高等代數(shù)最重要的基本概念匯總

1、第 一 章基 本 概 念數(shù)環(huán)和數(shù)域定義1設(shè)S是復(fù)數(shù)集C的一個非空子集，如果對于S中任意兩個數(shù)a、b來說，a+b,a-b,ab 都在S內(nèi)，那么稱S是一個數(shù)環(huán)。定義2 設(shè)F是一個數(shù)環(huán)。如果(i) F是一個不等于零的數(shù)；(ii )如果a、b F,并且b 0, - F ,那么就稱F是一個數(shù)域。b定理任何數(shù)域都包含有理數(shù)域，有理數(shù)域是最小的數(shù)域。第二章多項式一元多項式的定義和運算定義1數(shù)環(huán)R上的一個文字的多項式或一元多項式指的是形式表達式2na0 4x a?xL ax ,項式1中，a0叫作零次項或常數(shù)項,是非負整數(shù)而a0,a1,a2,L an都是R中的數(shù)。ai xi叫作一次項，一般，ai叫作i次項的系數(shù)

2、。定義2若是數(shù)環(huán)R上兩個一元多項式 f x和g x有完全相同的項，或者只差一些系數(shù) 為零的項，那么就說 f x和g x就說是相等f x g x定義3anxn叫作多項式a0axa?*2Lanxn,an0的最高次項，非負整數(shù)n叫作多項式a0 4x a2x2 L anxn, an 0的次數(shù)。0, g x 0,那么定理2.1.1 設(shè)f x和g x是數(shù)環(huán)R上兩個多項式，并且 f xi 當(dāng) f x g x 0時,0f x g x max f xii 0 f x g x 0 f x 0 g x o多項式的加法和乘法滿足以下運算規(guī)則：1)加法交換律：f x g x g x fx；2) 加法結(jié)合律：fx gx

3、hx fx gx hx ；3)乘法交換律：fxgx gxf x；4) 乘法結(jié)合律：f xgx hx f x gxhx ；5) 乘法對加法的分配律：fx gx hx f xgx f xhx。推論 2.1.1 f x g x 0 當(dāng)且僅當(dāng) f x 和 g x 中至少有一個是零多項式推論 2.1.2 若 f x g x f x h x ，且 f x 0 ，那么 g x h x多項式的整除性設(shè)F 是一個數(shù)域。 fx是 F 上一元多項式環(huán)定義 令f x 和 g x是數(shù)域 F 上多項式環(huán)f x 的兩個多項式。 如果存在 f x 的多項式h x ，使 g x f x h x ，我們說， f x 整除(能除盡

4、) g x 。多項式整除的一些基本性質(zhì)：1) 如果fxgx，g xh x ，那么 f xhx2) 如果hxfx，h xg x ，那么h xfxg x3) 如果 h x f x ，那么對于 f x 中的任意多項式 g x 來說， h x f x g x4)果h xfi x ,i 1,2,3,L ,t,那么對于 f x 中任意 gi x i 1,2,3,L ,t,h x f x 1g1 x f x 2g2 x L f x i gi x5) 次多項式，也就是F 中不等于零的數(shù)，整除任意多項式。6) 每一個多項式f x 都能被 cf x 整除，這里c 是 F 中任意一個不等于零的數(shù)。7) 如果 f x

5、 g x ， g x f x ，那么 f x cg x ，這里 c 是 F 中的一個不等于零的數(shù)設(shè) f x ， g x 是兩個任意的多項式，并且 g x 0 。那么 f x 可以寫成以下形式fxg x q x r x ，這里 r x 0 ，或者 r x 的次數(shù)小于g x 的次數(shù)。0。那么在f x中定理2.2.1 設(shè)f X和gX是f X的任意兩個多項式，并且g X可以找到多項式q x和r x ,使(3)這里或者r x 0 ,或者r x的次數(shù)小于 g x的次數(shù)，滿足以上條件的多項式q x和r x只有一對。設(shè)數(shù)域F含有數(shù)域F而f x和g x是f x的兩個多項式，如果在f x里g x不能 整除f x

6、,那么在F x里g x也不能整除f x 。1) 定義1假定h x是f x和g x的任一公因式，那么由rk 3 x rk 2 x qk 1 x 鼠 1 x ,2) rk 2 x rk 1 x qk x rk x ,rk 1 x r x qk 1 x3)中的第一個等式，h x也一定能整除r1 x。同理，由第二個等式，h x也一定能整除r2 x。如此逐步推下去，最后得出 h x能整除rk x ,這樣，rk x的確是f x和g x的一個最大公因式，這種求最大公因式的方法叫做展轉(zhuǎn)相除法。4) 定義2 設(shè)以gx 乂2除£乂 anxnan 1xn 1L a1xa0時，所得的商q x bn 1xn

7、1bn 2xn 2 Lbx bo 及余 式 r xc0, 比 較兩端同次哥的系數(shù)得bn 1 an ,bn 2an 1bea1 ab1 ,c0 a0 ab0 , 這種計算可以排成以下格式anan 1an 2Laiaoa)abn 1)abn 2 L )ab)abobn 1anbn 2bn 3Lboco5)用這種方法求商和余式(的系數(shù))稱為綜合除法。6) 多項式的最大公因式7) 設(shè)F是一個數(shù)域。f x是F上一元多項式環(huán)8）定義1令設(shè)f x和g x是f x的任意兩個多項式，若是f x的一個多項式h x 同時整除f x和g x ,那么h x叫作f x與g x的一個公因式。9） 定義2設(shè)d x是多項式f

8、x與g x的一個公因式。若是d x能被f x與g x 的每一個公因式整除，那么 d x叫作f x與g x的一個最大公因式。10）定理2.3.1 f x的任意兩個多項式 f x與g x 一定有最大公因式。除一個零次因 式外，f x與g x的最大公因式是唯一確定的，這就說，若 dx是fx與gx 的一個最大公因式，那么數(shù)域F的任何一個不為零的數(shù) c與d x的乘積cd x 也是f x與g x的一個最大公因式； 而且當(dāng)f x與g x不完全為零時，只有這樣的乘 積才是f x與g x的最大公因式。11）從數(shù)域F過度渡到數(shù)域 F時，f x與g x的最大公因式本質(zhì)上沒有改變。12）定理 若d x是f x的多項式

9、f x與g x的最大公因式，那么在 f x里可以求 得多項式u x和v x ,使以下等式成立：13）（2 ） f x u x g x v x =d x。14）注意：定理的逆命題不成立。例如，令 f x x, g x =x+1 ,那么以下等式成立： x x 2x+1 x-12x2 2x 1但2x2 2x 1顯然不是 f x與g x的最大公因。15）定義3如果f x的兩個多項式除零次多項式外不在有其他的公因式，我們就說，這 兩個多項式互素。16）定理 f x的兩個多項式f x與g x互素的充要條件是：在 f x中可以求得多 項式u x和v x，使17） （4）f x u x g x v x =11

10、8）從這個定理我們可以推出關(guān)于互素多項式的以下重要事實：19）若多項式f x與g x都與多項式h x互素，那么乘積 f x g x也與h x互素。20）若多項式h x整除多項式f x與g x的乘積，而h x與f x互素，那么h x 一定整除 g x 。21） 若 多 項 式 g x 與 h x 都 整 除多 項式 f x ， 而 g x 與 h x 互素 ， 那 么 乘 積g x h x 也整除 f x最大公因式的定義可以推廣到 n n 2 個多項式的情形：若是多項式h x 整除多多項式f1 x , f2 x ,L , fn x 中的每一個，那么 h x 叫作這 n個多項式的一個公因式。若是f

11、1 x , f2 x ,L , fn x 的公因式 d x 能被這 n 個多項式的每一個公因式整除，那么 d x 叫作 f1 x , f2 x ,L , fn x 的一個最大公因式。若d0 x 是多項式f1 x , f2 x ,L , fn 1 x 的一個最大公因式，那么d0 x 是多項式fn x 的最大公因式也是多項式f1 x , f2 x ,L , fn 1 x 的最大公因式。若多項式f1 x , f2 x ,L , fn x 除零次多項式外，沒有其他的公因式，就是說這一組多項式互素。2.4 多項式的分解定義 1 f x 的任何一個多項式f x ，那么 F 的任何不為零的元素c 都是 f

12、x 的因式，另一方面， c 與 f x 的乘積 c f x 也總是 f x 的因式。 我們把 f x 這樣的因式叫作它的平凡因式，定義 2 令 f x 是 f x 的一個次數(shù)大于零的多項式。若是f x 在 f x 只有平凡因式，f x 說是在數(shù)域 F 上（或在 f x 中） 不可約。 若 f x 除平凡因式外， 在 f x 中還有其他因式， f x 就說是在 F 上（或在 f x 中）可約。如果f x的一個n （n>0）次多項式能夠分解成f x中兩個次數(shù)小于n的多項式g x 與 h x 的乘積：（1）f x g x h x ，那么 f x 在 F 上可約。若是 f x 在 f x 中的任

13、一個形如（ 1 ）的分解式總含有一個零次因式，那么 f x 在 F 上不可約。不可約多項式的一些重要性質(zhì)：1) 如果多項式p x 不可約， 那么 F 中任一不為零的元素c 與 p x 的乘積 c p x 也不可約。2) 設(shè) p x 是一個不可約多項式而f x 是一個任意多項式，那么或者 p x 與 f x 互素，或者 p x 整除 f x 。3) 如果多項式f x 與 g x 的乘積能被不可約多項式p x 整除，那么至少有一個因式被 整除。4) 如果多項式f1 x , f2 x ,L , fs x s 2 的乘積能被不可約多項式p x 整除，那么至少有一個因式被 p x 整除。定理2.4.1

14、fx 的每一個 n(n>0)次多項式 f x 都可以分解成f x 的不可約多項式的乘積。定理2.4.2令f x 是f x 的一個次數(shù)大于零的多項式，并且f xp1xp2x Lprxq1xq2x L qs x此處ci 與qj x i 1,2,L ,r, j 1,2, L ,s 都是 f x 的不可約多項式， 那么r s ， 并且適當(dāng)調(diào)換qj x 的次序后可使qj xci x pi x ,i 1,2, L , r,此處ci x 是 F 上的不為零的元素。換句話說，如果不計零次因式的差異，多項式f x 分解成不可約因式乘積的分解式是唯一的。形如k1k2ktf xap1 x p2 x L pt

15、x 的多項式叫作多項f x 的典型分解式，每一個典型分解式都是唯一確定的。重因式定義 f x 的多項式nf xa0a1xa2x2L anx的導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)指的是f x 的多項式 f xa12a2x Lnan xn 1f x 的導(dǎo)數(shù)叫作f x 的一階導(dǎo)數(shù) f x 的導(dǎo)數(shù)叫作f x 的二階導(dǎo)數(shù)， 記作 f x三階導(dǎo)數(shù)，記作f x ，等等。 f x 的 k 階導(dǎo)數(shù)也記作f k x 。關(guān)于和與積的導(dǎo)數(shù)公式仍然成立：1)fx gxfx g2)fxgxxgxgxfx3)kf x kfk1x fx定理2.5.1設(shè) p x 是多項式 f x 的一個 k k1 重因式。 那么 p x 是 f x 的導(dǎo)數(shù)的一個k

16、-1 重因式。定理 2.5.2 多項式 f x 沒有重因式的充要條件是f x 與它的導(dǎo)數(shù)f x 互素。多項式函數(shù) 多項式的根設(shè)給定了1 R 的一個多項式2nxa0a1xa2xLanx和一個數(shù) cR, 那么在 fx 的表示式里，把x 用 c 來代替，就得到 R 的一個數(shù)a02na1c a2cL anc這個數(shù)叫作當(dāng) x c 時，f x 的值，并且用 f c 來表示。對于R 上的每一個數(shù)c ，就有R中唯一確定的數(shù)f C與它對應(yīng)。就得到 R與R的一個影射。這個影射是由多項式fx所確定的，叫作R上的一個多項式函數(shù)。定理2.6.1 設(shè)fx Rx,c R,用x c除f x所得的余式等于當(dāng)x c時f x的值f

17、 c定義 令 f x 是 R x 的一個多項式而c 是 R 中的一個數(shù)，若是當(dāng) x c 時 f x 的值f c 0 ，那么 c 叫作 f x 在數(shù)環(huán) R 中的一個根。定理 2.6.2 數(shù) c 是 f x 的根的充要條件是f x 能被 x c 整除。定理2.6.3 設(shè)x c是R x中一個n 0次多項式。那么 f x在R中至多有n個不同的根。定理2.6.4 設(shè)f x與g x是R x的兩個多項式，它們的次數(shù)都不大于no若是以R中n+1個或更多不同的數(shù)來代替x時，每次所得f x與g x的值都相等，那么f x =g x 。R上多項式函定理2.6.5 R X的兩個多項式f X與g x相等，當(dāng)且僅當(dāng)她們所定

18、義的數(shù)相等。n 1 bi xa1 L x ai 1x an 1i 1 aia1 Laiai 1aiai 1 L a an 1這個公式叫作拉格朗日（Lagrange）插值公式。復(fù)數(shù)和實數(shù)域上多項式定理2.7.1（代數(shù)基本定理）任彳si n n 0次多項式在復(fù)數(shù)域中至少有一個根。定理2.7.2任彳sj n n 0次多項式在復(fù)數(shù)域中有n個根（按重根重數(shù)計算）復(fù)數(shù)域C上任一 n n 0次多項式可以在 C x里分解為一次因式的乘積。負數(shù)域上任次大于1的多項式都是可約的。定理2.7.6 若實數(shù)多項式f x有一個非實的復(fù)數(shù)根，那么的共軻數(shù)一也是f x的根，并且與一有同一重數(shù)。換句話說，實系數(shù)多項式的非實的非

19、實的復(fù)數(shù)根兩兩成對。定理2.7.4 實數(shù)域上不可約多項式，除一次多項式外，只含非實共軻復(fù)數(shù)根的二次多項式。定理2.7.5每一個次數(shù)大于0的實系數(shù)多項式都可以分解為實系數(shù)的一次和二次不可約因式的乘積。有理數(shù)域上多項式令f x是整數(shù)環(huán)Z上的一個n 0次多項式。如果存在 g x ,h x Z x ,它們的次數(shù)都小于n,使得f x g x h x ,（1）那么f x、g x、h x自然可以看成有理數(shù)域 Q上的多項式。等式（1）表明，f x在Q x中是可約的。定義若是一個整系數(shù)多項式 f x的系數(shù)互素，那么 f x叫作一個原本多項式。引理2.8.1兩個原本多項式的乘積仍然是一個原本多項式。定理2.8.1

20、若是一個整系數(shù) n 0次多項式f x在有理數(shù)域上可約，那么f x總可以分解成次數(shù)都小于 n的兩個整系數(shù)多項式的乘積。定理2.8.2 （艾森斯坦（日senstein ）判別法）設(shè)2na°a1xa?xLa“x是一個整系數(shù)多項式。若是能夠找到一個素數(shù)p,使得(i )最高次項系數(shù)an不能被p整除；(ii )其余各項都能被 p整除；(iii )常數(shù)項ao不能被p2整除， 那么多項式f x在有理數(shù)域上不可約。有理數(shù)域上任意次的不可約多項式都存在。定理2.8.3 設(shè)f xa0xn axn 1 Lan是一個整系數(shù)多項式。若是有理數(shù)u是f xv的一個根，這里u和v是互素的整數(shù)，那么(i) v整除f x

21、的最高次項系數(shù)a0,而u整除f x的常數(shù)項an；(ii ) f x x u q x ,這里q x是一個整系數(shù)多項式。 v多元多項式在這一節(jié)里，R總表示一個數(shù)環(huán)，且1 R人,k1 k2 kn_令xi,x2,x3,L,xn是n個文字，形如axix? Lxn的表示式。其中aR,k1，k2,Lkn是kn k1 ki 1L xnax1L xi 1 xiki 1.kn1 Lxn0非負整數(shù)，叫作 R上x1,x2,L ,xn的一個單項式。數(shù) a叫作這個單項式的系數(shù)，如果某一kik1 ki 10 ki 1ki0 ,那么xi可以不寫，約定ax1 L xi 1 x xi 1因此，mmn個文字的單項式總可以看成n個文

22、字的單項式。特別，當(dāng)k1 k2 k3 L kn 0 時，我們有 ax10x0L x0 a R。形式表達式k11 k12 , k1n a1xx2L xnk21 k22, k2n a2x1x2 L xnks1 ks2 ksnasx1 x2 L xn ,ai R,kij 是非負整數(shù)i1,2,3,L ,s;j1,2,L ,n ,叫作R上n個文字x),x2,x3,L ,xn的一個多項式,或簡稱R上一個n元多項式。我們通常用符號f x1,x2,L ,xn,g x1,x2,L , xn 等來表示R上n個文字x1,x2, x3,L , xn 的多項式。定理2.9.1 數(shù)環(huán)R上的兩個n元多項式f x1,x2,L

23、 ,xn與g x1,x2,L , xn的乘積是首項等于這兩個多項式首項的乘積。特別，兩個非零多項式的乘積也不等于零。定理2.9.2數(shù)環(huán)R上兩個不等于零的n元多項式的乘積的次數(shù)等于這兩個多項式次數(shù)的和。定 理 2.9.3 設(shè) f x1, x2 ,L ,xn 是 數(shù) 環(huán) R 上 的 一 個 n 元 多 項 式 ， 如 果 對 于 任 意C2,L CnRn都有 f Ci,C2,L Cn0,那么 f x1，x2,L ,Xn0推論291設(shè)fx1,x2,L,xn與gx1,x2,L,xn是數(shù)環(huán)R上n元多項式，如果對于任意C1,C2,L CnRn都 有 fC1 ,C2,LCngC1,C2,LCn， 那 么fx

24、1, x2,L, xngC1, C2,LCn. 換 句 話 說 ， 如 果 由 fx1,x2,L,xn與g xi,x2,L ,xn確定的多項式函數(shù) f與g相等，那么這兩個多項式相等。對稱多項式定義 1 設(shè) f x1, x2 ,L ,xn 是數(shù)環(huán) R 上的一個 n 元多項式，如果對于這n 個文字x1, x2,x3,L ,xn 的指標(biāo)集1,2,L ,n 施行任意一個置換后， f x1,x2,L ,xn都不改變，那么就稱f x1,x2,L ,xn是R上一個n元對稱多項式。定義2 （1）n 1x1x2Lxn 1x1x2Lxn2xnLx2x3Lxn,nx1x2 Lxn ， 這里 表示 x1, x2,x3

25、,L , xn 中 k 個所作的一切可能乘積的和，這樣的 n 個多項式顯然都是n元對稱多項式。我們稱這n個多項式1, 2,L , n為n元對等對稱多項 式。引理2.10.1 設(shè)f x1,x2,L ,xn ahi2L inx1ilx22L *是數(shù)環(huán)R上一個n元對稱多項式，以i 代 替 xi ， 1 i n ， 得 到 關(guān) 于 1 , 2 ,L , n 的 一 個 多 項 式f 1, 2,L , nai1i2L in 1i1 2i2Lnin 。 如果 f 1, 2,L , n 0， 那么一切系數(shù)ai1i2L in0 ，即 f x1, x2,L , xn0定理 2.10.1 數(shù)環(huán) R 上一 n 元對

26、稱多項式f x1, x2,L , xn 都可以表示成初等對稱多項式1, 2,L , n的系數(shù)在R中的多項式，并且這種表示法是唯一的。推 2.10.1 設(shè) f x 是數(shù)域 F 上的一個一元n 次多項式，它的最高次項系數(shù)是1。令1, 2,L , n 是 f x 是復(fù)數(shù)域內(nèi) 的全 部根 （按重根重數(shù) 計算） 。 那么1, 2,L , n的每一個系數(shù)取自 F的對稱多項式都是 f X的系數(shù)的多項式（它的系數(shù)在F內(nèi)）因而是F的一個數(shù)。第三章行列式排列定義1 n個數(shù)碼1, 2,，n的一個排列指的是由這 n個數(shù)碼組成的一個有序組，叫做數(shù)碼 的排列。定義2 一般的在一個排列里，如果某一個較大的數(shù)碼排在一個較小的

27、數(shù)碼前面，就說這兩 個數(shù)碼構(gòu)成一個反序，在一個排列里出現(xiàn)的反序總數(shù)的總和叫做這個排列的反 序數(shù)（逆序數(shù)）。一個排列的逆序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)，有偶數(shù)個逆序數(shù)的排列叫作一個偶排列；有奇數(shù)個逆序數(shù)的排列叫作一個奇排列。定義3如果把這個排列里任意兩個數(shù)碼i與j交換一下，而其余的數(shù)碼保持不動， 那么就得到一個新的排列，對于排列所施行的這樣一個變換叫作一個對換，并且用符號i,j 來表示。定理3.2.1 設(shè)iii2L in和jij2L jn是n個數(shù)碼的任意兩個排列， 那么 總可以通過一系列對換由ijL in得出jjL jn。定理3.2.2每一個對換都改變排列的奇偶性。定理3.2.3 n 2時，n個數(shù)碼

28、的奇排列與偶排列的個數(shù)相等，各為口個。2n階行列式我們用符號j1j2L jn來表示排列j/zL jn的逆序數(shù)。定義1用符號a11&2L&na21a22La2 nMMMan1an2Lann表示的n階行列式指的是n項的代數(shù)和，這些項是一切可能取自a11a12La1na21a22La2 nMMMan1an2Lann的不同的行與不同的列上的n個元素的 乘積。項a1j1a2j2 L anjn的符號為jl j2L jn，也就是說，當(dāng)jijzL jn是偶排列時，這一項的符號為正，當(dāng)j1j2L jn是奇排列時，這一項的符號為負。定義2 n階行列式aiia12Lainna2ia22La2nDMM

29、Manian2Lann如果把D的行變?yōu)榱校偷玫揭粋€新的行列式aiia21 LaniDa12a22Lan2MMMaina2nLannD叫作D的轉(zhuǎn)置行列式。引理3.3.1 從n階行列式的第ii2,L,in行和ji, j2,L , jn列取出的元素作積aii jiai2 j2 L ainjn，這里 ii2,L 小和 ji, jz,L , jn 都是 1, 2,，n 這 n 個數(shù)碼的排列，那么這一項在行列式中的符號是 s ti ,siii2L in ,tjij2L jn命題3.3.i行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。命題3.3.2 交換一個行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號。推論3.3.i 如果一個行

30、列式有兩行（列）完全相同，那么這個行列式等于零。命題3.3.3 把一個行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一個數(shù)k,等于以數(shù)k乘以這個行列式。推論3.3.2 一個行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符號外邊。推論3.3.3 如果一個行列式中有一行（列）的元素全是零，那么這個行列式等于零。推論3.3.4 如果一個行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，那么這個行列式等于零。命題3.3.4設(shè)行列式 D的第i行的所有元素都可以表示成兩項的和：aiiMbiiCiiManiai2LMbi 2ci 2LMan2LainMbincinMann那么D等于兩個行列式口與口2的和，其中D1的第i行的

31、元素是bii,bi2,L bin , D2的第i行元素是c1,q2,L ,Gn,而Di與D2的其他各行都和D的一樣。命題3.3.5把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上，行列式不變。子式和代數(shù)余子式行列式的依行列展開定義1在一個n階行列式D中任意取定 k行和k歹U。位于這些行列式的相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫作行列式D的一個k階子式。aiiMaiiManiainMainMann定義2 n n 1階行列式a1jLMa。LManjL的某一元素aj的余子式Mj指的是在D中劃去aj所在的行和列后所余下的n i階子式。i i j后，叫作元素兩的代數(shù)余子定義3 n階行列式

32、D的元素aj的余子式Mj附以符號式。元素aj的代數(shù)余子式用符號 Aj來表示：Ai i j Mi jO定埋3.4.i若在一個n階行列式anLaijLainMMMDaii LajLainMMMani LanjLann中，第i行（或第j歹U）的元素除aj都是零，那么這個行列式等于aj與它的代數(shù)余子式 Aj定理3.4.2的乘積：D ajAij行列式D等于它任意一行（列）的所有元素與它們對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和。 換句話說，行列式有依行或依列展開式D aiAii 22 A2 L ainAin i i,2, L , nD ajiAjiaj2Aj2 LajnAjnj i,2,L ,n定理3.4.3 行列式a

33、iia12aiiMajiManiai2LMaj2 L Man2LainMainMajnMann的某一行（或列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于 零。換句話說，aA a2A2 La.An0 i j ,aisAita2sA2tLansAnt0 s3.5克拉默法則設(shè)給定了一個含有 n個未知量n個方程的線性方程組aii、ai2X2ainxnbia2ixia22x2L La2n xnb2anixian2x2ann xnbn利用i的系數(shù)可以構(gòu)成一個n階行列式aiiai2aina2iMa22Ma2nMan2這個行列式叫作方程組i的行列式。定理3.5.i（克拉默Cramer）法則）一個

34、含有n個未知量的n個方程的線性方程組i當(dāng)它的行列式D 0時，有且僅有一個解 x Di,x2 D2,L ,xn Dn,此處 D 2 D n D的Dj是把行列式的第j列的元素換以方程組的常數(shù)項bi,b2,L ,bn而得到的n階行列式。第四章線性方程組消元法定義我們對線性方程組施行這三個初等變換:（i） 交換兩個方程的位置；（ii） 用一個不等于零的數(shù)乘以某個方程；（iii） 用一個數(shù)乘以某個方程后加到另一個方程；叫作線性方程組的初等變換。定理4.1.1初等變換把一個線性方程組變?yōu)榕c它同解的線性方程組。定義1由st個數(shù)Gj排成的一個s行和t列的表C11C12LGnc21c22Lc2nMM Mcn1c

35、n2Lcnn叫作一個s行t歹U （或s t）矩陣。Cj叫作這個矩陣的元素。定義2 矩陣的行（或列）初等變換指的是對一個矩陣施行的下列變換:（i ）交換矩陣的兩行（或列）（ii ）用一個不等于零的數(shù)乘以矩陣的某一行（列），即用一個不等于零的數(shù)乘以矩陣的某一行（列）的每一個元素；（iii ）用某一個數(shù)乘以矩陣的某一行（列）后加到另一行（列）,即用某一數(shù)乘以定理矩陣的某一行（列）的每一個元素后加到另一行4.1.2 設(shè)A是一個m行n列的矩陣：（列）的對應(yīng)元素上。a12ana21A 21Ma22Ma2nMam1am2amn通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式:0 0 0 L 0 0 L 0

36、進而化為以下形式:100L0G,r 1Lc1n010L0c2,r 1Lc2nMMMMMM000L1cr,r 1Lcrn000L00L0MMMMMM000L00L0m,rn,*表示矩陣的元素，但不同的位置上這里r 0, r*的表示的元素未必相同。矩陣的秩 線性方程組可解的判別法定義1在一個s行t列的矩陣中，任意取 k行k列k s,k t。位于這些行列式的交點處的元素（不改變元素的相對位置）所構(gòu)成的k階行列式叫作這個矩陣的一個k階子式。定義2 一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個矩陣的秩。若一個矩陣沒有不等于領(lǐng)的子式，就認為這個矩陣的秩是；零。定理4.2.1初等變換不改變矩鎮(zhèn)的秩。定理4.2

37、.2（線性方程組可解的判別法）線性方程組1有解的充要條件是：它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。定理4.2.3 設(shè)線性方程組 1的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩r,那么r等于方程組所含有未知量的個數(shù) n時，方程組有唯一解；當(dāng) r n時，方程組有無窮多個解。線性方程組的公解定理4.3.1設(shè)方程組1有解，它的系數(shù)矩陣 A和增廣矩陣,共同秩是r 0。那么可以在1的m個方程中選出r個方程，使得剩下的 m r個方程中的每一個都是這r個方程的結(jié)果，因而解方程組 1可以歸結(jié)為解這r個方程所組成的線性方程組。定義3若是一個線性方程組的常數(shù)項等于零，那么這個方程組叫作一個齊次線性方程組。定理4.3.2一個齊次線性方

38、程組有非零解的充要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個數(shù)n。推論4.3.1含有n個未知量的n個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是：方程組的系數(shù)行列式等于零。4.3.2若在一個齊次線性方程組中，方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù) n,那么這個方程組一定有非零解。結(jié)式和判別式定理 4.4.1 如果多項式m a0xm1a1xLam m 0 ，定理有公共根，或者4.4.2 設(shè)fxgxa0ma0xf,giif,gb0xnb0m1a1 xb1xn 1 Lbn n 00 ，那么它們的結(jié)式等于零。am m 0b0xn b1xn 1 Lbn n 0是復(fù)數(shù)域 C 上多項式。 R f ,g如 果 a000a

39、n g 1 g2L是它們的結(jié)式。1, 2,L , mg m;如 果 b00，1, 2,L ,定理 4.4.3零，或者這兩個多項式有公共根。定義定義 1定義 2C是 f x 的全部根n C是g x 的全部根nm m1b0mf1f2L f n 。如果多項式fx與g x的結(jié)式等于零，那么或者它們的最高次項系數(shù)都等于第五章 矩陣矩陣的運算令F是一個數(shù)域。用F元素aij 作 成 的 一 個 m 行a11a21am1a12a22am2F 上的矩陣。 A 也簡記作 aij作 Amn amn。數(shù)域 F 上的一個 m n 矩陣 Aaij 的乘積的乘積的運算叫作數(shù)與矩陣的乘法O兩個 m n 矩陣 Aaij ，a1

40、na2n為了指明 A 的行數(shù)和列數(shù)，aA指的是m n矩陣 aa。B bj的和A+B指的是m n矩陣aj bj有時也把它記求數(shù)與矩陣O求兩個矩陣的和的運算叫作矩陣的加法。注意：我們只能把行數(shù)相同， 列數(shù)相同的兩個矩陣相加。以上兩種運算的一個重要的特例是數(shù)列的運算 我們把由F的n個數(shù)所組成的數(shù)列 為且21，an叫作F上的一個n元數(shù)列。這樣的一個 n元aia2素列可以理解為一個一行n列矩陣a1,a2,L ,an ,也可以理解為一個 n行一列矩陣，Man這樣，作為以上定義的矩陣運算的特例，就得到F的數(shù)與n元數(shù)列的乘法以及兩個 n元數(shù)列的力口法： a a1,a2,L ,anaa1, aa2,L , aa

41、na1，a2,L , anbi,b2,L ,ba1，a2,L ,an bi,2,L ,bn由定義1和定義2,得出以下運算規(guī)律：A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);0+A=A;A+(-)A=0a(A+B尸 aA+Bb ;(a+b)A= aA+Ab;A(Ba)=(ab)A;這里A, B,和C表示任意m n矩陣，而a和b表示F中的任意數(shù)。利用負矩陣我們定義矩陣的減法：A-B=A+ (-B),于是有ABC A C B。定義3數(shù)域F上m n的矩陣A a 與n p矩陣B (bj)的乘積AB指的是這樣的一個m n矩陣，這個矩陣的第i行和第列i 1,2,L ,m, j 1,2,L ,p的元素Cj等

42、于A 的第i行的元素與 B的第j列的對應(yīng)元素的乘積的和：Cij aiibij ai2b2j L abnj這個乘法可以圖示如下：aii ai2 L a®aiiai2Main矩陣乘法滿足結(jié)合律:定義 我們把主對角線（從左上腳到右下腳的對角線）上元素都是n 階方陣AB） C=A（ BC）（從左上腳到右下腳的對角線）上元素都是1，而其他元素都是0的I 有以下性質(zhì)：矩陣的乘法和加法滿足分配律：矩陣的乘法和數(shù)與矩陣的乘法顯然滿足以下運算規(guī)律：n 階單位矩陣，記作 I n ， 有時簡記作I 。InAnpAnp,AmnInAmnA(B C) AB AC ， (B C)ABA CA 。a(AB)aA

43、B A aB 。定義 4 設(shè) m n 矩陣a11a12a1n把 A 的行變?yōu)榱兴玫降腁Ta21a22a2nam1am2amnm n 矩陣叫作矩陣 A 的轉(zhuǎn)置。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下規(guī)律：ATa11a12Lam1a21a22Lam2MMMa1na2nLamnTA,TABATBT,AB TBT AT ,TaAaAT.可逆矩陣矩陣乘積的行列式I，定義令A(yù)是數(shù)域F上的一個n階矩陣，若是存在F上的一個n階矩陣B,使得AB BA那么叫作一個可逆矩陣（或非奇異矩陣） ，而 B 叫作 A 的逆矩陣。定義我們把以下三種矩陣叫作初等矩陣：第i列 第j列1O1第i行；第j行O10L 11PijM O M11L01第i

44、列1O1Di kk1O11O1Di kk1O1第i列第j列1O1L kTijkO M11初等矩陣都是可逆的，并且它們的逆矩仍然是初等矩陣。引理5.2.1設(shè)對矩陣A施行一個初等變換后， 得到矩陣A,那么A可逆的充要條件是 A可逆。定理5.2.1 一個m n矩陣A總可以通過初等變換化為以下形式的一個矩陣： A I rOr,n r0m r, r 0m r ,n r這里Ir是r的單位矩陣，Ost表示s t的零矩陣，r等于A的秩。當(dāng)A等于單位矩陣I時，A可逆。因為I本身就是I的逆矩陣。當(dāng) A不等于I時，A至少有一個元素全是零的行，因而用任意一個n階矩陣B右乘入時，所得的乘積AB中也至少有一個元素全是零的行，所以 A不可逆。定理5.2.2 n階矩