重慶大學(xué)自動(dòng)控制原理2第9章 習(xí)題參考答案_作業(yè)

1、 9-2 已知非線性系統(tǒng)的微分方程為(1) (2) (3) (4) 試確定系統(tǒng)的奇點(diǎn)及其類型，并概略繪制系統(tǒng)的相軌跡圖。解 (1) 奇點(diǎn)。特征方程為兩個(gè)特征根為平衡點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。在奇點(diǎn)附近的概略相軌跡圖：(2) 奇點(diǎn)。在平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)線性化，得到的線性化模型為其特征方程為兩個(gè)特征根為平衡點(diǎn)為中心點(diǎn)。在奇點(diǎn)附近的概略相軌跡圖： (3) 奇點(diǎn)。原方程可改寫為其特征方程、特征根和類型為在奇點(diǎn)附近的概略相軌跡圖：(4) 奇點(diǎn)。在平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)線性化，得到的線性化模型為其特征方程為兩個(gè)特征根為平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。在奇點(diǎn)附近的概略相軌跡圖：9-6 非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖9-51所示，其中，。試分別畫出輸入

2、信號(hào)取下列函數(shù)時(shí)在-平面上系統(tǒng)的相平面圖（設(shè)系統(tǒng)原處于靜止?fàn)顟B(tài)）。(1) (2) (3) (4) 解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得。由于，那么。其中系統(tǒng)原處于靜止?fàn)顟B(tài)，即。1、r(t)=2×1(t)初始狀態(tài)，。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程奇點(diǎn)：1區(qū)和3區(qū)沒有奇點(diǎn)。2區(qū)的奇點(diǎn)位置(0，0)，可判定其為穩(wěn)定焦點(diǎn)。由于根據(jù)2區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程求出的奇點(diǎn)在2區(qū)內(nèi)，該奇點(diǎn)為實(shí)奇點(diǎn)，故系統(tǒng)的相軌跡必穩(wěn)定在該實(shí)奇點(diǎn)上。漸近線： 1區(qū)；2區(qū)沒有漸近線；3區(qū)。相軌跡的斜率：1區(qū)，2區(qū)，3區(qū)。1區(qū)與3區(qū)的相軌跡具有中心對(duì)稱性。相軌跡大致形狀如圖所示。2、r(t)=-2×1(t)+0.4t初始狀態(tài)，。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程奇點(diǎn)：1區(qū)和3區(qū)

3、沒有奇點(diǎn)。2區(qū)的奇點(diǎn)位置(0.1，0)，可判定其為穩(wěn)定焦點(diǎn)。由于根據(jù)2區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程求出的奇點(diǎn)在2區(qū)內(nèi)，該奇點(diǎn)為實(shí)奇點(diǎn)，故系統(tǒng)的相軌跡必穩(wěn)定在該實(shí)奇點(diǎn)上。漸近線： 1區(qū)；2區(qū)沒有漸近線；3區(qū)。相軌跡的斜率：1區(qū)，2區(qū)，3區(qū)。相軌跡大致形狀如圖所示。3、r(t)=-2×1(t)+0.8t初始狀態(tài)，。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程奇點(diǎn)和奇線：1區(qū)為奇線。2區(qū)的奇點(diǎn)位置(0.2，0)，可判定為穩(wěn)定焦點(diǎn)。3區(qū)沒有奇點(diǎn)。由于根據(jù)2區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程求出的奇點(diǎn)在2區(qū)內(nèi)，該奇點(diǎn)為實(shí)奇點(diǎn)，而根據(jù)1區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程求出的奇線上的點(diǎn)全為1區(qū)內(nèi)的實(shí)奇點(diǎn)，故系統(tǒng)的相軌跡必穩(wěn)定在且的奇線上。漸近線： 1區(qū)和2區(qū)沒有漸近線；3區(qū)。相軌跡的斜

4、率：1區(qū)，2區(qū)，3區(qū)。相軌跡大致形狀如圖所示。4、r(t)=-2×1(t)+1.2t初始狀態(tài)，。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程奇點(diǎn)：1區(qū)和3區(qū)沒有奇點(diǎn)。2區(qū)的奇點(diǎn)位置(0.3，0)，可判定為穩(wěn)定焦點(diǎn)。由于根據(jù)2區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程求出的奇點(diǎn)不在2區(qū)內(nèi)，該奇點(diǎn)為虛奇點(diǎn)，而系統(tǒng)的相軌跡不會(huì)穩(wěn)定在該虛奇點(diǎn)上。漸近線： 1區(qū)；2區(qū)沒有漸近線；3區(qū)。相軌跡的斜率：1區(qū)，2區(qū)，3區(qū)。1區(qū)與3區(qū)的相軌跡具有中心對(duì)稱性。相軌跡大致形狀如圖所示。9-8 試用相平面法分析圖9-53所示系統(tǒng)在、及三種情況下相軌跡的特點(diǎn)。（設(shè)，試在相平面上繪制繪制系統(tǒng)在，及三種情況下的相軌跡。）解：采用積分法求出相軌跡方程。令，由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可知，可

5、見是開關(guān)線。積分可得 相軌跡是開口向右的拋物線 相軌跡是開口向左的拋物線，開關(guān)線是軸，相軌跡如圖(a)所示，是封閉曲線族。，相軌跡如圖(b)所示，系統(tǒng)不穩(wěn)定。，相軌跡如圖(c)所示，系統(tǒng)穩(wěn)定。(b)O(c)O(a)O9-10 將圖9-54所示非線性系統(tǒng)簡化成典型結(jié)構(gòu)圖形式，并寫出線性部分的傳遞函數(shù)。解：(a) 線性部分的傳遞函數(shù)(b) 線性部分的傳遞函數(shù)(c) 線性部分的傳遞函數(shù)簡化后的非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖：9-12 各系統(tǒng)的和曲線如圖9-56所示，P為的右極點(diǎn)個(gè)數(shù)，為的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)。試判斷各系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并判斷和曲線的交點(diǎn)是否為自振點(diǎn)。解：(a) P=0，a點(diǎn)和c點(diǎn)是曲線穿出包圍區(qū)進(jìn)入到穩(wěn)定

6、區(qū)的交點(diǎn)，是自振點(diǎn)。b點(diǎn)是曲線由穩(wěn)定區(qū)穿入不穩(wěn)定區(qū)（包圍區(qū)）的交點(diǎn)，不是自振點(diǎn)。(b) P=0，a點(diǎn)是曲線由不穩(wěn)定區(qū)（包圍區(qū)）穿出到穩(wěn)定區(qū)的交點(diǎn)，是自振點(diǎn)。(c) P=0，a點(diǎn)是曲線由不穩(wěn)定區(qū)（包圍區(qū)）穿出到穩(wěn)定區(qū)的交點(diǎn)，是自振點(diǎn)。(d) P=0，b點(diǎn)是曲線穿出包圍區(qū)進(jìn)入到穩(wěn)定區(qū)的交點(diǎn)，是自振點(diǎn)。a點(diǎn)是曲線由穩(wěn)定區(qū)穿入不穩(wěn)定區(qū)（包圍區(qū)）的交點(diǎn)，不是自振點(diǎn)。(e) P=2，曲線被曲線反時(shí)針包圍次的區(qū)域?yàn)榉€(wěn)定區(qū)。 曲線由穩(wěn)定區(qū)穿出進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，交點(diǎn)a的等幅振蕩無法持續(xù)，a不是自振點(diǎn)。(f) P=1，曲線被曲線反時(shí)針包圍次的區(qū)域?yàn)榉€(wěn)定區(qū)。 曲線由不穩(wěn)定區(qū)穿入穩(wěn)定區(qū)，交點(diǎn)a是自振點(diǎn)。9-13 非線性系統(tǒng)如圖9-57所示，試確定系統(tǒng)的自振振幅和頻率。解：理想繼電特性的描述函數(shù)線性部分的頻率特性曲線與曲線如圖所示。在曲線與曲線的交點(diǎn)處即 由上式兩端的實(shí)部和虛部分別相等可解得頻率，振幅A=20/2=2.12 。自激振蕩的振幅為2.12，頻率為，即在非線性環(huán)節(jié)的輸入端存在近似為的持續(xù)振蕩。 9-14 非線性系統(tǒng)如圖9-58所示，試確定系統(tǒng)的自振振幅和頻率。解：典型化后的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 。當(dāng)