第六講離散時(shí)間跨時(shí)套利定價(jià)理論

1、第六講 離散時(shí)間跨期套利定價(jià)理論6.1 介紹本講主要討論離散時(shí)間多期衍生證券定價(jià)問(wèn)題，衍生證券的價(jià)格通常并不采用均衡定價(jià)方法，而是采用套利定價(jià)方法。Harris&Kreps(1979)等發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)價(jià)格系統(tǒng)不存在套利機(jī)會(huì)，那么該系統(tǒng)存在一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度，利用鞅測(cè)度，我們可以非常方便地定價(jià)各種衍生產(chǎn)品的價(jià)格。下面我們通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單例子，來(lái)說(shuō)明等價(jià)鞅的存在及期權(quán)定價(jià)。例1：考慮一個(gè)兩期模型，假定第一期標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為S=35，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為X=35，連續(xù)復(fù)利無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為9.531%，因此，成熟期為一期。假定資產(chǎn)價(jià)格或者上升25%，或者下跌25%，即上升后價(jià)格為Su=43.75，下降后價(jià)格為S

2、d=26.25，其資產(chǎn)價(jià)格變化如下圖6.1所示。由此一個(gè)看漲期權(quán)的回報(bào)如圖6.2所示。（圖6.1）：一期資產(chǎn)價(jià)格樹(shù)（圖6.2）：一期看漲期權(quán)樹(shù)下面我們來(lái)構(gòu)筑一個(gè)投資組合，利用期權(quán)來(lái)對(duì)該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行完全的套期保值，從而使得該組合成為一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。假定我們出售H份標(biāo)的在該資產(chǎn)上的看漲期權(quán)，使得該組合不存在風(fēng)險(xiǎn)，則其第一期成本為S-Hc，完全套期保值后的回報(bào)都是26.25，其回報(bào)過(guò)程可以用圖6.3來(lái)刻畫。1、 出售的期權(quán)份額H：因?yàn)橥耆灼诒Ｖ岛蟪墒鞎r(shí)的回報(bào)相同，因此我們有：，因此我們可以求解出H： ；將相關(guān)數(shù)值代入，得H=2。（圖6.3）：一期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合樹(shù)2、 無(wú)套利機(jī)會(huì)時(shí)的期權(quán)價(jià)格：因?yàn)?/p>

3、無(wú)套利機(jī)會(huì)存在，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的回報(bào)率應(yīng)該等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的回報(bào)率，因此我們有：整理得： ；此即歐式看漲期權(quán)價(jià)格，歐式看跌期權(quán)的價(jià)格可以根據(jù)看漲-看跌平價(jià)關(guān)系得到。3、 等價(jià)鞅測(cè)度：事實(shí)上我們可以將上式改寫為： ，其中相當(dāng)于一個(gè)概率，稱為一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度。在該測(cè)度下，期權(quán)價(jià)格等于未來(lái)受益的期望貼現(xiàn)，與個(gè)體偏好等因素?zé)o關(guān)。注：該測(cè)度僅是一個(gè)假想的測(cè)度，并不真正反映上升和下降出現(xiàn)的概率。（圖6.4）：資產(chǎn)價(jià)格和期權(quán)收益樹(shù)例6.1.2：考慮一個(gè)四期的期權(quán)定價(jià)例子。假定標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S=35，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格X=35，成熟期為一年。連續(xù)復(fù)利無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為9.525%，因此；如果將一年分為四季，則。假定資產(chǎn)價(jià)格變

4、化如下圖6.4所示。則u=1.10517，d=0.904837，R=1.024098，。由此我們可以求解各種歐式期權(quán)和美式期權(quán)的價(jià)格。(1) 在第0期開(kāi)始時(shí)發(fā)行的、成熟期為4、執(zhí)行價(jià)格為35的歐式看漲期權(quán)價(jià)格，則個(gè)體只能在第4期執(zhí)行該期權(quán)，其價(jià)格可以表示為：(2) 計(jì)算在第一期當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格為38.68時(shí)發(fā)行的、第三期成熟的、操作價(jià)格為40的歐式看漲期權(quán)價(jià)格： 以此類推。6.2 無(wú)套利機(jī)會(huì)與等價(jià)鞅測(cè)度一、 模型的建立考慮一個(gè)多期證券市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)，t=0,1,T。假定在該經(jīng)濟(jì)中存在I位個(gè)體，。為簡(jiǎn)化討論，假定經(jīng)濟(jì)中只有一種易腐爛的消費(fèi)品，并將這種消費(fèi)品作為計(jì)價(jià)單位，因此消費(fèi)品的現(xiàn)貨價(jià)格為1。信息結(jié)構(gòu)：假

5、定經(jīng)濟(jì)中有有限個(gè)自然狀態(tài)，它們構(gòu)成一個(gè)狀態(tài)空間。假定經(jīng)濟(jì)中的信息是逐漸展示出來(lái)的，到T期個(gè)體才能知道真正的自然狀態(tài)是中的哪一個(gè)。我們可以用一個(gè)事件樹(shù)來(lái)刻畫信息結(jié)構(gòu)。圖6.5描述了五個(gè)自然狀態(tài)、三個(gè)交易日的信息結(jié)構(gòu)。在t=0時(shí)，個(gè)體僅知道真實(shí)的自然狀態(tài)在中。t=1時(shí)，部分信息被披露出來(lái)，或者事件發(fā)生，或者事件發(fā)生；當(dāng)事件發(fā)生時(shí)，個(gè)體知道真實(shí)的自然狀態(tài)只能是、或；當(dāng)事件發(fā)生時(shí)，個(gè)體知道真實(shí)的自然狀態(tài)只能是或。t=2時(shí)，信息完全展示出來(lái)，個(gè)體就知道具體哪個(gè)自然狀態(tài)發(fā)生了。 定義：一個(gè)事件是的一個(gè)子集。稱兩個(gè)事件不相交，如果這兩個(gè)事件的交集是空集，即一個(gè)自然狀態(tài)如果屬于一個(gè)事件，它就不屬于另一個(gè)事件。

6、定義：的一個(gè)分割是一組事件的集合，如果這些事件彼此不相交，且它們的并等于。稱一個(gè)給定分割要比另一個(gè)分割更精細(xì)，如果后一個(gè)分割的任一事件都是前一分割中事件的并。(圖6.5)：信息結(jié)構(gòu)。我們可以用來(lái)記個(gè)體被賦予的公共信息結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)都是的一個(gè)分割，滿足：如果，則比更精細(xì)；，。定義：一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)由時(shí)間t標(biāo)識(shí)的隨機(jī)變量序列。定義：稱一個(gè)隨機(jī)過(guò)程關(guān)于適應(yīng)(adapted to )，如果對(duì)于任意的t，關(guān)于可測(cè)。定義：稱一個(gè)隨機(jī)過(guò)程關(guān)于可料的(predictable to )，如果對(duì)于任意的t，關(guān)于可測(cè)。資產(chǎn)結(jié)構(gòu)：定義：一個(gè)時(shí)間事件或有權(quán)益(time-event contingent claim)

7、是一種證券，在交易日、事件發(fā)生時(shí)支付一單位消費(fèi)品，在其它時(shí)間和情形下沒(méi)有支付。定義：一個(gè)復(fù)雜證券是由時(shí)間0消費(fèi)品和一族時(shí)間事件或有權(quán)益構(gòu)成的證券，它可以被表示為，其中和分別為以消費(fèi)品衡量的時(shí)間0和時(shí)間t、時(shí)間下的紅利。定義：一個(gè)長(zhǎng)生命證券(long-lived security)是一種在任意交易日都可以交易的復(fù)雜證券。假定經(jīng)濟(jì)中存在N+1種長(zhǎng)生命證券，j=0,1,N。假定第0種資產(chǎn)是面值為1的T期貼現(xiàn)債券，其紅利流可以表示為：， (6.2.1)記第0種資產(chǎn)的除息價(jià)格過(guò)程為，則有。假定其它N種資產(chǎn)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第j種資產(chǎn)的隨機(jī)紅利流可以表示為： 。 (6.2.2)記第j種資產(chǎn)的除息價(jià)格過(guò)程為，則有

8、。記，。顯然，、和關(guān)于可測(cè)，因此紅利過(guò)程、價(jià)格過(guò)程都關(guān)于適應(yīng)。個(gè)體行為：假定每一位個(gè)體的偏好都具有von Neuman-Morgenster期望效用表示，假定個(gè)體效用函數(shù)單調(diào)增、嚴(yán)格凹、充分光滑，假定。假定個(gè)體在各自然狀態(tài)上被賦予的主觀概率為：。在該主觀概率下，記在給定事件下，事件（）發(fā)生的條件概率為，根據(jù)Bayes公式，可以表示為： 。假定個(gè)體都是理性預(yù)期的，所有個(gè)體都相信當(dāng)前資產(chǎn)價(jià)格是自然狀態(tài)和時(shí)間t的函數(shù)，即可以表示為和。記個(gè)體被賦予的長(zhǎng)生命證券的數(shù)量為：。個(gè)體的交易策略是一個(gè)N+1維的隨機(jī)過(guò)程，可以簡(jiǎn)記為： ，其中和代表個(gè)體在t-1期交易發(fā)生后，到t期交易發(fā)生前所持有的第0種資產(chǎn)和第j

9、種資產(chǎn)的數(shù)量。由于和是在t-1期被決定的，它們關(guān)于可測(cè)，因此交易策略關(guān)于適應(yīng)。個(gè)體的消費(fèi)計(jì)劃是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，可以簡(jiǎn)記為：。其中是t期消費(fèi)量。定義：稱一個(gè)交易策略是可接受的(admissible)，如果存在一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃c，滿足：， (6.2.3)對(duì)成立，且有：。 (6.2.4)相應(yīng)地，我們也稱該消費(fèi)計(jì)劃c是由交易策略融資的，也稱為上市的(marketed)。 二、無(wú)套利條件和等價(jià)鞅測(cè)度定義：一個(gè)套利機(jī)會(huì)是一個(gè)由可行交易策略融資的消費(fèi)計(jì)劃c，滿足：（1）c非負(fù)，且至少存在某個(gè)時(shí)期t和事件，有；（2）其成本非負(fù)，即 。定義：一個(gè)隨機(jī)過(guò)程被稱為是一個(gè)在概率下對(duì)適應(yīng)的鞅，如果它滿足： ，其中是關(guān)于概率、

10、給定下的條件概率。定理：一個(gè)價(jià)格系統(tǒng)不允許存在任何套利機(jī)會(huì)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)濟(jì)中存在一個(gè)等價(jià)鞅。證明：（必要性）：假定價(jià)格系統(tǒng)不允許存在任何套利機(jī)會(huì)。在價(jià)格系統(tǒng)下，個(gè)體的最大化問(wèn)題可以表示為： ， Subject to: 消費(fèi)計(jì)劃c由交易策略融資，。求解該最大化問(wèn)題，Euler方程為： ， (6.2.5)。 (6.2.6)此處(6.2.5)式可以改寫為：； (6.2.7)對(duì)(6.2.6)式進(jìn)行前向迭代，可以改寫為：。 (6.2.8)（1）如果經(jīng)濟(jì)中存在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的個(gè)體，且該個(gè)體并不存在任何時(shí)間偏愛(ài)，則我們有：，。代入(6.2.7)和(6.2.8)式，整理得： ， 。記，則我們有： ， 。因此由資產(chǎn)

11、的價(jià)格加上紅利構(gòu)成的隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)鞅，鞅測(cè)度是該風(fēng)險(xiǎn)中性個(gè)體的主觀概率測(cè)度。（2）如果經(jīng)濟(jì)中并不存在這樣一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的個(gè)體，則我們可以構(gòu)造出一個(gè)鞅測(cè)度。首先對(duì)價(jià)格過(guò)程和紅利過(guò)程進(jìn)行歸一化： ， ； ， 。構(gòu)造鞅測(cè)度滿足： ， 。 (6.2.9)考慮到個(gè)體是不飽和的，邊際效用大于零，所以有；對(duì)關(guān)于所有的自然狀態(tài)求和，有：。因此確實(shí)是上的一個(gè)概率測(cè)度。 在該鞅測(cè)度下，記在給定事件下，事件（）發(fā)生的條件概率為，根據(jù)Bayes公式，可以表示為： 。 (6.2.10)當(dāng)時(shí)，將(6.2.9)代入(6.2.10)，有： 。其中為個(gè)體在t期、事件發(fā)生時(shí)的最優(yōu)消費(fèi)量。注意到對(duì)任意，有成立，因此我們有： 。 (6

12、.2.11)接下來(lái)我們來(lái)證明在下是一個(gè)鞅：當(dāng)t<T時(shí)，由(6.2.5) 和(6.2.11)，有： 。類似于風(fēng)險(xiǎn)中性個(gè)體下的討論，我們有： 。 (6.1.12)因此在下是一個(gè)鞅，必要性得證。 （充分性）：假定對(duì)于所有的t<T，B(t)>0，并且存在一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度，在該測(cè)度下是一個(gè)鞅，要證明該經(jīng)濟(jì)中不存在套利機(jī)會(huì)。采用反證法，假定經(jīng)濟(jì)中存在一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃c，為一個(gè)可接受的交易策略所融資，滿足：，且。由交易策略所融資的消費(fèi)計(jì)劃c是一個(gè)套利機(jī)會(huì)，個(gè)體不需要付出任何成本就有正的機(jī)會(huì)獲得正的消費(fèi)，即一種免費(fèi)午餐(free lunch)。如果消費(fèi)計(jì)劃c由交易策略所融資，則有： 。 (6.2.

13、13)即T期消費(fèi)等于T期的財(cái)富量，后者等于初始財(cái)富加上各期買賣資產(chǎn)所導(dǎo)致的財(cái)富增加，再減去各期消費(fèi)。類似地，我們有： 其中。記，則有：。因此我們有： 。 (6.2.14)因?yàn)樵邝睖y(cè)度下是一個(gè)鞅，所以我們有： 。相應(yīng)地，我們有：所以我們有： 。因?yàn)锽(t)>0對(duì)于所有的t<T成立，有，所以，這蘊(yùn)涵：考慮到B(0)>0，所以有，與假設(shè)矛盾。充分性得證。 下面我們用一個(gè)證券市場(chǎng)實(shí)例，來(lái)說(shuō)明無(wú)套利機(jī)會(huì)與等價(jià)鞅測(cè)度的關(guān)系，以及等價(jià)鞅測(cè)度的求解。例6.2.1：假定經(jīng)濟(jì)中有三種長(zhǎng)生命證券，j=0,1,2，它們只在t=2時(shí)支付紅利，t=0、1時(shí)的價(jià)格和t=2時(shí)的紅利支付如圖6.6所示。在該經(jīng)

14、濟(jì)中，第0種資產(chǎn)是一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。下面我們通過(guò)構(gòu)造一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度來(lái)說(shuō)明該價(jià)(圖6.6)：證券市場(chǎng)原始價(jià)格系統(tǒng)(圖6.7)：證券市場(chǎng)貼現(xiàn)價(jià)格系統(tǒng)格系統(tǒng)沒(méi)有套利機(jī)會(huì)。此處無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格在t=0和t=1時(shí)不為1，因此我們可以首先對(duì)該價(jià)格系統(tǒng)進(jìn)行貼現(xiàn)，如圖6.7所示。如果經(jīng)濟(jì)中不存在套利機(jī)會(huì)，則存在一個(gè)鞅測(cè)度，在該測(cè)度下是個(gè)鞅 。記從t=1上面一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，即事件發(fā)生后自然狀態(tài)出現(xiàn)的條件概率為、和，則、和必須滿足： ， (6.2.15)該方程組存在唯一的解：。 (6.2.16)類似地，從t=1、事件發(fā)生后自然狀態(tài)出現(xiàn)的條件概率為、和必須滿足： ， (6.2.17)該方程組存在唯一解：。 (6.2.1

15、8)記事件在t=0發(fā)生后，事件和在t=1發(fā)生的條件概率為，則滿足： ， (6.2.19)上式存在唯一解：。 (6.2.20)根據(jù)上述條件概率，我們可以直接計(jì)算出鞅測(cè)度： 。 (6.2.21)因?yàn)樵摻?jīng)濟(jì)中存在等價(jià)鞅，所以該價(jià)格系統(tǒng)不存在套利機(jī)會(huì)。如果t=0時(shí)的資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生變化，從(1/4,1,3/4)變?yōu)?1/4,1,1/2)，則方程(6.2.19)應(yīng)變?yōu)椋?，顯然該方程組無(wú)解，從而系統(tǒng)不存在等價(jià)鞅測(cè)度，這蘊(yùn)涵該價(jià)格系統(tǒng)存在套利機(jī)會(huì)。該套利機(jī)會(huì)可以輕易地構(gòu)造，在第0期賣空兩份資產(chǎn)0，購(gòu)買一份資產(chǎn)2，則該投資組合的成本為零，是一個(gè)套利組合；到第一期將資產(chǎn)變現(xiàn)，個(gè)體可以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)地獲得1/2單位消費(fèi)品。因

16、此經(jīng)濟(jì)中存在套利機(jī)會(huì)。三、消費(fèi)計(jì)劃的鞅性質(zhì)一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃刻畫了不同時(shí)間-事件下個(gè)體的消費(fèi)量，而一個(gè)長(zhǎng)生命證券由它在各時(shí)間-事件下的回報(bào)（消費(fèi)品）刻畫，因此一個(gè)長(zhǎng)生命證券等價(jià)于一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃。在無(wú)套利條件下，一個(gè)市場(chǎng)化了的消費(fèi)計(jì)劃或長(zhǎng)生命證券的價(jià)格是唯一確定的，因?yàn)檠苌a(chǎn)品是一種長(zhǎng)生命證券，所以其價(jià)格也是唯一確定的，可以利用等價(jià)鞅測(cè)度來(lái)計(jì)算，衍生產(chǎn)品的這種定價(jià)方式稱為套利定價(jià)。定理：一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃有定義好了的價(jià)格，如果該消費(fèi)計(jì)劃是上市的，且經(jīng)濟(jì)中不存在套利機(jī)會(huì)。證明：（1）如果消費(fèi)計(jì)劃c是由交易策略融資的，則該消費(fèi)計(jì)劃的初始成本為：， (6.2.22)此即t=0時(shí)該消費(fèi)計(jì)劃的連帶紅利的價(jià)格。其唯一性是

17、顯然的，如果存在一個(gè)交易策略融資該消費(fèi)計(jì)劃，滿足：，則是一個(gè)可接受的消費(fèi)計(jì)劃，其初始成本小于零，未來(lái)消費(fèi)恒為零，存在套利機(jī)會(huì)。如果上述不等式取小于符號(hào)，類似地可以證明存在套利機(jī)會(huì)。進(jìn)一步可以得到，該消費(fèi)計(jì)劃的除息價(jià)格等于： 也是定義好的，唯一決定的。（2）一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃的t期除息價(jià)格，是指t期需要多少消費(fèi)品的成本來(lái)啟動(dòng)一個(gè)動(dòng)態(tài)交易策略，以獲得該消費(fèi)計(jì)劃t期之后的所有消費(fèi)。消費(fèi)計(jì)劃c是由交易策略融資的，則的價(jià)格可以刻畫為： 。類似地，我們可以證明該價(jià)格是唯一的。證明完畢。記該消費(fèi)計(jì)劃t期價(jià)格為： 。 (6.2.23)下面我們來(lái)證明消費(fèi)計(jì)劃具有鞅性質(zhì)。定理：如果價(jià)格系統(tǒng)(B,S)不存在套利機(jī)會(huì)，則上

18、市的消費(fèi)計(jì)劃具有鞅性質(zhì)。證明：定義消費(fèi)計(jì)劃的貼現(xiàn)價(jià)格為：。 (6.2.24)所以我們有： 。 (6.2.25)當(dāng)價(jià)格系統(tǒng)(B,S)不存在套利機(jī)會(huì)時(shí)，存在一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度，使得是一個(gè)鞅。下面我們來(lái)證明也是一個(gè)鞅。由，得： 。所以我們有： 。上式蘊(yùn)涵，一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃的t期貼現(xiàn)價(jià)格等于未來(lái)消費(fèi)貼現(xiàn)和關(guān)于鞅測(cè)度的預(yù)期。由此我們可以進(jìn)一步得到： ， 。 (6.2.26)所以有： 。因此在下是一個(gè)鞅。定理證明完畢。利用消費(fèi)計(jì)劃的等價(jià)鞅性質(zhì)，我們可以給消費(fèi)計(jì)劃定價(jià)。下面我們給出一個(gè)例子來(lái)加以說(shuō)明。例6.2.2：考慮一個(gè)如圖6.8的消費(fèi)計(jì)劃，假定價(jià)格系統(tǒng)由圖6.6所示。試計(jì)算該消費(fèi)計(jì)劃的價(jià)格。（圖6.8）：一個(gè)上

19、市的消費(fèi)計(jì)劃。因?yàn)閮r(jià)格系統(tǒng)中不存在套利機(jī)會(huì)，所以該消費(fèi)計(jì)劃具有鞅性質(zhì)，該消費(fèi)計(jì)劃的t期貼現(xiàn)價(jià)格等于未來(lái)消費(fèi)貼現(xiàn)和關(guān)于鞅測(cè)度的預(yù)期。所以我們有：，?？紤]到B(0)=1/4，B(1)=1/2，所以該消費(fèi)計(jì)劃在時(shí)間t=0和t=1時(shí)的價(jià)格為： ，。6.3 Black-Scholes公式的推導(dǎo)（二叉樹(shù)方法）一、 模型的建立：考慮一個(gè)具有兩個(gè)長(zhǎng)生命證券的多周期證券市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)，一個(gè)是普通股票，一個(gè)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券。假定該經(jīng)濟(jì)持續(xù)很長(zhǎng)時(shí)間，我們僅考慮交易日t=0、1、2、T。假定該經(jīng)濟(jì)滿足如下假定：1、 不考慮標(biāo)的資產(chǎn)的紅利收益，假定資產(chǎn)的波動(dòng)性相同且已知，資產(chǎn)價(jià)格滿足一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)游動(dòng)，如圖6.9所示。；，；。(圖6.9)：二項(xiàng)隨機(jī)游動(dòng)和等價(jià)鞅測(cè)度。2、 假定在期權(quán)生命中短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率R已知，個(gè)體可以以一個(gè)相同的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行借貸，假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)不支付紅利，t期價(jià)格為。3、 不考慮交易成本和稅收，允許證券賣空，在期權(quán)成熟前不考慮有價(jià)證券的轉(zhuǎn)讓等事件。4、 假定個(gè)體擁有的信息結(jié)構(gòu)由股票價(jià)格生成。；有兩個(gè)事件；有三個(gè)事件