圖形折疊問題(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圖形折疊問題 圖形的折疊實(shí)際就是反射變換或者說是對稱變換，或者說是翻折。這類問題大都聯(lián)系實(shí)際，內(nèi)容豐富，解法靈活，具有開放性，有利于考查解題者的動手能力，空間觀念和幾何變換的思想。  例1. 折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕（對角線）BD，再折疊AD邊與對角線BD重合，得折痕DG。若AB=2，BC=1，求AG。解：作GEBD，垂足為E。設(shè)AG=x，則，易知，則GE=x，根據(jù)勾股定理可知，所以在中，由勾股定理得，解得   例2. 如圖2，矩形紙片ABCD的長AD=9cm，寬AB=3cm，將其

2、折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的長和折痕EF的長分別是多少？解法一：設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解得，即。連結(jié)BD，設(shè)BD與EF交于點(diǎn)O，易得，由題意可知EF是BD的中垂線，所以，EFBD，在中，由勾股定理得，所以。解法二：求DE同上法，再作EGBC，垂足為點(diǎn)G。易知，所以，所以。    例3. 四邊形ABCD是一塊矩形紙片，E是AB上一點(diǎn)，且BE：EA=5：3，EC=，將BCE沿折痕EC翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)F上，求AB、BC的長。解：連結(jié)EF、FC、BF。設(shè)BF交EC于M。因?yàn)锽、F關(guān)于EC對稱，所以BFEC，BE=EF，

3、。設(shè)BE=5x，則。因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，所以，所以BC=30。所以，即，所以，所以。   例4. 如圖4，一張寬為3，長為4的矩形紙片ABCD，先沿對角線BD對折，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置，交AD于G，再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M，則ME的長為多少？解法一：延長BA、交于F，由軸對稱性質(zhì)知。所以又因?yàn)?，所以，所以。再根?jù)EN是折痕可知：EN垂直平分AD，所以EN/AB。又因?yàn)镸是AD中點(diǎn)，所以E是DF中點(diǎn)，所以EM是DFA的中位線。令EM=x，則FA=2x，F(xiàn)D=FB=2x+3，所以。解得，即。解法二：連結(jié)GN，易證BGD是等腰三

4、角形。因?yàn)锳點(diǎn)、D點(diǎn)關(guān)于EN對稱，所以N是BD的中點(diǎn)，所以GNBD，所以RtGNDRtBAD，所以。而所以。又因?yàn)?，所以又因?yàn)镽tDMERt，所以，。   例5. 如圖5，有一塊面積為1的正方形ABCD，M、N分別為AD、BC邊上的中點(diǎn)，將點(diǎn)C折至MN上，落在點(diǎn)P位置，折痕為BQ，連結(jié)PQ。（1）求MP；（2）求證：以PQ為邊長的正方形面積等于。解：（1）連結(jié)BP、PC，把MN看作是正方形對折的折痕，則BP和PC關(guān)于MN對稱，故BP=PC。因?yàn)镃點(diǎn)和P點(diǎn)關(guān)于BQ（折痕）成軸對稱，所以BQ垂直平分PC，所以BP=BC，CBQ=PBQ，所以BP=PC=BC=

5、1，所以PBC是等邊三角形，所以CBQ=PBQ=30°。在RtBPN中，所以。（2）證明：由折疊可知，。在RtQCB中，所以以PQ為邊長的正方形面積是。   例6. 如圖6，把矩形ABCD對折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕上，得到RtABE，沿著EB線折疊得到AEF，若矩形的寬CD=4，求AEF的面積。解：由題意可知：EC/BN/AD。因?yàn)镹是CD中點(diǎn)，所以B是EF中點(diǎn)。又因?yàn)镋BA=90°，所以ABEF，所以AB是EF的中垂線，所以AE=AF。因?yàn)锳E是折痕，所以2EAB+BAF=90°，所以3EAB=90°所

6、以EAB=30°，所以EAF=60°，所以AEF是等邊三角形。設(shè)BE=x，則AE=2x，又因?yàn)锳B=4，所以，解得，所以，所以。   例7. 如圖7，已知將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在處，交AD于E，AD=8，AB=4，求BDE的面積。解：易證BDE是等腰三角形，所以。作EFBD，垂足為F，則。因?yàn)锽EF，所以，又因?yàn)椋?，所以。所以?#160;  例8. 如圖8，把矩形紙片OABC放入直角坐標(biāo)系xOy中，使OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上。連結(jié)AC，且，。（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

7、（2）求AC所在直線的函數(shù)解析式；（3）將紙片OABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合（折痕為EF），求折疊后紙片重疊部分的面積。解：（1）因?yàn)椋?，即OA=2OC。因?yàn)?，所以。所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）。（2）設(shè)AC所在直線的函數(shù)解析式為y=kx+b，把A（8，0）、C（0，4）代入，得解得。所以AC所在直線的函數(shù)解析式為。（3）因?yàn)榧埰琌ABC折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，所以折痕EF垂直平分AC，所以EC=EA。設(shè)EC=EA=t。因?yàn)?，所以，解得t=5，所以，所以。 如圖，折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕（對角線）BD，再折疊，使AD落在對角線BD上，得折痕DG，若A

8、B=2，BC=1，求AG如圖，在RtABC中，ACB=90°A<B，CM是斜邊AB的中線，將ACM沿直線CM折疊，點(diǎn)A落在D處，如果CD恰好與AB垂直，那么A等于_法一、在RtABC中，ABCM是斜邊AB上的中線， CM=AM， A=ACM，將ACM沿直線CM折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處設(shè)A=ACM=x度， A+ACM=CMB， CMB=2x，如果CD恰好與AB垂直在RtCMG中， MCG+CMB=90° 即3x=90° x=30°則得到MCD=BCD=ACM=30°根據(jù)CM=MD， 得到D=MCD=30°=A A等于30°法二、CM平分ACD，ACM=MCDA+B=B+BCD=90°A=BCDBCD=DCM=MCA=30°A=30°如圖，折疊長方形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的長解答：D，F(xiàn)關(guān)于AE對稱，所以A