八年級同步第9講：根的判別式及其應用

1、第9講根的判別式及其應用知識框架根的判別式是一元二次方程中重要的知識點，可以通過根的判別式在不解方程的情況下判斷出根的個數(shù)情況， 也可以在已知根的情況之下求出方程中所含字母的取值范圍.本節(jié)重點能運用根的判別式， 判別方程根的情況，會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的 取值范圍.9.1判別式的值與根的關(guān)系知識精講221. 一兀二次方程根的判別式：我們把b2 4ac叫做一兀二次方程 ax bx c 0(a 0)的根的判別式，通常用符號"”表示，記作=b2 4ac22. 一兀一次方程 ax bx c 0(a 0),2當=b 4ac 0時，萬程有兩個不相等的實數(shù)根；當=b2 4ac 0

2、時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當=b2 4ac 0時，方程沒有實數(shù)根.V/例題分析【例1】已知方程組 ax y 1的解是x 2,試判斷關(guān)于x的方程x2 ax b 0的根的情 x by 8y 3況.14【例2】 當m取何值時，關(guān)于x的方程x2 (m 2)x 1m2 1 0,4(1)有兩個不相等的實數(shù)根？(2)有兩個相等的實數(shù)根？ ( 3)沒有實數(shù)根?【例3】當k為何值時，關(guān)于x的方程X24kx (2 k 1)2 0有實數(shù)根？并求出這時方程的根(用含k的代數(shù)式表示).【例4】已知關(guān)于x的方程4x2 程的根.(k 2)x k 1有兩個相等的實數(shù)根？求k的值及這時方【例5】 已知關(guān)于x的方程1x2 (m

3、 2)x m2 0.4(1)有兩個不相等的實根，求 m的取值范圍；(2)有兩個相等的實根，求 m的值，并求出此時方程的根;(3)有實根，求m的最大整數(shù)值.9.2根的判別式的應用一知識精濟一1 .不解方程判定方程根的情況；2 .根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍;3 .解與根有關(guān)的證明題.例題分析【例6】 當k為何值時，方程kx2 2 k 2 x x2 k 1 k 0,（1）有兩個不相等的實數(shù)根；（2）有兩個相等的實數(shù)根；（3）沒有實數(shù)根.【例7】 已知關(guān)于x的一元二次方程 m 1x2 2mx m 3 0有實數(shù)根，求m的取值范圍.【例8】 如果m是實數(shù)，且不等式（m 1）x m 1的解集是x 1 ,

4、那么關(guān)于x的一元二次方1程mx （m 1）x -m 0的根的情況如何？49】x 的方程 m 1 x2 2mx m 3 0 總有實數(shù)根,求 m 的取值范圍10】 已知關(guān)于 x 的一元二次方程x2 2mx 3m2 8m 4 0 ( 1求證：原方程恒有兩個實數(shù)根2若方程的兩個實數(shù)根一個小于2，另一個大于5，求 m 的取值范圍11】 已知，關(guān)于x 的一元二次方程x2 2 2m 3 x 4m2 14m 8 0 ，( 1若m 0 ，求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；( 2若12 m 40 的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求m 的值12】 已知 a,b,c 是三角形的三邊長，求證：方程b2x2 (b2 c2 a2

5、)x c20 沒有實數(shù)根9.3韋達定理知識精講韋達定理：如果Xi,X2是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的兩個根，由解方程中的公式 b. b2 4ac那么可推得X1X2bc 、一，一，一,%X - .這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系. aa【例13】設Xi ,X2是方程2x2 4x3 0的兩個根，求X1 1 X2 1 的值.【例14】已知方程2X2【例15】已知方程x2 1ax 2a 1 0的兩個實根的平方和為 7-,求a的值;42k 1 x k2 2 0的兩個實根的平方和為等于 11,求k的值.【例16】設，是方程x2 2x 9 0的兩個實數(shù)根，求工。和22的值.【例17】已知關(guān)于x

6、的方程x2 2 m 2 x m2 0問：是否存在實數(shù) m ,使方程的兩個實 數(shù)根的平方和等于 56,若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.【例18】已知2 J3是方程x2 4x c 0的一個根，求另一根及 c值.【例19】(1)(3)(5)設Xi ,X2是方程2x222xi x2xix2 ；xix2x2xi【例20】6x 3 0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值.1xix2(4 )-xi1；x2x21一； xi設 xi,x2 是方程 x2 2 k 1 x k20的兩個實根，且xi2后4,求k值.9.3課堂檢測21. 已知k 0且萬程3kx 12x k 1有兩個相等的實數(shù)根，則k

7、.122 .當k不小于時，方程k 2 x6.當m 時，方程（m 1）x 2mx m 3 0有兩個頭根.7. 求證：不論m為任何實數(shù)，關(guān)于 x的方程x2 2mx 6m 10 0總有兩個不相等的實數(shù) 根.2k 1 x k 0根的情況是43 .如果關(guān)于x的方程 m 2 x2 2 m 1 x m 0只有一個實數(shù)根，試判斷關(guān)于x的方程2mx m 2 x 4 m 0的根的情況.4.已知關(guān)于x的一元二次方程 則k的值是多少？2kx 4k 3 0的兩個實根為a,b ,且滿足a b ab ,25.，試求a的值.關(guān)于x的方程ax （a 2）x 2 0只有一個根（相同根算一根）8 .已知：關(guān)于x的方程x2 2x 1

8、 k 0沒有實數(shù)根，求證：關(guān)于x的方程2x (k 2)x k 1 0 一定有兩個不相等的實數(shù)根.、一 ，229 .試證明關(guān)于x的方程(a 8a 20)x 2ax 1 0 ,無論a取何值，該方程都是一元二次方程.2210 .已知關(guān)于x的一兀二次萬程 x (2m 1)x m0有兩個實根X,x2.(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)當x|2 x22 0時，求m的值.11 .已知：關(guān)于x的一元二次方程 x2 2m 1 x m2 m 2 0 ,求證：(1)不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根(2)若方程的兩實數(shù)根 ox2滿足x x2 1 m上，求m的值m 112 .已知關(guān)于x的一元二次方程xm取什么值時

9、，方程 m 2 x2 2x 1 0有兩個不相等的實數(shù)根?2 已知關(guān)于x的方程2x (k求方程的根. m 1 x m 2 0,(1)若方程有兩個相等的實數(shù)根，求 m的值；(2)若方程兩實數(shù)根之積等于m2 9m 2 ,求Jm6的值.29)x (k 3k 4) 0有兩個相等的實數(shù)根，求k的值，并9,4課后作業(yè)3.已知關(guān)于x的方程x2 2(a 1)x (a24 a 5) 0有實數(shù)根，求正整數(shù)a的值，并求方程的根.4.若一元二次方程2x（kx 4）x2 6 0 無實數(shù)根，求k 的最小整數(shù)值5. 若 a 為任意實數(shù)，試判斷關(guān)于 x 的方程 x2 2ax a21 的根的情況6. 已知關(guān)于 x 的方程 x2 2k 1 x k2 0 的兩個實數(shù)根是x1， x2 ，且x1求實數(shù) k 的值及原方程的根