專題13圓錐曲線教學(xué)案詳解

1、專題13 I國(guó)錐曲線（教學(xué)案）i.以客觀題形式考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定義、離心率、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題、雙曲線的漸近線等，可能會(huì)與數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式結(jié)合命題，若與立體幾何 結(jié)合，會(huì)在定值、最值、定義角度命題.2.每年必考一個(gè)大題，相對(duì)較難，且往往為壓軸題，具有較高的區(qū)分度.平面向量的介 入，增加了本部分高考命題的廣度與深度，成為近幾年高考命題的一大亮點(diǎn)，備受命題者的 青睞，本部分還經(jīng)常結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、三角等知識(shí)結(jié)合進(jìn)行綜合考查.、橢圓、雙曲線、拋物線的定義及幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義I PF1| 十| PF= 2a(2a>|FiE|)| PFi|PF2|

2、=2a(2a<| FiF2|)定點(diǎn)F和定直線l,點(diǎn)F不在 直線l上1到l距離為d,|PF =d標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸x2 y2 _ a2+b2-1(ab>b>0)焦點(diǎn)在x軸上x(chóng)2 y2a?-：2-1(a>0，b>0)焦點(diǎn)在 x軸正半軸上 y2 =2px（p>0）圖象J八/J0一-A、Qlc0)x71rx幾何 性 質(zhì)范圍|x|<a, |y|wb|x|>a, yC Rx>0, yC R頂點(diǎn)(劃0),(0,北)(劃0)(0,0)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱焦點(diǎn)(七,0)山0、 0軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2?a,短軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b一離心率e

3、=a=、/一:皿）+ 凱1準(zhǔn)線J 一一一 _ 2X P x2通徑1AO1 2bABr|AB|= 2p漸近線,b y=/【誤區(qū)警示】1.求橢圓、雙曲線方程時(shí)，注意橢圓中c2=a2+b2,雙曲線中c2=a2b2的區(qū)另1J.2 .注意焦點(diǎn)在x軸上與y軸上的雙曲線的漸近線方程的區(qū)別.3 .平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；平行于拋物線的軸的直線與 拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn).高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一橢圓的定義及其方程22例1 .12016高考浙江文數(shù)】已知橢圓Ci： Zy+y2 C.27+ 18 =1=1（m>1）與雙曲線C2： x -y2=1（n>0）mn的焦點(diǎn)重合，01,改分別為

4、C1, C2的離心率，則（）A.m>n 且 e1e2>1B.m>n 且 e102<1C.m<n 且 e1e2>1D . m<n且 e1e2<1由題意知可/- 1 =/ +】，即=*+ 2 ,由于口>0,可得、工 wa2-l w2 + l -1 51、門(mén) 11、w4 +1 .+., +J又(q0尸二1j- -<1-二X1+f)=-5丁廠>1 * 故外電 >1 . Hm h »2 k h +2 h n +2n選A.22x y【變式探究】已知橢圓E: 1+g=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為 F(3, 0),過(guò)點(diǎn)

5、F的直線交E于A B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1 , 1）,則E的方程為（22x yA. =145 3622x yB.36+L22r x y D.L【答案】【解析】 設(shè) A(xi, yi) , B(x2, y2),.A, B在橢圓上，22Xi yi .a2+ b2= i， 22X2 y2f 一，得(X1+X2)(Xi X2)卜（中 + 丫2） 2（'一門(mén)）”b(yi+y2)(yi-y2)(X1+X2)(Xi X2)'.AB的中點(diǎn)為（i , - i）, yi + y2= - 2, Xi + X2=2,* yiy21而=kAB=Xi X23-ii2'b2 i a2=2.又

6、a2 b2=9, 1. a2= i8,b2=9.22橢圓E的方程為 套+（1,故選D.考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)例2.120i6高考新課標(biāo)3文數(shù)】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓22-X VC ： + = i(a>b>0) a b且PF _L X軸.過(guò)點(diǎn)A的直線與線段的左焦點(diǎn)，A, B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),PF交于點(diǎn)M ,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（A） 13【答案】A(C) 23(D) 34由題意設(shè)直線I的方程為尸=依尤+口），分別令#="與/=0得|。團(tuán)二陽(yáng)口設(shè)2網(wǎng)（口-c）OE的中點(diǎn)為M則。颯山陋二也| FAf | BF |所以橢圓C

7、的離心率百二3,故選A.22【變式探究】（20i5 北京，i9）已知橢圓C:今+2客淮。）的離心率為千，點(diǎn)P（0 , i） a b2和點(diǎn)A（m n）（療0）都在橢圓C上，直線PA交X軸于點(diǎn)M(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn) M的坐標(biāo)(用簿n表示)；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線 PB交x軸于點(diǎn)N.問(wèn)：y軸上是否存在 點(diǎn)Q,使彳導(dǎo)/ OQMZ ONQ若存在，求點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】XL口)由題意得彳£二也，解得二0 a 2故橢ISc的方程為設(shè)賦0).因?yàn)楹?,所以YYL直線外的方程為廠1 = 9篇所以片言，即稿,。)因?yàn)辄c(diǎn)E與點(diǎn)關(guān)于*鈾對(duì)稱，所以成孫一

8、m.設(shè)而壯，0),則片“存在點(diǎn)鈾"城使得等價(jià)于“存在點(diǎn)0(0,拆)使得需=樵"，即M滿足必=.3因?yàn)?片廣5，片左，7+/?=k 1 -J31+J3 2所以，產(chǎn)|焉樂(lè)1 =三=2所以M=域或2=-也.故在尸軸上存在點(diǎn)6使得/為彈=/咖，點(diǎn)的坐標(biāo)為9,班)或(0, _近,考點(diǎn)三雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程22例3.12016高考天津文數(shù)】已知雙曲線 -yy =1 (b>0),以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半4 b軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的 ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為（2 c 2(A) -y-=1 (B)44(C)【解析】根據(jù)對(duì)

9、稱性，不妨設(shè)A在第一象限24 F=1(D)22u工=1412A(x, y), 22x yby=2xb2 44y-2一,b 416一 xy = -2b2 4b =b= b2 =12,故雙曲線的方程為 2 2412=1 ,故選D.【變式探究】（2015 福建，3）若雙曲線E：2親=1的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi, F2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且 | PF| =3,則 | PF2| 等于(A. 11 B.9C. 5D. 3由雙曲線定義| PF2| |PF| |PF| = 3, P 在左支上，a=3,| PF2| | PF| =6,| PF2| =9,故選 B.考點(diǎn)四雙曲線的幾何性質(zhì)例4.12016高考新課標(biāo)

10、1卷】已知方程2-2m n 3m -n=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是（）(0,3)(D) (0,百)由題意知二雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，所以桃2 +建+3w? 一理=4,解得攢” =1,因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以1 + «>03_20,解得1網(wǎng)，所以內(nèi)的取值范圍是（T3）,故選a.【變式探究】（2015 新課標(biāo)全國(guó)n ,11）已知A, B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn) MB E上, ABM；等腰三角形，且頂角為120° ,則E的離心率為()A. 5B. 2 C. 3D. 222【解析】 如圖，設(shè)雙曲線E的方程為 孑一春=1(2>0, b&g

11、t; 0),則| AB = 2a,由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn) Mxi, y1)在第一象限內(nèi)，過(guò) M作MINLx軸于點(diǎn)N(xb 0) , ABM為等腰三角形，且/ ABM 120° , . | BM = | AB= 2a, / MBN 60° ,，y1 = | MN = | BMsin Z MBN= 2asin 60° = 3a, x= | OE| + | BN = a+2acos 60° = 2a.將點(diǎn) Mx1，y1)的坐標(biāo)代入 點(diǎn)一卷=1,可得 a2= b2,e=caa2+ b2=2,選 D.y w(A)3(D) 1設(shè)尸不妨設(shè)則而二|2p/ : FM =

12、FP t3考點(diǎn)五拋物線的定義及方程例5.【2016年高考四川文數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線 y2 = 2px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且 PM =2 MF，則直線OM的斜率的最大值為(2(B)一3五片一金巧,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)期等號(hào)，;,(3)-若，故選c -【變式探究】過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于 A B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AF|=3,則AOB勺面積為()A.£ B. 2C.322 D. 2 2【答案】 C【解析】設(shè)點(diǎn)A(xi, yi), B(x2, y2),由| AF| = 3及拋物線定義可得， xi+1=3,，xi=2.二.A點(diǎn)坐

13、標(biāo)為(2 , 22),則直線AB的斜率2 2-0直線AB的方程為y=2q2(x1), 即為 22x y22=0, 則點(diǎn)O到該直線的距離為d = 攣.3由七'=22 (x-1),消去 y 得，2x25x+2=0,13解得 x1= 2, x2= . | BF| = x2+ 1=3 91| AB = 3+ 2=2.Saaob= 2 AB , d1 9 2 2 3 2=x - x q= -.2 232考點(diǎn)六拋物線的幾何性質(zhì)例6.12016高考新課標(biāo)1卷】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交 C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|二4j2,|DE|= 2遙,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A)2

14、(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】如圖股拋物線方程為y2 =2產(chǎn)理交工軸于C1點(diǎn)網(wǎng)dC=2應(yīng)即點(diǎn)縱坐標(biāo)為2或，則X點(diǎn)橫坐標(biāo)為±即OC = ± =由勾股定理知物尸+ OF2 = "6二",= / O2 = / ,即 PP(6尸+(守=(2)心(2尸懈得尹二4,即。的焦點(diǎn)到隹線的距離為4,故選B2Px y22= 1(a>0, b>0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2,:)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2= 4于x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A.- - -= 121 28B. x -= 128 21C.y-D.4/I【解析】雙曲學(xué)高-4=1的漸近線方

15、程為產(chǎn)土1又海近線過(guò)點(diǎn) 回 所以”二胡，即2月3船 8&sa拋物線/=46X的準(zhǔn)線方程為x=由已知,得即J+d=7,聯(lián)立解得4=%所求雙曲線的方程為!-<=L選D-真題感悟221.12016高考新課標(biāo)1卷】已知方程 苫一-一y一二1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦m n 3m - n點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是()(A)(1,3)(B)(-1,73)(C)(0,3)(D)(0,73)【答案】A【解析】由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以 m2+n+3m2 n = 4,解得m2 = 1,因x2y2+1 n 0 " 口 nT 為方程 -一=1表示雙曲線，所以 <，解得!，

16、所以的取值范圍是1 n 3 -n3-n 0 n 二 3(-1,3 )，故選 A.2.【2016年高考四川文數(shù)】設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線 y x4.12016局考浙江又?jǐn)?shù)】已知橢圓 01： m = 2px（p>0），則直線OM的斜率的最大值為（）(D) 1上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且 PM =2 MF(A)史3【解析】設(shè)P(2pt2,2pt ), M (x, y)(不妨設(shè)FP= 2pt2 -p,2pt .p 2p 2 x 一一 二t232 pty= 3，xPt232 pt y=33, k- OM -2t2 1，當(dāng)且僅當(dāng)t=!時(shí)取等號(hào)，（k°M m；t.112

17、2tm2t2.21 ax 2,故選C.x3.12016高考新課標(biāo)2文數(shù)】已知Fi,F2是雙曲線E :-2 a斗=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在b2E上，MF1與軸垂直,1-l，sin ZMF2F1 =&，則E的離心率為（(A)近.3(D) 2點(diǎn) .選 A,序號(hào)1因?yàn)?組垂直于工軸，所以的| = 一|四互|=% + ,因?yàn)?。"芯片=；,即 aa,j7T =彳 > 化簡(jiǎn)得b=a?故雙曲線離心率 b 32x 2+y =1(m>1)與雙曲線 02： -2 y=1(n>0)的焦n點(diǎn)重合，01, 02分別為O1, C2的離心率，則（A . m>n 且 eie2>1

18、B . m>n 且 eie2<1C.m<n 且 eie2>1且 eie2<1【答案】A【解析】由題意知 m2 -1 = n2 +1 ,即m2 = n2+2 ,由于m> 1, n> 0,可得m>n,2/2/4-2/2 m -1n 11111. n 2n1.又(ea)=2-2 =(1 - 2)(1-2)=(1 -2-')(1-2) =4-2-> 1 ,m nm n n 2 n n 2n故62 >1 ,故選A .5.12016高考浙江文數(shù)】若拋物線 y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是.【答案】【解析】xM ：&

19、gt;1 =10=,xM =96.12016高考新課標(biāo)1卷】以拋物線 C的頂點(diǎn)為圓心的圓交 C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知AB|二4j2,|DE|= 2/5，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】如圖,設(shè)拋物線方程為丁 =2口一袋交工軸于點(diǎn)柳J= 2點(diǎn)即/點(diǎn)縱坐標(biāo)為2道則點(diǎn)橫坐標(biāo)為-,BPOC = -油勾股定理知DF1 + OF2 =DOL=r2 "+ OC2 = AOL =尸即 PP透尸+(%=(2收y+(-/解得p = 4即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4我選B2pEB227.12016高考新課標(biāo)3文數(shù)】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),x yF 是橢圓

20、 C ： + = 1(a a b a 0)的a b左焦點(diǎn)，A, B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF _L x軸.過(guò)點(diǎn)A的直線與線段 PF交于點(diǎn)M ,與y軸交于點(diǎn)E .若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(A) 3(C) |3 (D)4【解析】由題意設(shè)直線的方程為y=k(x+a),分別令 x=c與 x = 0得|FM |=|k(ac) , |OE|=|ka .設(shè)oe的中點(diǎn)為N,則 AOBNA FBM ,則1 -|OE| 2|FM |OB| k a|BF |2 k (a -c)整理,1-,所以橢圓C的離心率 31，e =_，故38.12016高考天津文數(shù)】已知雙曲線2當(dāng)=1 (b&g

21、t;0 ),以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸 b長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D 四點(diǎn),四邊形的 ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為(2 /“、 x (A) 一豆=1(B)(C)4 b2=1 (D)914JC r 【解析】根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限，護(hù)+ 4y =24 b，節(jié)=品，: = 2 = *=12,故雙曲線的方程為1一占=1,故選D.o+4 2 24 12的右焦點(diǎn)，直線 丫二，與橢圓交于B,C兩點(diǎn)，且NBFC =90°,則該橢圓的離心率是【解析】由題意得B(a,b),C( -a,b),因此2：3 、2，-c -(a) ( ) =0= 3c =2a =

22、 e =22x =2 pt210.12016高考天津文數(shù)】設(shè)拋物線 X p , (t為參數(shù)，p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為y = 2ptl.過(guò)拋物線上一點(diǎn) A作l的垂線，垂足為 B.設(shè)C ( -2 p,0),AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|,且 ACE的面積為3應(yīng)，則p的值為【解析】拋物線的普通方程為y2=2px, F(f,0),CF72p _3又CF =2 AF ,則AF =p,由拋物線的定義得3，AB = 一 p ,所以 Xa2|yA |=v5p ，一 EF CF由 CF AB 得 EF=CF,即EA ABEF CFEA AF所以 SVCEF =2SVCEA6"2

23、, SvacF = SVAEC +S/CFE1所以 3 M3p mJ2P =9 應(yīng)，解得 p=J6.11.12016高考山東文數(shù)】已知雙曲線E:-a22x_y_b2=1(a>0, b>0),若矩形 ABCD 的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB, CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且21AB|二3|BC|,則E的離心率是【答案】2【解析】假設(shè)點(diǎn)/在第一象限，點(diǎn)8在第二象限，則所以| AB卜空，|BC|=2c, aaa由21ABi = 3|BC|, 1=國(guó)2+行得離心率巳=2或 =；(舍去)，所以E的離心率為、 *22x V12.【2016年局考北與又?jǐn)?shù)】雙曲線 -7=1 (a>0, b A 0)的

24、漸近線為正萬(wàn)形 OABC a b的邊OA, OC所在的直線，點(diǎn) B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形 OABC的邊長(zhǎng)為2,則 a =.【答案】2【解析】. OABC是正方形，ZAOB =45°,即直線OA方程為y = x,此為雙曲線的漸近線，因此a=b,又由題意|OB=2J2,.a2+a2=(2J2)2,a = 2.故填：2.2213.12016高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線 -* =1的焦距是73.【答案】2 .10【解析】:=工肥=3J =/+/=7 + 3 = 10二£ = 2c = 2<10 .焦距為2c故答案應(yīng)填；2 Ji5 dl14.12016高考

25、山東文數(shù)】(本小題滿分 14分)223平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： x2 + V2 =1(a> b>0 )的離心率是 ，拋物線E： x2 = 2y a b2的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).(I)求橢圓C的方程；(II )設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn) A,B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn) M.(i)求證：點(diǎn)M在定直線上；(ii)直線與y軸交于點(diǎn)G,記4PFG的面積為S, PDM的面積為S2，求色 的最2 s大值及取得最大值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).y i【答案】(I)2. 2.69x +4y =1; (n) 見(jiàn)解析；(ii) 三

26、的取大值為一，此時(shí)點(diǎn)p的坐S24標(biāo)為(一2 1)2，4(I)由題意知a = 2b.因?yàn)閽佄锞€E的焦點(diǎn)為一 1、1F (0,-),所以 a =1,b =萬(wàn)，所以橢圓C的方程為x2+4y2=1.（II） （ I ）設(shè)P（m,tX掰 0） 由，=2y可得V =2所以直線/的斜率為冽,因此直線/的方程為-，=加（-m） 即="打一，.2my 9f2X 設(shè)總冷當(dāng)）/（2，為），。（項(xiàng)），打），聯(lián)立方程2x +4/=1得（4陽(yáng) * + l）x2 4m3 x+ 掰4 - 1 = 0 ,由，0,得0 cm v）2 +右且百+ *2 =0>4/m2 +1因此項(xiàng)） =24 + 1將其代入y =曜一

27、，得打=2(4+1)'因?yàn)槊?一/一,所以直線OD方程為y=-，-x. xQ 4m4m聯(lián)立方程，J=一詬"，得點(diǎn)拉的縱坐標(biāo)為為=一。,4x = m即點(diǎn)拉在定直線上.42（n）由（I）知直線方程為 y = mx ,222令 x =0 得 y =-,所以 G(0,- ),22又興風(fēng)4ma + r 2(4ma +1)2m所以用=|GF|SlmIM |厘_%|=m(2m2 +1)8(4ma +1)蒯尹詠鏟, 1sqfy當(dāng)-=三，即廣=2時(shí)f取得最大值 > 此時(shí)陽(yáng)=-r消足/ > 0 T/ 25.42所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（告1），因此5的最大值為?,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（李.；）.

28、15.12016高考江蘇卷】（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知直線 l :x y 2=0 ,拋物線 C : y2 =2px(p >0)（1）若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線 C的方程;（2）已知拋物線 C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn) P和Q.求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2 p,p）.;求p的取值范圍.4、詳見(jiàn)解析，（0,一）3【解析】解：<1）拋物線c：尸=2hS>0）的焦點(diǎn)為（今0）由點(diǎn)、（祟0）在直線，：工一-2 = 0上得色0-2=01即p = 4.所以拋物線c的方程為y -8x 設(shè)/玉,%）.?（&以），線段PQ的中點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)

29、于直線，對(duì)稱，所以直線I垂直平分線段PQ, 于是直線PQ的斜率為7,則可設(shè)其方程為y=一1+ b.由=消去x得7+2吩-2g = 0 （,）因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以小 從而4= Qp）2-4（-2pi）。尸化簡(jiǎn)得p +2b>0.方程（*）的兩根為三_p±獷+1pb從而為白。三一。 因?yàn)椋ㄓ?%）在直線/上，所以/ = 2-2因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2-p-p）.因?yàn)锳f（2 - R-成在直線了 - -1+ B上 所以-尸<2-尸）*52即b*2-2p由®Mlp +2b>必于是p + 2（2-2p）>Q,所以p<$ 因此R的取值

30、范圍為（0彳）16.12016高考天津文數(shù)】（本小題滿分14分）22設(shè)橢圓 三十乙=1 （a>M$）的右焦點(diǎn)為F ,右頂點(diǎn)為A,已知 a23|OF | |OA | | FA |其中O為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（I）求橢圓的方程；（n）設(shè)過(guò)點(diǎn) A的直線與橢圓交于點(diǎn) B （ B不在x軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn) M ,與y軸交于點(diǎn)H ,若BF _L HF ,且/MOAw/MAO ,求直線的斜率的取值范圍22【答案】（I） x + y =1 （n）（-二66，二）44(I )解：役Ft。)，由13。，即可得"一/二攵"又 c a a(ac)43/ =方=3,所以，=1,因此標(biāo)

31、=4,所以橢圓的方程為J + ： = l(II)解；設(shè)直線的斜率為此 gO),則直線/的方程為了=收工-2).x y設(shè)現(xiàn)如打)，由方程組彳+多=,消去人 整理得(癥+少，16工+16-12 = 0. y = k(x-2)解得x = 2,或#=第1,由題意得& =祟會(huì)1從而為=武 由知，相嘰設(shè)蟲(chóng)。為),有血= (7j3即=(肅,晟).由加工HF,得而.而=0,所以絆=+容冬=0,解得A日=2 4k +3 4k +312k因此直線的方程為p = - 9 / + 胃 k 12A:設(shè)”(珀廳時(shí)入由方程組，J=_lx+2zlL2謂+ 9J 12t消去力解付加=講”.在&W* 中, ZMO

32、A<ZMAO<MAMO> 即（ 2下+ 或+年,化簡(jiǎn)得知之i,即吸仁；尸，解得無(wú)一乎或無(wú)之半,所以，直線/的斜率的取值范圍為(-當(dāng)417.12016高考新課標(biāo)3文數(shù)】已知拋物線 C： y2=2x的焦點(diǎn)為F ,平行于x軸的兩條直 線li,l2分別交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P, Q兩點(diǎn).(I)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明 AR'FQ;(II)若APQF的面積是 MBF的面積的兩倍，求 AB中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(I)見(jiàn)解析；(n) y2 =x.1 .【解析】由題設(shè)尸.設(shè)B;y =>=方，則口20,且JLr/(十Q/ 備,垃汽一；,必。(一;V 亍巴：

33、一) *XdLrX-4/記過(guò)4B兩點(diǎn)的直線為人則1的方程為03分(I )由于尸在線段盤(pán)上，故記Me的斜率為總，尸。的斜率為刈，則電=:二g=與4='=二無(wú)=一=后, l+o a ab a a所以融少尸。5分(II )設(shè)，與工軸的交點(diǎn)為。(為,0),dtf4I 4 |Jbf由題設(shè)可得.一司卜一；二口萬(wàn)回 , 所以/=0 (舍去)，不二 占 I q ，設(shè)滿足條件的Q的中點(diǎn)為以你當(dāng)4B與工軸不垂直時(shí)，由心 二后.可得一- = -(x*l). fl+D X-1而 = 所以丁 = xT(xwl) *當(dāng)四與工軸垂直時(shí).E與D重合，所以，所求軌跡方程為/ = X-112分2X 218.12016局考

34、浙江又?jǐn)?shù)】(本題滿分15分)如圖，設(shè)橢圓 + y =1 (a>1).a(I)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a、k表不)；(II )若任意以點(diǎn)A (0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.-2a2 k【答案】(I)2 21 a2k2Ql + k2 ； (II) 0<e<2 2(I )設(shè)直線量=而十1襁橢圓截得的線段為y =Ax + l由V 2 得。+ 門(mén)), + %;=0,因此AP = +廿均一無(wú)=1 + ale(II)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)尸軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,滿足記直線/尸，內(nèi)。的斜率分別為占，曰 目片,

35、& >0, 2%.由(I )知，AP =，|4Q| = -i+門(mén)宏1+%所以(k12 k2 ) 十k12 +k；十a(chǎn)2(2a2 *122 = 0 .由于 k1#k2, k1 , k2 A0得 1+k；+k；+a2(2a2 )k；k； =0 ,112 2因此( +1)(+1)=i+a2(a2 -2),k1k2因?yàn)槭疥P(guān)于k1, k2的方程有解的充要條件是 1+a2(a2-2)>1,所以a >y/2.因此，任意以點(diǎn) A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1 ca w J2 ,工 c .a2 -1、2由e =l二得，所求離心率的取值范圍為 0<eW.a

36、a22219.12016高考新課標(biāo)2文數(shù)】已知橢圓E：工+工=1的焦點(diǎn)在軸上，A是E的左頂點(diǎn)， t 3斜率為k(k >0)的直線交E于A, M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA _L NA .(I)當(dāng) t =4,| AM |=| AN | 時(shí)，求 AAMN 的面積；(n)當(dāng)2 AM =|AN時(shí)，求k的取值范圍.【答案】(I) 144; (n)(蚯,2 ).49【解析】I )設(shè)材(再,必)，則由題意知耳>0,當(dāng)f = 4時(shí)，E的方程為W + ? = l,42一 43由已知及橢圓的對(duì)稱性知b直線的傾斜角為二.因此直線的方程為尸=兀+2一43 .-將彳=-2代入二十得7/ -12? = 0.解得 &

37、gt;或y = g ,所以兇二W4 371112 17144因此*AfM的面積咻=2x x x=.2 7749(n)由題意 t >3 , k >0 , A(-Vt,0 ).22將直線AM的方程y = k(x + Ji)代入 工+L =1得t 33 tk x22. ttk 2x t2k2 -3t = 0.由x"導(dǎo)t 3-tk23 tk2，故AM-23 tk由題設(shè)，直線 AN的方程為 2由 2 AM = AN 得3+tk1 . 尸.y;_ x + 7t ,故同理可得 AN = kkrr 3 c-二一 ,即 k3 4 _2 t =3k(2k_1 ).3k t6k. t 1 -

38、k23k2+t '因此t二3k 2k -1一<t >3等價(jià)于k3 -2k3 2k2 k 2k3 -22k-2 k2 1k3 -2二 0,k -2k-2>0 fk-2<03l即 < 0 .由此得« Q ，或4 Q ，解得蚯< k < 2.k -2kx 2【答案】(1) + y =1； (2)詳見(jiàn)解析 -2 ：二0k3-2 0因此的取值范圍是3 2,2 .20.【2016年高考北京文數(shù)】(本小題14分)22已知橢圓C:與+ 4=1a ba >b >0)的離心率為，A(a,0) , B(0,b) , O(0,0),OAB的面積為

39、1.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線 PA與y軸交于點(diǎn)M ,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：AN BM為定值.丁?。↖）由題意得 = 1,解得。= 20 = 1.2所以橢圓C的方程為丁+ >2=1. 4（II）由（I ）知，42,0）,3（0,1）, 設(shè)P（斗,為），貝iJ* + 4宕= 4.當(dāng)今工。時(shí)，直線尸K的方程為=4（”一2） &-2令 = 0,得>.=一垂；，從而啊| = |1一時(shí) 與一2直線網(wǎng)的方程為y = Qx+L丫。一1令y=0,得%1=一3,從而|訓(xùn)=|2-xj=2+ %T所以|陽(yáng).巡|=2 +3+ 4年+仇 一仇一鞏+ 4口4飛汽-4飛

40、-8人+ 8I 硒2yo + 2I | 硒 _今-2yo + 2當(dāng)為 = 0時(shí)，刈=-1, BM = 2tAN = 2t所以|必.啊|=4.綜上，|訓(xùn)啊|為定值.21.【2016年高考四川文數(shù)】(本小題滿分13分)22x y已知橢圓E： -2 +與= 1(a >b >0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè) a b頂點(diǎn)，直線l : y = -x +3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn) T.(I)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);(n)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn) A、B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù) 九，使得PT2=P PA PB ,并求九的值.x2 y

41、2. ， 4【答案】(i) 一+1=1 ,點(diǎn)t坐標(biāo)為(2,1)； (n)九=635【解析】(I)由已知，a2+a2=(2c)2,即a=J2c,所以a = J2b,則橢圓E的方程為2 x 2b22 p.*兒 + z._ 1由方程組«)'得3-12尤+(18-3£) = 0.y =-x+3I方程的判別式為/=24(廿一 3),由/R得=3、此方程的解為獷=2,22所以橢圓區(qū)的方程為"+ ( = 1點(diǎn)7坐標(biāo)為(2,1)1(II)由已知可設(shè)直線的萬(wàn)程為y=-x+m(m#0),c 2mx = 2，32my = 1321 y x m, 有萬(wàn)程組22 可得y = x 3

42、,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(2地,1+生), 33FT2 8m9-2設(shè)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為 A(,y1), B(x2,y2)由方程組- 22x y / = 1,631y 二一x m, 2一一 2., .2可得 3x 4mx (4m -12)=0 .方程的判別式為=16(9-2m2),由解得3e <m<322由得x, 24m4m -12, x1x2 二33所以PA,52閂鈿 cd J5 0 2m同理PB =2-x2 , 23所以 PA PB =5 (2 2mx1)(2網(wǎng)x2)43132(22m 2 2m)-(2 )(x1 x2) xx23323 n 2m 2 zo 2m 4m 4m -12-

43、 (2 - ) -(2 -)() +4333310 2二一 m .9一，一 42 一故存在常數(shù) 兒=一，使得 PT =X PA PB .c 2m2x1322.12016高考上海文數(shù)】(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.2雙曲線x2 4 = 1(bA0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,直線過(guò)F2且與雙曲線交于 A、B b兩點(diǎn)。31(1)若的傾斜角為 一，ARAB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；， 二 -1 -* T(2)設(shè)b = J3 ,右的斜率存在，且(F1A + F1B) AB = 0 ,求的斜率.【答案】（1） y=±72x. （2） 土Y,

44、 5【解析】co設(shè)幺（孫山）.由題黃,瑪&0）,±=*（d1）=/,因?yàn)槎氖堑冗吶切?所以船=指8，即4（1+川）=況L解得/=2.故雙曲線的漸近線方程為j = 土岳.（2）由已知，居（一2,0）,用（Z0）,設(shè)/（巧,雙孫當(dāng)），直線/二 > =上（工一2）.顯然左二0./匕=1"3，得（后一3）145%+4二+3=0 .y=k（x-2）因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)，所以k2 3=0 ,且 = 36（1 + k2 ）>0 .設(shè)A B的中點(diǎn)為m （xM , yM ）.T T T T由（F1A +F1B） AB =0 即 F1M 'A B=0 ,知 F1

45、M _L A B 故 kF1M k = -1 .而Xmx1 x2 _ 2k22 k2 -3 c 6k 3kyM =k（xM-2）=-kF1M=-，k 32k 3.3kl 23所以一2 k = -1 ,得k =一，故的斜率為2k -35.15-T-一 5221. （2015 陜西，20）已知橢圓E:當(dāng)+y2= 1（a>b>0）的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) a b1（c, 0）, （0, b）的直線的距離為2c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M (x+2)2+(y1)2 =：的一條直徑，若橢圓 E經(jīng)過(guò)A, B兩點(diǎn)，求橢 圓E的方程.【解析】過(guò)點(diǎn)03 91目的直線方程為以

46、+k8=o,則原點(diǎn)仃到該直線的距離4由得e=2= 2y/a-c?解得離心率上二坐.法一 由(U知，橢圓F的方程為9 + </=48依題意，圓心期-2,。是Z知殳四的中點(diǎn),且1的=近，易知，題與，軸不垂直，設(shè)其方程為尸加5+2)+1,代>火1渭(1+叔?)#:1 + 8*3+1)£+4(2弁+1產(chǎn)設(shè)由R)，包蜀？“)，則用十4=一JTg=4 (2J-+1) 3-431+4/由抵十的二一% 將/-二-4,解得力=?從而 xLjra=8 21?t于是1朗=y1 + Im-明I=/ (m + g)對(duì)=710，由|納|=訴，得410 5-2)=近,解得5=3,故橢圓K的方程為三+3

47、二1. JL / J法二 由(1)知，橢圓石的方程為丁 + 4/=4匿,依題意,點(diǎn)4 5關(guān)于圓心風(fēng)一2, 1)對(duì)稱,且|加|=訴, 設(shè) N(m> /)> 虱x：> ”)> 貝 1猛+4於=49,幺+40=4*> 兩式相減并結(jié)合乂 +死=-4,刀+8=2,得一4(一心)+8齒一”)=0 易知四與*軸不垂直 ) 則x豐x：,所以皿的斜率xX* 2因此直線血的方程為廣：(*+2)+1,代入得x +4x+8 - 28，=0, 乙所以 jri + g= - 4> M死=8-2方"于是 |聞=y1 + © |xi-Xj|=/ ( M + m)'

48、;- 4m龍=#10 ( . - 2)由|四|=訴, 得-10 (*-2)=訴, 解得射=3,故橢圓£的方程為高+=1.2. (2015 廣東,7）已知雙曲線C：b2= 1的離心率e=4,且其右焦點(diǎn)為F2（5 , 0）,一 一 y ，B.= 116 922D. = 1則雙曲線C的方程為（22A.x4-y3- = 122吟嗦=1【解析】因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為b2=c2-a2 = 9,所以所求雙曲線方程為16F2(5 , 0)且離心率為 e=- = -,所以 c = 5, a=4,1=1,故選B.93. （2015 新課標(biāo)全國(guó)I, 5）已知M（X0, y。）是雙曲線 C:y2= 1 上

49、的一點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是 C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若前Mfc<0,則y°的取值范圍是（）【解析】2由題意知M在雙曲線C： 1 y2=1上，又在x2+y2=3內(nèi)部,由!；i得x2+ y2= 3,43 -p,33y=±2-,所以一言<心<言.X224. （2015 浙江，9）雙曲線,一y=1的焦距是,漸近線方程是【答案】 2 3 y= 土字x【解析】由雙曲線方程得才=2, E = L春="二焦距為2電,漸近線方程為產(chǎn)土李工5.（2015北京，10）已知雙曲線 ,一y2=1（a>0）的一條漸近線為 mx + y=0Ua=.a【答案】?3【解析】雙曲線漸近線方

50、程為 y=± bx,ab-3_= 3,又 b=1, a=Ur. a3226. （2015 湖南，13）設(shè)F是雙曲線C:與一2=1的一個(gè)焦點(diǎn)，若 C上存在點(diǎn)P,使線段a bPF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則C的離心率為 .【答案】5222【解析】不妨設(shè)F(c, 0),則由條件知P( c, ± 2b),代入看一看=1得5,一. e = 5.7 .(2015 江蘇，12)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x x， ,一 9 . (2015 新課標(biāo)全國(guó)I , 20)在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線C： y=與直線l : y= kx+a(a>0) 交于M N兩點(diǎn), (1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處