弧長的公式、扇形面積公式、圓錐、圓柱、弓形面公式及其應(yīng)用、四棱臺體積公式

1、.【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：弧長及扇形的面積圓錐的側(cè)面積 二. 教學(xué)要求1、了解弧長計算公式及扇形面積計算公式，并會運(yùn)用公式解決具體問題。2、了解圓錐的側(cè)面積公式，并會應(yīng)用公式解決問題。 三. 重點及難點重點：1、弧長的公式、扇形面積公式及其應(yīng)用。2、圓錐的側(cè)面積展開圖及圓錐的側(cè)面積、全面積的計算。難點：1、弧長公式、扇形面積公式的推導(dǎo)。2、圓錐的側(cè)面積、全面積的計算。 知識要點知識點1、弧長公式因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C2R，所以1°的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公

2、式：，說明：（1）在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R10，計算20°的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。（2）在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量。 知識點2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因為圓心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計算公式是。又因為扇形的弧長，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個計算公式：。&

3、#160;知識點3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對的?。ò踊?、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長弦長弧長（3）弓形的面積如圖所示，每個圓中的陰影部分的面積都是一個弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和AOB的面積計算出來，就可以得到弓形AmB的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示，  當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，例：如圖所示，O的半徑為2，ABC45°，則圖中陰影部分的面積是 （        ）（結(jié)果用表示）分析

4、：由圖可知由圓周角定理可知ABCAOC，所以AOC2ABC90°，所以O(shè)AC是直角三角形，所以，所以注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式。 圓周長弧長圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積 知識點4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間

5、的關(guān)系?；蛑R點4、如果用r來表示底面半徑，l表示圓錐的母線，n°表示圓錐側(cè)面扇形的圓心角的度數(shù)，則底面周長為2r,所以扇形的弧線長度也為2r，而弧線長度（扇形所占圓周長）就等于n°360°.扇形所占圓是以以母線l為半徑的，所以它的周長為2r，得出n360 = 2r2l = rlr l就是弧線長度與扇形所占圓周長之比，也就是扇形與扇形所占圓的面積之比。所以，只需求出扇形所占圓的面積再乘以rl便可以得出扇形的面積。而扇形所占圓的面積為l2，即可得出：S側(cè) = l2×rl= rl向前再推一步，又得出扇形面積的計算公式： S側(cè) =rl =1/2×2r

6、×l = 1/2×底面弧線長× 母線長 由此推導(dǎo)出圓錐側(cè)面扇形面積等于rl ，等于314乘以底面半徑再乘以母線即可。圓錐的表面積為側(cè)面積加底面積，又為： S表 = S側(cè)S底 =rlr2 =rlr×r =r(lr)知識點5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識小結(jié)：圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過程 由一個直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如RtSOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。由一個矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的

7、組成一個底面和一個側(cè)面兩個底面和一個側(cè)面?zhèn)让嬲归_圖的特征扇形矩形面積計算方法 【典型例題】例1. （2003.遼寧）如圖所示，在同心圓中，兩圓的半徑分別為2，1，AOB120°，則陰影部分的面積是（     ）A.        B.         C.         D. 分析：陰影部分所在的兩個扇形的

8、圓心角為，所以故答案為：B. 例2. （2004·陜西）如圖所示，點C在以AB為直徑的半圓上，連接AC，BC，AB10厘米，tanBAC，求陰影部分的面積。分析：本題考查的知識點有：（1）直徑所對圓周角為90°，（2）解直角三角形的知識（3）組合圖形面積的計算。解：因為AB為直徑，所以ACB90°， 在RtABC中，AB10， tanBAC，而tanBAC設(shè)BC3k，AC4k，（k不為0，且為正數(shù)）由勾股定理得所以BC6，AC8，而所以 例3. （2003.福州）如圖所示，已知扇形AOB的圓心角為直角，正方形OCDE內(nèi)接于扇形AOB，點C，E，

9、D分別在OA，OB及AB弧上，過點A作AFED交ED的延長線于F，垂足為F，如果正方形的邊長為1，那么陰影部分的面積為（    ）分析：連接OD，由正方形性質(zhì)可知EODDOC45°，在RtOED中，OD，因為正方形的邊長為1，所以O(shè)EDE1，所以，設(shè)兩部分陰影的面積中的一部分為M，另一部分為N，則，陰影部分面積可求，但這種方法較麻煩，用割補(bǔ)法解此題較為簡單，設(shè)一部分空白面積為P，因為BODDOC，所以所以MP，所以答案：。 例4. 如圖所示，直角梯形ABCD中，B90°，ADBC，AB2，BC7，AD3，以BC為軸把直角梯形ABCD旋

10、轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積。分析：將直角梯形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是由相同底面的圓柱和圓錐組成的，所得幾何體的表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和底面積三者之和。解：作DHBC于H，所以DHAB2CHBCBHBCAD734在CDH中，所以 例5. （2003.寧波）已知扇形的圓心角為120°，面積為300平方厘米（1）求扇形的弧長。（2）若把此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積是多少？分析：（1）由扇形面積公式，可得扇形半徑R，扇形的弧長可由弧長公式求得。（2）由此扇形卷成的圓錐如圖所示，這個圓錐的軸截面為等腰三角形ABC，（1）問中求得的弧長是這個圓錐

11、的底面圓周長，而圓周長公式為C2r，底面圓半徑r即CD的長可求，圓錐的高AD可在RtADC中求得，所以可求。解：（1）設(shè)扇形的半徑為R，由，得，解得R30.所以扇形的弧長（厘米）。（2）如圖所示，在等腰三角形ABC中，ABACR30，BC2r，底面圓周長C2r，因為底面圓周長即為扇形的弧長，所以在RtADC中，高AD所以軸截面面積（平方厘米）。 【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一、選擇題1. 若一個扇形的圓心角是45°，面積為2，則這個扇形的半徑是（     ）A. 4     B. 2

12、60; C. 47     D. 22. 扇形的圓心角是60°，則扇形的面積是所在圖面積的（       ）    A.        B.       C.         D. 3. 扇形的面積等于其半徑的平方，則扇形的圓心角是（ &#

13、160;  ）    A. 90°      B.   C.      D.180°4. 兩同心圓的圓心是O，大圓的半徑是以O(shè)A，OB分別交小圓于點M， N已知大圓半徑是小圓半徑的3倍，則扇形OAB的面積是扇形OMN的面積的（    ）A. 2倍    B. 3倍    C. 6倍    

14、   D. 9倍5. 半圓O的直徑為6cm，BAC30°，則陰影部分的面積是（    ）     A.    B.    C.     D.6 用一個半徑長為 6cm 的半圓圍成一個圓錐的側(cè)面，則此圓錐的底面半徑為（    ）A. 2cm         B. 3cm  

15、60;        C. 4cm           D. 6cm7. 圓錐的全面積和側(cè)面積之比是3 ：2，這個圓錐的軸截面的頂角是（ ）A. 30°          B. 60°          

16、60;  C. 90°            D. 120°8. 已知兩個母線相等的圓錐的側(cè)面展開圖恰好能拼成一個圓，且它們的側(cè)面積之比為12，則它們的高之比為（     ）    A. 2：1      B. 3：2          C. 2：&

17、#160;     D. 5：9. 如圖，在ABC中，C Rt，AC > BC，若以AC為底面圓半徑，BC為高的圓錐的側(cè)面積為S1，以BC為底面圓半徑，AC為高的圓錐的側(cè)面積為S2，則（    ）A. S1S2    B. S1 > S2    C. S1 < S2   D. S1、S2的大小關(guān)系不確定 二、填空題1. 扇形的弧長是12cm，其圓心角是90°，則扇形的半徑是   

18、       cm ，扇形的面積是          cm2.2. 扇形的半徑是一個圓的半徑的3倍，且扇形面積等于圓面積，則扇形的圓心角是      .3. 已知扇形面積是12cm2，半徑為8cm，則扇形周長為        .4 在ABC中，AB3，AC4，A90°，把RtABC繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，其全面

19、積為S1；把RtABC繞AB旋轉(zhuǎn)一周得到另一個圓錐，其全面積為S2，則S1： S2      。5. 一個圓柱形容器的底面直徑為2cm，要用一塊圓心角為240°的扇形鐵板做一個圓錐形的蓋子，做成的蓋子要能蓋住圓柱形容器，這個扇形的半徑至少要有        cm。6. 如圖，扇形AOB的圓心角為60°，半徑為6cm，C，D分別是的三等分點，則陰影部分的面積是        。7. 如圖正

20、方形的邊長為2，分別以正方形的兩個對角頂點為圓心，以2為半徑畫弧，則陰影部分面積為        。         三、計算題1. 如圖，在RtABC中，ACBC ，以A為圓心畫弧，交AB于點D，交AC延長線于點F，交BC于點E，若圖中兩個陰影部分的面積相等，求AC與AF的長度之比（取3）。2. 一個等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）的側(cè)面積是S1，另一個圓錐的側(cè)面積是S2，如果圓錐和圓柱等底等高，求3. 圓錐的底面半徑是R，母線長是3R，M是底

21、面圓周上一點，從點M拉一根繩子繞圓錐一圈，再回到M點，求這根繩子的最短長度【試題答案】一、選擇題1. A2. B3. C4. D5. B6. B7. B8. C9. B 二、填空題1、24         1442、40°3、19cm4、3：45、36、27、24 三、計算題1、連接AE，則，所以2、3、連接展開圖的兩個端點MM'，即是最短長度。    利用等量關(guān)系得出MAM120°，AMD30°，AD，四棱臺體積計算公式 v=h*(a*b+(a+a1)*(b+b1)+a1*b1)/6=h/3(S上底面積+S下底面積+開根號S上底面積×S下底面積)體積公式編輯正四棱臺V=H/3S1+S2+(S1S2)注：非通用公式,（s1是上底的面積 ，s2是下底的面積 ）通用公