第二講__一元函數(shù)的積分學(xué)

1、第二講 一元函數(shù)的積分學(xué)一、不定積分的計(jì)算1. 直接積分法通過(guò)簡(jiǎn)單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法。例1 計(jì)算下列積分（1）；（2）。2.第一換元法（湊微分法）例2 計(jì)算下列積分：（1）；（2）；例3 計(jì)算下列積分：（1）；（2）；（3）。復(fù)雜積分式的湊微分法將被積分式寫(xiě)成或，其中較復(fù)雜。對(duì)或構(gòu)成的主要部分求導(dǎo)，若其導(dǎo)數(shù)為的常數(shù)倍，則或，其中為常數(shù)。例4 求下列不定積分：（1）；（2）；（3）。（4），（）下面這些例子，可以通過(guò)分子分母同乘以一個(gè)因子，再進(jìn)行湊微分。例5 求下列不定積分：（1）；（2）；（3）。形如（其中為常數(shù)，且）的積分，可以先將分母改寫(xiě)成 ，然后再進(jìn)行積分

2、。例6 計(jì)算下列積分：（1）；（2）。3第二換元法（1）三角代換：當(dāng)被積函數(shù)含有，所用代換；當(dāng)被積函數(shù)含有，所用代換；當(dāng)被積函數(shù)含有，所用代換；例7 求下列不定積分：（1）；（2）；（3）。（4）。（2）倒代換。當(dāng)分母關(guān)于的最高冪次比分子至少高于一次例8 求下列不定積分（1）；（2）；（3）。（3）指數(shù)代換當(dāng)被積函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)所構(gòu)成的代數(shù)式。例9 求下列不定積分：（1）；（2）。（4）其他代換例10 計(jì)算下列積分：（1），作變換，或利用。（2），作變換或利用。4.分部積分法，關(guān)鍵在，的選擇。選擇方法：LIATE.L-對(duì)數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)，E-指數(shù)函數(shù)。例11

3、求下列不定積分：（1）；（2）（）；（3）（表格法）；（4）（表格法）；（5）。例12 計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）。例13 建立下列不定積分的遞推公式：（1）；（2），利用。（3）。5.抽象函數(shù)的不定積分例14 已知的一個(gè)原函數(shù)是，計(jì)算。例15 設(shè)，計(jì)算。例16 計(jì)算不定積分。6.分段函數(shù)的積分：例17 計(jì)算不定積分。二、定積分和廣義積分1.利用定積分的定義求極限例1 求極限。例2 求極限。2.求極限通常的做法是將被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小。然后利用夾逼極限準(zhǔn)則求極限。注意：一般情況下以n的指數(shù)冪的因子保留。例3 求下列極限：（1）；（2）。3定積分的估計(jì)例4 證明下列不等式：

4、（1）；（2）（）。例5設(shè)，在內(nèi)恒有，記，則有（ ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不確定.4.變上限函數(shù)的積分例6設(shè)，則當(dāng)時(shí)，（ ）。（A）與為同階但非等價(jià)無(wú)窮小；（B）與為等價(jià)無(wú)窮?。唬–）是比更高階的無(wú)窮??；（D）是比更低階的無(wú)窮小。例7 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且不恒為零，其中，則I的值（ ）。（A）與s和t有關(guān)；（B）與s、t與x有關(guān)；（C）與s有關(guān)，與t無(wú)關(guān)；（D）與t有關(guān)，與s無(wú)關(guān)。例8 已知函數(shù)連續(xù)，求。例9 設(shè)在處連續(xù)，則 。例10 a，b，c為何值時(shí)，等式。例11 由方程，確定y為x的函數(shù)，求。例12 設(shè)，則 。（A）；（B）；（C）；（D）。5對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分：例13 計(jì)算

5、下列定積分（1）;（2） ；（3）注：利用。6分段函數(shù)的積分。例14 設(shè)，求例15 計(jì)算積分。7定積分有關(guān)的函數(shù)方程例16設(shè)函數(shù)可微，且對(duì)任意滿(mǎn)足 ，求的一般表達(dá)式。例17設(shè)，求。8定積分等式的證明例18 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，求證：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。例19 已知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在，使得。對(duì)于證明在積分限中存在一點(diǎn)使得等式成立的問(wèn)題，可以采用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，輔助函數(shù)的構(gòu)造方法：（1）將換成x，移項(xiàng)使得等式一端為零，則另一端即為所作的輔助函數(shù)或者；（2）驗(yàn)證滿(mǎn)足介值定理或微分中值定理的條件；（3）由介值定理或中值定理，即可證得命題。例20 設(shè)在上可導(dǎo)，且，記，證明：存在唯一的，使得。輔助函數(shù)：。例21 設(shè)，在上連續(xù)，證明至少存在一點(diǎn)，使得 輔助函數(shù)：9不等式的證明（1）構(gòu)造輔助函數(shù)：將要證結(jié)論中的積分上限（或下限）換成，使式中相同的字母也換成，移項(xiàng)使不等式一端為0，則另一端的表達(dá)式即為所作的輔助函數(shù)。證明思路：通過(guò)輔助函數(shù)的單調(diào)性及其在端點(diǎn)的符號(hào)即可證明。例22 設(shè)在上連續(xù)，證明 。輔助函數(shù)：。（2）利用。例23 設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，試證 。須利用柯西不等式：（3）利用泰勒公式例24 設(shè)