成份.師：完全同意.那么怎么辦呢？生：應(yīng)該予以證明師：大家同意吧？對(duì)于生活、生產(chǎn)中的實(shí)

7、際問題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng) 接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，因?yàn)閷?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于數(shù)學(xué)問題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué) 證明（四）歸納與證明（板書）師：怎么證明呢？請(qǐng)結(jié)合以上問題1思考生：問題1共12個(gè)球，都看了，它的正確性不用證明了師：也可以換個(gè)角度看，12個(gè)球，一一驗(yàn)看了，這一一驗(yàn)看就可以看作證明 數(shù) 學(xué)上稱這種證法為窮舉法它體現(xiàn)了分類討論的思想師：如果這里不是12個(gè)球，而是無數(shù)個(gè)球，我們用不完全歸納法得到，這袋 球全是白球，那么怎么證明呢？（稍作醞釀，使學(xué)生把注意力更集中起來）師：這類問題的證明確不是一個(gè)容易的課題，在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞 釀第一個(gè)正式研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科他運(yùn)用遞推的思想

8、予以 證明結(jié)合問題1來說，他首先確定第一次拿出來的是白球然后再構(gòu)造一個(gè)命題予以證明 命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來的是白球” ， 結(jié)論是“下一次拿出來的也是白球”這個(gè)命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而 是研究若某一次是白球這個(gè)條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢？生：是第一次拿出的是白球已確認(rèn)，反復(fù)運(yùn)用上述構(gòu)造的命題，可得第二 次、第三次、第四次、拿出的都是白球.師：對(duì)它使一個(gè)原來無法作出一一驗(yàn)證的命題，用一個(gè)推一個(gè)的遞推思想 得到了證明生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎？生：一排排放很近的自行

9、車，只要碰倒一輛，就會(huì)倒下一排生：再例如多米諾骨牌游戲（有條件可放一段此種游戲的錄相）師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒.用這種思想設(shè)計(jì)出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證 明方法就是數(shù)學(xué)歸納法.（五）數(shù)學(xué)歸納法（板書）師：用數(shù)學(xué)歸納法證明以上問題2推測而得的命題，應(yīng)該證明什么呢？生：先證n=1時(shí)，公式成立（第一步）；再證明：若對(duì)某個(gè)自然數(shù)（n=k）公式成立，則對(duì)下一個(gè)自然數(shù)（n=k+1）公 式也成立（第二步）.師：這兩步的證明自己會(huì)進(jìn)行嗎？請(qǐng)先證明第一步.生當(dāng)n = l時(shí)，左式二泊=1,右式=y

10、= k此時(shí)公式成立（應(yīng)追問各步計(jì)算推理的依據(jù)）師：再證明第二步.先明確要證明什么？生恥冊(cè)公式蚊即廿&幀為條件來證明嚴(yán)+1時(shí)，公式也成立，即a1+1-也成立.師：應(yīng)注慝這里是證明遞推關(guān)系成立，證明殆廣芮成立時(shí),必須胸廿詳個(gè)條件”師：于是由上述兩步，命題得到了證明這就是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的基 本要求師：請(qǐng)小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟生：共兩步(學(xué)生說，教師板書)：(1)n=1時(shí)，命題成立；(2)設(shè)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立師：其實(shí)第一步一般來說，是證明開頭者命題成立例如，對(duì)于問題3推測得的命題：當(dāng)n=6,7,8,時(shí)，7n-36(7n+9).第一步應(yīng)證明n=

11、6時(shí)，不等式 成立(若有時(shí)間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無時(shí)間可布置學(xué)生課下思 考)(六)小結(jié)師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下：(1)本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法.(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法.分完全歸納法和不完全歸納法 二種.(3)由于不完全歸納法中推測所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證 明可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行.(4)數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它 的操作步驟必須是二步.數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開始學(xué)習(xí).生依已知條件，補(bǔ)佳=(七)課外作業(yè)(1)閱讀課本P112P115的內(nèi)容.(2)書面作業(yè)P115練習(xí)：1,3.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

12、說明1數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法.它 的操作步驟簡單、明確,教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用.但是我們認(rèn)為不能把教學(xué) 過程當(dāng)作方法的灌輸, 技能的操練.對(duì)方法作簡單的灌輸, 學(xué)生必然疑慮重重. 為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說明二步缺一不可你怎么知道n=k時(shí)命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法 的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時(shí)但想不起來的問題，等等為此，我們?cè)O(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸 納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把 數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù) 學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一

13、開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而 且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重 要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī).數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個(gè)階段，第一階段從對(duì)歸納法的認(rèn)識(shí)開始，到對(duì) 不完全歸納法的認(rèn)識(shí)，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識(shí)，直到怎么辦結(jié)束第二 階段是對(duì)策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認(rèn)識(shí)遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到 歸納出二個(gè)步驟結(jié)束.把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對(duì)理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí) 質(zhì)帶來指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思 想的一種嘗試.2在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、 探索的方法.目 的是在于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過程的參與程度.為了使這種參與有一定的智能度，教 師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥.學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快 提出適當(dāng)?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入到思維活動(dòng)中來，是十分重 要的.這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯栴}， 把課題的研究內(nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予 以解決，并獲得新的發(fā)展.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些研究.3.理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時(shí)必須用到