第二節(jié)一元線性回歸分析

1、第二節(jié)一元線性回歸分析本節(jié)主要內(nèi)容:回歸是分析變量之間關(guān)系類型的方法，按照變量之間的關(guān)系，回歸分析分為: 線性回歸分析和非線性回歸分析。本節(jié)研究的是線性回歸 ，即如何通過統(tǒng)計(jì)模型 反映兩個變量之間的線性依存關(guān)系?；貧w分析的主要內(nèi)容：1。從樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式；2。估計(jì)回歸模型參數(shù)；3。對確定的關(guān)系式進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找 出影響顯著的變量。一、一元線性回歸模型：一元線性模型是指兩個變量x、y之間的直線因果關(guān)系。理論回歸模型：理論回歸模型中的參數(shù)是未知的，但是在觀察中我們通常用樣本觀察值 '1估 計(jì)參數(shù)值；-，通常用'分別表示的估計(jì)

2、值,即稱回歸估計(jì)模型： 回歸估計(jì)模型：二、模型參數(shù)估計(jì)：用最小二乘法估計(jì)'':L 昶2>八2?2>?0 二【例3】實(shí)測某地四周歲至十一歲女孩的七個年齡組的平均身高（單位：厘米） 如下表所示某地女孩身高的實(shí)測數(shù)據(jù)女孩年齡(沁)4. 55. 56.57,58.59. 510. 5平均身高fad)101.1觥6112. 111.1121.012S.5129. 2建立身高與年齡的線性回歸方程。由表中數(shù)據(jù)可毆卄算出：2>嚴(yán)5遼2>產(chǎn)汕60 J = 421巧另時嚴(yán)肛二九根據(jù)上面公式求出 b0=80.84，b1=4.68.干是，女孩身高關(guān)于豐齡的回歸萬程為；= G0.

3、84+4.68三回歸系數(shù)的含義除學(xué)會逮立一元線性回也方程的方法外，還應(yīng)廻解方程中的以下幾個問題:m 神S根據(jù)國歸方程萊岀的因變量y的理論回歸值p看成是個確定性敷值，它ATi±是 號給定自變童農(nóng)值對應(yīng)的乎的許務(wù)可能值的平均值,是把非確定性的數(shù)重關(guān)至平均化了 -(2)回歸方程中的兩個回歸系數(shù)，其中b0為回歸直線的啟動值，在相關(guān)圖上變 現(xiàn)為x=0時，縱軸上的一個點(diǎn)，稱為y截距；bl是回歸直線的斜率，它是自變量(x)每變動一個單位量時，因變量(y )的平均變化量。(3 )回歸系數(shù)bl的取值有正負(fù)號。如果bl為正值，則表示兩個變量為正相關(guān)關(guān) 系，如果bl為負(fù)值,則表示兩個變量為負(fù)相關(guān)關(guān)系。例題

4、判斷題回歸系數(shù)b的符號與相關(guān)系數(shù)r的符號，可以相同也可以不同。 ()答案：錯誤解析：回歸系數(shù)b的符號與相關(guān)系數(shù)r的符號是相同的例題判斷題在回歸直線yc=a+bx,b0,則x與y之間的相關(guān)系數(shù)()a。r=0 b.r=1 c.0<r<1 d.-1 r 0答案：d解析：b0，則x與y之間的相關(guān)系數(shù)為負(fù)即-1 r<0例題單選題回歸系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的符號是一致的，其符號均可用來判斷現(xiàn)象()a。線性相關(guān)還是非線性相關(guān) b。正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)c。完全相關(guān)還是不完全相關(guān) d.單相關(guān)還是復(fù)相關(guān)答案：b解析：回歸系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的符號是一致的，其符號均可用來判斷現(xiàn)象正相關(guān)還 是負(fù)相關(guān)四回歸方程的評價與

5、檢驗(yàn)：當(dāng)我們得到一個實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)回歸方程后， 還不能馬上就進(jìn)行分析與預(yù)測 等應(yīng)用，在應(yīng)用之前還需要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對回歸方程進(jìn)行評價與檢驗(yàn)。進(jìn)行評價與檢驗(yàn)主要是基于以下理由：第一，在利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)回歸模型 時，首先是假設(shè)變量y與x之間存在著線性關(guān)系，但這種假設(shè)是否存在需要進(jìn)行 檢驗(yàn)；第二，估計(jì)的回歸方程是否真正描述了變量 y與x之間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，y 的變化是否通過模型中的解釋變量去解釋需要進(jìn)行檢驗(yàn)等。一般進(jìn)行檢驗(yàn)的內(nèi)容有：1。經(jīng)濟(jì)意義的檢驗(yàn)：利用相關(guān)的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理及我們所積累的豐富的經(jīng)驗(yàn)，對所估計(jì)的回歸方程的 回歸系數(shù)進(jìn)行分析與判斷，看其能否得到合理的解釋。2?；貧w方程的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：包括回歸方程的

6、顯著性檢驗(yàn)（f檢驗(yàn)）和對回歸系數(shù)的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）。（1）線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)一-f檢驗(yàn)線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)即方差分析檢驗(yàn)法，它是對所有參數(shù)感興趣的一種顯著性檢驗(yàn) 其檢驗(yàn)步驟為：第一步：提出假設(shè)。第二步：構(gòu)造f統(tǒng)計(jì)量”1把總平方和定義加 鳥二左念-洌!回歸平方和定義加空二±6 f 5翩2-1M議平方和定S.S：則*1在ho成立的條件下，有: 2即統(tǒng)計(jì)童F服從第一自由度為1,第二自由度為"2的”彤5第三步匚給定顯著水平口，査？'井布臨界值（1-2）,亶表時使用的第一自由度為1,第二自由度為n 2,其中n為樣本容量。第四步：做出統(tǒng)計(jì)決策gz-! 柜純廉膀設(shè)2%，接

7、爰音毎平許，貝川、門超與丫豹或叫用戎夭吾顯著即回歸方程顯著匚若f sa«"2）時，接受日叩則認(rèn)為忑與y的線性相關(guān)關(guān)菜不顯著， 即回歸方程不顯著。（2）回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)-t檢驗(yàn)回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)解釋變量 x對因變量y的影響是否顯著.首先：提岀假設(shè)。原假設(shè)：廣備擇假設(shè) 一 -如果ho成立，則因變量y對解釋變量x之間并沒有真正的線性關(guān)系，即x的 變化對y并沒有顯著的線性影響其次：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t，并得出對應(yīng)的概率值（伴隨概率）。t = 石 （丹 _ 2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： ：'為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差）最后：根據(jù)伴隨概率進(jìn)行判斷：如果伴隨概率 （sig。值）小于我們事先確

8、定的顯 著性水平二時，拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即解釋變量x對y的線性效果顯著。 否則，不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為x對y的線性效果不顯著。一元線性回歸分析時，由于只有一個解釋變量，因此t檢驗(yàn)與f檢驗(yàn)的結(jié)果是 一致的.3。回歸方程的評價一一擬合程度分析：擬合程度是指估計(jì)的回歸方程是否很接近因變量，即估計(jì)的精確度。而估 計(jì)的精確度如何取決于回歸方程對觀測數(shù)據(jù)的擬合程度最常用的指標(biāo)就是-判定系數(shù)。1.判定系數(shù)判定系數(shù)是用來說明回歸方程對觀測數(shù)據(jù)擬合程度的一個度量值，以一元線性回歸方程為例，若各觀測值數(shù)據(jù)（Xi, yi）在坐標(biāo)系上形成的散點(diǎn)都落在一條 直線上，那么這條直線就是對數(shù)據(jù)的完全擬合，直線充分代表了

9、各個點(diǎn)，此時， 用x估計(jì)y是沒有誤差的。各觀測點(diǎn)越是緊密圍繞直線，說明直線對觀測數(shù)據(jù)的 擬合程度越好，判定系數(shù)越高，反之則越差，判定系數(shù)越小。總變差平方和=回歸平方和+殘差平方和壯回歸平方和遲&-才疔判定系數(shù)二的取值范圍在【0, 1】，：'=1時，擬合是完全的，即所有觀測值都在直線上。若x與y無關(guān)，x完全無助于解釋y的變差，此時一，則二=0.可見，越接近于1,表明回歸平方和占總變差平方和的比重越大，回歸直線與各觀測點(diǎn)越接近，回歸直線的擬合程度就越好。反之，7 '越接近0,回歸直線的擬合程度越差。2。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差''估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是殘差平方和的均方根，用 -

10、表示。其計(jì)算公式為:殘差平方和V 2從實(shí)際意義看，反映了用估計(jì)的回歸方程預(yù)測因變量 y時預(yù)測誤差的大小 越小，說明根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測也就越準(zhǔn)確；若各觀測點(diǎn)全部落在直線上，則 =0,此時用自變量來預(yù)測因變量是沒有誤差的。 可見也從另一個角度說明了回歸直線的擬合程度。例題單選題評價回歸直線方程擬合優(yōu)度如何的指標(biāo)有（）a。回歸系數(shù)b b。直線截距a c。判定系數(shù)r2 d.相關(guān)系數(shù)r答案：c例題單選題關(guān)于估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差，下列說法正確的是（）a。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差數(shù)值越大，說明回歸直線的代表性越大bo估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差數(shù)值越大，說明回歸直線的代表性越小Co估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差數(shù)值越大，說明回歸直線的實(shí)用價值越大do估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差數(shù)值越大，說明回歸直線的實(shí)用價值越小答案：b解析：估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是殘差平方和的均方根，用 -表示。其計(jì)算公式為E =二殘差平